୨ même le refte 9 au deffus; 5° qu'il faut joindre cet r aus fuivant faire pour & ôter 8 de 15 pour 15, avoir le refte 7; 6° qu'il faut enfuite ôter 9 de 9, pour avoir le refte o; 7° qu'il faut de même em prunter fur le 4 précedent, & écrire 3 au deffus; 8° qu'il faut joindre, cet i avec le zéro fuivant, pour faire ro; en prendre 1, & écrire le refte 9 au deffus; 9° qu'il faut ajouter cet 1 au 4 fuivant, pour faire 14, dont il faut ôter le 8 de deffous pour avoir le refte 6; 10° qu'il faut enfuite ôter 9 de 9 pour avoir le refte o; 11° qu'il faut enfin emprunter fur le 3 précedent, & écrire le refte 2 au deffus; 120 joindre cet 1 au zéro fuivant, pour faire 10, en ôter 1,& écrire le refte 9 au deffus; 13° qu'il faut enfuite joindre cet 1 au 3 fuivant, pour faire 13 & en ôter 8 pour avoir le refte 5; 14° qu'il faut ôter 9 de 9; 15° & 2 de 2 pour avoir leurs reftes zéro : ce qui fait, comme on voit, 15 opérations. Or felon notre métode; 1° on ôte 9 de 10 pour avoir le refte, fans s'embaraffer où l'on prend cette dixaine; 2° on ôte 9 de 16 pour avoir le refte 7, fans s'embaraffer où fe prend la dixaine empruntée; 3o on ôte de même 10 de 10 pour avoir le refte o; 4° on ôte de même 9 de 15 pour avoir le refte 6; 5° on ôte de même 10 de 10 pour avoir le refte zéro; 6o on ôte de même 9 de 14 pour avoir le refte 5. 7° on ôte de même 10 de 10; 8° & 3 de 3, pour avoir leurs reftes zéro : ce qui ne donne que huit opérations en tout, & qui fait voir que notre métode eft par confequent plus fimple que la précedente, environ dans le raport de 8 à 15; c'est-à-dire prefque de moitié. Ces opérations en renferment à la verité quel ques-autres; mais fi fimples, (comme des additions ou emprunts d'unitez) que nous n'avons pas crû qu'on dût y avoir égard, ni les faire entrer en parallelle, avec les opérations fondamentales. De plus notre métode imite dans fon progrès l'addition, qui eft la plus fimple de toutes les opérations de l'Arithmétique; en retenant les dixaines empruntées, pour les ajouter aux chiffres pré cedens. Enfin cette efpece de fouftraction eft fans contredit, la plus commode pour faire la Division & l'Extraction des Racines quarrées & Cubiques : ce qui fuffira de faire voir à l'égard de la Division : ces deux dernieres opérations s'achevant toujours au moyen de la Divifion, comme on a pû le voir dans le premier chapitre de cette feconde Partie, à l'égard de l'Extraction des racines quarrées ; fur quoi l'on pourroit apporter déja par avance l'experience pour raison. Car lorfqu'on enfeigne la Division par nôtre méthode à une perfonne, qui eft accoutumée depuis long-temps à pratiquer la premiere efpece de fouftraction, il ne manque jamais de la quitter de lui-même, & comme naturellement pour pratiquer la nouvelle; fans doute par la plus grande facilité qu'il fent à fe fervir de celle-ci. Il eft vrai qu'il y a des calculateurs qui retiennent dans leur mémoire tous les emprunts que nous venons de faire dans la re maniere de fouftraire; mais il faut avouer auffi que c'est donner la torture à fa mémoire, fans neceffité, & s'expofer au péril de manquer fon opération : ce qui n'arrive que trop fouvent à ceux qui ne calculent pas ordinairement, dans lefquels on remarque même qu'ils oublient aifément cette premiere méto de, toute naturelle qu'elle paroît, par le grand nombre d'opérations auxiliaires qu'elle fuppofe. Sur la Divifion des Entiers. II. La Divifion n'a effentiellement que quatre efpeces; fçavoir deux generales, qui fe fubdivifent chacune en deux autres. La premiere efpece generale eft celle dans laquelle la preuve ( qui eft toujours compofée d'une multiplication & d'une divifion) se fait en allant de droite à gauche; fes deux efpeces particulieres font, la premiere celle dans laquelle la fouftraction fe fait en même-temps. que la multiplication, comme dans la Divifion, dont je me fuis fervi dans le chapitre se de la pre miere Partie; on la nomme vulgairement Divifion Espagnole ; la feconde celle dans laquelle on écrit le produit de la multiplication fous le dernier Dividende, & on l'ôte enfuite de ce Dividende par. une des deux métodes de fouftraction ci-deffus cette maniere de divifer fe nomme communément Italienne. La feconde efpece generale eft celle dans laquelle on fait fa preuve, en commençant à gauche, & continuant vers la droite. Dans la premiere de fes deux efpeces particulieres, la fouftraction fe fait en même-temps que la multiplication, & cette efpece fe nomme ordinairement Division Françoise. Enfin on pourroit ajouter une 2de efpece particuliere dans laquelle la multiplica-, tion & la fouftraction fe feroient feparément, comme dans la Division Italienne, mais cette efpece eft abfolument impraticable, parce qu'elle renfermeroit deux progrès de fuite, entierement oppofez au progrès naturel de la fouftraction & de la multiplication, dans lesquelles on procede toujours de droite à gauche. Il ne nous refte donc que trois métodes à comparer; fçavoir la Division Efpagnole," l'Italienne & la Françoife. La premiere peut s'éxecuter en trois manieres differentes, dont la premiere eft celle que nous avons enseignée dans le cinquiéme chapitre de la premiere Partie. Dans la feconde on écrit les restes au dessus du Dividende, au lieu que dans la premiere on les met au dessous. Et la troifiéme eft celle que j'ai renduë publique dans le Mercure de Paris du mois de Mars 1713, que je nomme nouvelle Divifion Françoise. 4864 608 1824 608 4864 Nous réfoudons un même éxemple par les 3 ef peces de la Divifion Espagnole, par les 2 manieres Italiennes, & par la Françoife ancienne, afin qn'on puiffe mieux les comparer. De plus nous avons répetéledivifeur dans la divifion Italienne, comme on le repete dans les deux anciennes Espagnoles & dans la Françoife, afin qu'on puiffe en faire une compa raifon plus jufte. Dailleurs lorfqu'on écrit ce Divifeur à part, pour ne le point repeter, comme font quelques-uns, on eft beaucoup plus en danger de fe tromper; à moins que d'avoir autant d'habitude dans le calcul que les Maîtres. Dans l'ancienne Division Françoife, Efpagnole & Italienne, où l'on écrit les reftes de la divifion au deffus du Dividende, on a soin de barrer tous chiffres dont on retranche, à mesure qu'on opére, de crainte de s'embroüiller. Mais cet effacement |