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disant 2 fois 8 font 16, de 20 quien

pour avoir le reste, je dis [ 8 fois & font 64, de 69, le reste est s ] que j'écris dessous, & je retiens l'emprunt ( 6.) Ensuite [ 8 fois rien n'est rien, & l'emprunt font 6; de 10 qui eft au dessus, le reste est 4, ] que j'écris sous le zéro, retenant 1. Enfin [ 8 fois 6 font 48, & i de retenu, la somme eft 49, de so, le reste est 1, ] que j'écris à côté du 4. Ainsi le reste de cette premiere division eft ( 14.5, ) à côté duquel je descend le zéro du Dividende qui suit sa ire partie ( 500g ) immédiatement ; ce qui me donne ( 1450 pour 2d dividende, sous lequel par consequent j'avance le Diviseur 608 ; sçavoir d'une place à droite à l'ordinaire, & je trouve 2 pour quotient de cette zë division, par lequel je multiplie le Diviseur 608,

[ au dessus , le reste est 4, ] que j'écris sous 8, retenant l'emprunt 2 ; ensuite [ 2 fois o, n'est rien ; mais je retiens 2; de s, le reste est 3, ] que j'écris à côté de 4 ; & ainsi de suite, jusqu'à la fin de la Divi

4 fion; ce qui me donne ( 8238 ) pour Quotient total , & 356 pour dernier reste. .

Après tous ces exemples il ne restera aucune difficulté sur tous les autres, qu'on voudra se pro. poser , comme chacun peut l'experimenter.

se EXEMPLE. 36os

V. A 3

3 офф

l'égard

des aban brégez de laDivision,remarquez(1)que lorsqu'on a des noinbres à diviser par l'unité jointe à des zéros; sçavoir par ( 10, 100, 1000, &c.) la régle générale est d'en retrancher autant de figures à droite, que le Diviseur contient de zéros, ainsi ( 360 ) divisez par 10 donnent 36, qui se trouvent en

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7

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$809.07

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801.od

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0907

tranchant le zéro de 360; de même ( 3600) divisez par 100, donnent encore ( 36,) qui restent après avoir tranché les deux zéros de ( 3600.)

6e EXEMPLE. 2. De plus, ( 80907 ) 8 o 9 o 7c

étant divisez par (10,) 8090zł donnent ( 8090 ) pour

Quotient, & 7 pour le ref

te de la Division ; & étant SO907 divisez par ( 100 ) don

. nent seulement(809) pour Quotient, & (07) pour

le reste de la Division, & 8 o 9 0 7

de même de tous les au. tres. On verra dans la suite de ce traité ce qu'on doit

faire de ces restes de divi8 o 9 0 7

sion.

8 I o

3. Toutes les fois que l'on peut prendre, sans calcul une semblable partie aliquote du Dividende & du Diviseur, on peut abbreger encore la Division. Si le Dividende est par exemple iso qu'il faille partager à 35; prenant

, la se partie de 150; sçavoir 30, & aussi la separtie de 35, sçavoir 7, & divisant 30 par 7, le Quotient est 4, & il reste encore 2 à partager à 7,

a qui est précisément le même Quotient & le même reste, que si l'on avoit partagé 150 à 35; ce qui auroit donné pour Quotient 4 & 1o de reste à partager à 35, qui est la même chose que 2 à

partager à 7, comme il est évident.

A l'égard des restes de la Division, comme si un reste elt 7, ou 97, &c. & le Diviseur 10, ou 100, &c; ou si le reste est 4,& le Diviseur , &c. on

& met ordinairement le Diviseur sous ces Restes. Ainsi () (187)(*) &c, en les separant

ܘܘ ܘܘܐ

97

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97

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2

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par une barre,& ces 2 nombres ainsi joints se nom-
ment une Fraction , dont le chiffre supérieur
s'appelle le Numérateur , ou le Dividende, &
l'inferieur le Dénominateur, ou le Diviseur de
la fraction; & elle s'exprime ainsi ( 13 ) 7 dixié-

7
mes, (187) nonante-sept centiémes; 0) un de-
mi; ( ) deux tiers ; () trois quarts ; ( 3 ) quatre
cinquiémes, &c. parce que fi i partagé à dix per-
sonnes donne i dixiéme à chacun, il est évident
que pour diviser 7 à 10 personnes, c'est 7 dixić- .
mes à chacun: ce qui est principalement utile dans
les Divisions , où le Diviseur est un fort petit
nombre; & en mêine-tems partie de l'Entier. S'il
falloit par exemple diviser 163 liv. à s personnes,
on trouveroit pour Quotient ( 3 2 liv.&};) & com-
me (s est le quart de 20 sols, valeur de la livre ,
il est évident que (*) de livre est 4 fols, & que
() font par consequent 12 sols : ainsi en ce cas,
ces restes de divisions sont aisez à évaluer.

