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multiplier,ainsi(par exemple)dans le ge éxemple cidevant, si l'on prend le Multiplicateur ( 580,800) pour Multipliende, & la Somme à multiplier (907,890) pour Multiplicateur , & qu'on fasse une 2e Multiplication à l'ordinaire, on trouvera encore le même produit total qu'on a trouvé la premiere fois

si l'on a bien operé toutes les deux. On Lonnera dans la 2e Partie une preuve : quia par 9, & une nouvelle par 11, qui se verifient l'une l'autre, & demandent moins de temps que celleci, mais qui sont plus curieufes qu’utiles.

on india

Théorie de la Multiplication. VIII. Il faut premierement faire ici les mêmes remarques touchant la commodité de cette operation, que sur les deux precedentes, &

par

les mêmes raisons.

Secondement à l'égard de la justesse , on n'en sçauroit non plus douter : car pour nous servir du

éxemple, il est évident que le Multiplicateur 25, n'est autre chose que la somme de ses s unitez, & de ses 2 dixaines. Si l'on prend donc le Multipliende ( 467) d'abord s fois pour ces s unitez, & ensuite 20 fois pour ces 2 disaines, & qu'on falle une somme de ces deux produits, il est évident qu'on aura le produit total desiré. Or c'est ce qu'on a fait en écrivant le 2d produit sous le 1", mais plus avancé d'une place vers la gauche , afin que son if chiffre

4

à droite vaille des dixaines : ( comme il le doit) & ajoûtant les 2 produits en une somme.

A l'égard du 2d éxemple, il est évident que si l'on n'avoit que ( 5 13 ) à multiplier par ( 214, ) le produit desiré seroit ( 109,782,) mais comme

و

le Multipliende proposé eft plus grand dix fois que (513,) il est évident que le produit de ($ 130,) par ( 214 ) doit être augmenté dix fois à proportion; ce qui se fait en lui ajoûtant un zéro, ainsi (1,097,820.) De même le produit de (5130). par ( 2 1,400 ) doit être cent fois plus grand que par 2 14 seulement, à cause que ( 21,400) est plus grand ioo fois que ( 214;) il faut donc encore ajoûter les deux zéros de ( 21400 ) au produit ( 1097,820 ) ci-dessus ; ainfi le premier produit ( 109,782 ) aura les trois zéros , tant de la somme à muliplier, que du Multiplicateur , puisqu'il doit croître ou diminuer,nonseulement à raisonduMultipliende, mais encore à raison du Multiplicateur.

La raison du troisiéme éxemple se voit assez par elle-même. A l'égard de celle du 4, il faut confiderer qu'on n'écrit pour produit zéro) fous le multiplicateur zéro, qu’afin que le ir chiffre 6 du produit suivant se trouve avancé d'une place, & comme naturellement rangé sous fon produisant ( 2 ) ce qui est generalement necessaire : car dans le 2d éxemple, (par exemple) le produit de (513) par l'ı de 214, doit être dix fois plus grand, que fi fon produisant ( 1 ) étoit dans la șre place à droite, & ne valoit que des unitez. Or c'est ce que l'on fait en avançant autant le produit de cet I; sçavoir ( 513 ) vers la gauche, que cet (1) est lui-même avancé de ce côté ; car par ce moyen

le I chiffre 3 de ce produit vaut 3 dixaines, & non pas z unitez, étant dans le rang des dixaines ; le 2d chiffre i du même produit vaut des centaines, & non pas des dixaines , étant dans le rang des centaines , & le 3e (s) vaut des milles , & non pas des centaines, étant dans le rang des 1000. De même le produir de ( 513 ) par ( 2 ) doit valoir 100 fois plus , que fi ce 2 étoit dans la place du 4, ou dix

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&6,

fois plus que s'il étoit dans la place de l'i, puifque ce 2 vaut des centaines , & non pas des unitez, ni des dixaines. Or c'est ce qu'on fait, en avançant son produit ( 1026 ) encore d'une place vers la gauche ; car par ce moyen son premier chiffre 6 vaut 6 cent, & non pas 6 unitez,'ni 6 dixaines étant dans le rang des centaines , ainsi des autres chiffres à proportion. Or il est bien évident qu'en écrivant d'abord le dernier chiffre à droite ( 2 ) du 15 produit ( 2052) sous le dernier ( 4 ) du multiplicateur ( 214,) & avançant ensuite d'une place chacun des derniers chiffres 3.& 6 des autres produits ( 513) ( 1026,) ces derniers chiffres

3 doivent se trouver de même fous leurs produisans (1) & ( 2 ;-) & de même si le Multiplicateur contenoit un plus grand nombre de chiffres.