Lorsque le Dénominateur est 10, ou 100, ou
1000, la fraction se nomme Décimale. On ne
traitera des Fractions que dans la 2e Partie; com-
me étant très-peu utiles dans l'usage de l'Arithme-
tique, chaque Entier ayant ses parties propres.

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Remarques surles Multiplications & Divisions

qui se suivent.
VI. Si l'on a un nombre comme(par exemple 13)
qu'il faille dabordi multiplier par 8, pour

diviser
ensuite le produit 120 par le Diviseur 12, on
abregera l'opération, en multipliant par une par-
tie du Multiplicateur naturel 8, comme par son
quart 2, ce qui donne 30 pour produit ; & divi.
fant ce produit par le quart du Diviseur naturel 125

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sçavoir 3, c'est-à-dire par une partie du Diviseur , pareille à celle qu'on a prise dans le Multipliende; ce qui donne pour Quotient 10, qu'on auroit trouvé en divisant d'abord 120 par 12 ; & ce qui vient ce que fi d'un côté le produit de 1s par 2 est quatre fois moindre que celui de 15 par 8, qu'il falloit prendre ; en recompense le Nombre des partagez 3 étant aussi 3

fois moindre, que diviseur 12 proposé, le Quotient qui marque la part de chaque partagé, doit toujours être le mêm.

Ce feroit encore la même chose s'il falloit d'abord diviser is par 12, pour multiplier ensuite le Quotient par 8; car en divisant is par 3, le Quotient est s, qui étant multiplié par 2, donne pour produit désiré lo.

4

le

1

3 / 6

Preuve de la División. 4 Exemple répeté. 8 2 3 8

VII. Pour s'assurer si l'on 6 o 8 o ne s'est point trompé dans

la Division, comme il n'ar6 S 9 O 4

rive que trop souvent, lorf 4 9 4 2 8 o

qu'on n'a pas d'habitude dans le calcul, il faut multiplier le Diviseur

par

le s 0,09 0,60o Quotient trouvé, & ajou

ter au produit le Resté de la division, s'il y en a un, la somme du tout rendra le Dividende principal, si l'on ne

si l'on ne s'est point trompé. Ainsi par exemple pour voir fi dans le 4 éxemple cy-devant, on ne s'est point trompé en partageant ( soo90600) par ( 6080, ) lorsqu'on a trouvé pour Quotient ( 8238,) & pour reste de la Division (356;.) on multiplie le Quotient

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( 8238 ) par le Diviseur ( 6080 , à cause que ce

, à

co dernier eft le plus petit ; ( ce qui abrege toujours l'opération, & d'ailleurs est arbitraire, comme on l'a vû dans théorie de la Multiplication ) & l'on ajoûte le reste ( 356) avec les produits particuliers; ce qui donne pour produit total (5009,060, auquel ajoûtant le zéro du Diviseur, qui en avoir été retranché, il vient le Dividende principal ; ce qui confirme

que l'on ne s'est point trompé dans la Division,

ز

Théorie de la Division.

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VIII. On peut toujours faire la même remarque sur cette opération, quant à la commodité, que fur les trois précédentes , parce qu'elle procede par parties comme elles.

A l'égard de la justesse on n'en peut pas non plus douter , si l'on confidere bien la maniere dont on y opére ; & il ne peut rester de difficulté au plus, que sur la maniere dont on arange les differents quotients, & sur sa preuve. Or si l'on reprend ( par exemple ) le 2d exemple, on verra que ce n'est pas simplement 578 que l'on divise à 92 par la pre opération, mais ( 5789, ainsi le It quotient n'est pas simplement 6, mais 60. A l'égard de la 2e division, fon quotient eftfimplement 2 unitez, puisque son dividende ( 269 ) n'a aucun chiffre après lui. On doit done dire que 92 est 60 fois, & 2 fois de plus en 5789 ; c'est-à-dire en un

2 mot 62 fois. Ainfi le ad quotient doit suivre le } imédiatement, puisqu'il a toujours un zéro de moins à la suite ; le 3e quotient doit de même suivre le 2d imédiatement, puisqu'il a aussi à sa suite un zéro de moins que ce second ; & cela à

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