A l'égard des remarques du 6e article, il est évident que de multiplier un nombre par 10, ou par 100, ou par rooo, ce n'est autre chose que le faire valoir 10 fois, ou 100 fois, ou 1000 fois plus qu'il ne valoit, Or en y ajoûtant un zéro à la fin, son dernier chiffre 4 (par exemple) qui ne valoit que des unitez, vaut alors des dixaines : le second 3, qui ne valoir que des dixaines, vaut des centaines; & le ze qui ne valoit que des centaines, vauc des 1000 : Ainsi chacun de ses chiffres étant augmenté dix fois, on ne peut douter que la somme entiere ( 234 ) ne vaille aussi dix fois plus que fans ce zéro, De même quand on ajoûte 2 zéros, on fait valoir chaque chiffre de la somme à multiplier 100 fois plus qu'il ne valoit. Donc cette même somme entiere est augmentée elle-même cent fois. Quand on en ajoûte 3, on augmente chaque chiffre du Multipliende 1000 fois, ainsi tout le Multi. pliende est multiplié par 1000,& de même pour un plus grand nombre de zéros,

Quant à la Multiplication par des nombres, dont tous les chiffres sont des unitez, elle se connoît tout d'un coup en faisant l'operation tout au long, & la comparant avec la regle que nous donnons. Celle que nous donnons pour les nombres au defsous de (20,) n'est guéres plus difficile : car lorsqu'on multiplie un nombre comme ( 50970 ) par 12, (par exemple) on double d'abord ( 50970,) & on écrit ensuite le même nombre (50970) tout fimple dessous, mais d'une place plus avancée vers la gauche.Or notre méthode donne la même chose, quoique dans un ordre contraire : ce qui est indifferent, comme il est manifeste.

Enfin pour ce qui regarde la 44 abreviation, rien n'est plus narurel, lorsqu'on ne prend que la moitié ou le tiers du Multipliende , que de prendre en recompense le double ou le triple du Multiplicateur , si l'on veut avoir le même produit , qu'on auroit trouvé par l'operation naturelle ; puifque par ce moyen, autant que le rabaissement du Multipliende rabaisse le produit desiré, autant l'augmentation du Multiplicateur le rehausse ; ce qui le réduit toûjours à la même valeur.

A l'égard de la preuve de la Multiplication, elle est fondée sur ce que 3 fois 2, (par exemple) ou 2 fois 3 , font le même produit, sçavoir 6. Or ceci est manifeste par le raisonnement precedent; car dans le 1' cas ( 2 ) est le Multipliende, & ( 3 ) le Multipliant; & dans le second ( 3 ) est le Multipliende & ( 2 ) le Multiplicateur. Donc le Multipliende du 2d cas est plus grand de son tiers que celui du 1"; mais en recompense aussi, le Multiplicateurdu it cas est plus grand aussi de son tiers que celui du 2d. Donc il y a compensation entre ces 2 produits : c'est pourquoi ils ne peuvent manquer d'être égaux ; c'est ce que tout le monde sçait par

experience & croit entendre, mais dont peu de perfonnes, peut-être , sçavent la veritable raison.

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CHAPITRE V.

De la Division des Entiers. ART.I.

D

Iviser un nombre comme 72 par quel

que autre, comme par 12, c'est chercher combien de fois le Diviseur ( 12 ) eft contenu dans le Dividende ( 72 ; ) & trouver en mêmetemps le surplus , s'il n'y est pas contenu exactement. Lenombre qui exprime combien de fois le Diviseur est contenu dans le Dividende, s'appelle le Quotient, aussi bien

que le trait dans lequel l'on l'enferme.

La Division , aussi-bien que la Multiplication, suppose qu’on [cache diviser par cæur tout nombre moindre

que 100 par tous les nombres élementai- .. res, comme (par exemple ) (69) par (7, ) c'est à

quoi la Table de la Muliplication est encore utile: car elle apprend que 9

fois 7 font 63;

d'où il est évident

que 7 est en 63, 9 fois juste: & par consequent aussi 9 fois en 69, avec un reste (6.) C'est pourquoi lorsqu'on apprend cette 'Table , il est bon de se rendre aussi ces divisions familieres, afin d'en diminuer la peine, qui est encore assez grande pour les commençans.

Ceci suposé, pour 1 EXEMPLE. diviser 72 par 12,01 Dividends 72 S 6 écrit le is chiffre (1) Diviseur. 12 Quotient du Diviseur ( 12 )

sous le 18 (3) du Refte.

Dividende ( 72,) lorsque ce ir chiffre du Diviseur est plus petit ; &

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