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49,

pour avoir le reste, je dis [ 8 fois & font 64, de 69, le reste est s ] que j'écris dessous, & je reciens l'emprunt ( 6.) Ensuite [ 8 fois rien n'est rien, & l'emprunt font 6; de 10 qui est au dessus, le reste est 4, ] que j'écris sous le zéro, retenant 1. Enfin [ 8 fois 6 font 43, & 1 de retenu, la someft de

so,

le reste est 1, ] que j'écris à côté du 4. Ainsi le reste de cette premiere division eft ( 14.5, ) à côté duquel je descend le zéro du Dividende qui suit sa 1re partie ( 5009) immédia. tement; ce qui me donne ( 1450 pour 2d dividende, sous lequel par consequent j'avance le Diviseur 608 ; sçavoir d'une place à droite à l'ordinaire , & je trouve 2 pour quotient de cette 2e division, par lequel je multiplie le Diviseur 608, disant [ 2 fois 8 fant 16, de 20 qui est au dessus , le reste est 4, ) que j'écris sous 8, retenant l'emprunt 2; ensuite [ 2 fois o, n'est rien ; mais je

des, le reste eft 3, ] que j'écris à côté

& ainsi de suite, jusqu'à la fin de la Divi. fion; ce qui me donne ( 8238) pour Quotient total , & 356 pour dernier reste.

Après tous ces exemples il ne restera aucune difficulté sur tous les autres, qu'on voudra se pro. poser , comme chacun peut l'experimenter,

se EX EMPLE. 36OS S

V. A

3 6 φ ο I 02 S૨ 1 ૦ ૦૮

l'égard

des ab. brégez de la Division,remarquez(1) que lorsqu'on a des nombres à diviser par l'unité jointe à des zéros; sçavoir par ( 10, 100, 1000, &c.) la régle générale est d'en retrancher autant de figures à droite, que le Diviseur contient de zéros ; ainsi ( 360 ) divisez par 10 donnent 36, qui se trouvent en

retiens 2;

de 4;

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1

{809016

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80916?

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801003

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0907

tranchant le zéro de 360; de même ( 3600 ) divisez par 100, donnent encore ( 36,) qui restent après avoir tranché les deux zéros de ( 3600.)

6 EX EMPL E. 2. De plus, ( 80907) 8 o 9 o 7

étant divisez par ( 10, ) $80.90 donnent ( 8090 ) pour

Quotient, & 7 pour le ref

te de la Division ; & étant 8 o 9 o 7

divisez par ( 100 ) don. nent seulement(809) pour Quotient, & (07) pour

le reste de la Division, & 8 o 9 0

de même de tous les au. tres.On verra dans la suite de ce traité ce qu'on doit

faire de ces restes de divi 8 o 9 o 7

sion.

8Ι Ο

3. Toutes les fois que l'on peut prendre, sans calcul une semblable

partie aliquote du Dividende & du Diviseur, on peut abbreger encore la Division. Si le Dividende est par exemple 1 5o qu'il faille partager à 35, prenant la se partie de 150; sçavoir 30, & aussi la

se partie de 35, sçavoir 7, & divisant 30 par 7, le Quotient est 4,& il reste encore 2 à qui est précisément le même Quotient & le même reste, que si l'on avoit partagé iso à-35; ce qui auroit donné pour Quotient 4 & 1o de reste à partager à 35, qui est la même chose que 2 à tager à 7, comme il est évident.

A l'égard des restes de la Division, comme si un refte est 7, ou 97, &c. & le Diviseur 10, ou 100, &c; ou si le reste eft 4,& le Diviseurs, &c. on me ordinairement le Diviseur fous ces Reftes. Ainli (a) ( ) ( ) &c. en les separant

{

ܘܘ ܘܘܐ

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par une barre,& ces 2 nombres ainsi joints fe nomment une Fraction dont le chiffre supérieur s'appelle le Numérateur, ou le Dividende, & l'inferieur le Dénominateur ou le Diviseur de la fraction ; & elle s'exprime ainsi ( 1 ) 7 dixiémes, (187) nonante-sept centiémes; ) un demi; (j) deux tiers; (2) trois quarts ; (*) quatre cinquiémes, &c. parce que si i partagé à dix personnes donne i dixiéme à chacun, il est évident que pour diviser 7 à 10 personnes, c'est 7 dixiémes à chacun: ce qui est principalement utile dans les Divisions , où le Diviseur est un fort petit nombre ; & en mêine-tems partie de l'Entier. S'il falloit par exemple diviser 163 liv. à s personnes, on trouveroit pour Quotient ( 3 2 liv. &};)& conme ( s est le quart de 20 sols, valeur de la livre, il est évident que (1) de livre est 4 fols, &

que par consequent 12 fols : ainsi en ce cas, ces restes de divisions font aisez à évaluer.

Lorsque le Dénominateur est 10, ou 100, ou 1000, la fraction se nomme Décimale. On ne traitera des Fractions que dans la 2e Partie; comme étant très-peu utiles dans l'usage de l'Arithmetique, chaque Entier ayant ses parties propres.

( ) font

Remarques surles Multiplications & Divisions

qui se suivent. VI. Si l'on a un nombre comme(par exemple is) qu'il faille dabord' multiplier par 8, pour diviser ensuite le produit 120 par le Diviseur 12, on abregera l'opération, en multipliant par une partie du Multiplicateur naturel 8, comme par son quart 2, ce qui donne 30 pour produit ; & divifant ce produit par le quart du Diviseur naturel 125

Is par

İçavoir 3, c'est-à-dire par une partie du Diviseur, pareille à celle qu'on a prise dans le Multipliende; ce qui donne pour Quotient 10, qu'on auroit trouvé en divisant d'abord 120 par 12; & ce qui vient ce que fi d'un côté le produit de 15 par 2 est quatre fois moindre que celui de is par 8, qu'il falloit prendre; en recompense le Nombre des partagez 3 étant aufli

4

fois moindre, que le diviseur 12 proposé, le Quotient qui marque la part de chaque partagé, doit toujours être le mêm.

Ce feroit encore la même chose s'il falloit d'abord diviser is par 12, pour multiplier ensuite le Quotient par 8; car en divisant is par 3, le

Quotient est's , qui étant multiplié par 2, donne pour produit désiré ió.

2

6

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Preuve de la División. 4 Exemple répeté.

8
3

VII. Pour s'assurer si l'on
8
6 o 8 o ne s'est point trompé dans

la Division, comme il n'ar§ 2 O 4 rive que trop souvent, lorf4 9 4 2 8

qu'on n'a pas d'habitude 3 S 6 dans le calcul, il faut multiplier le Diviseur

par le s 0,09 0,6 oo Quotient trouvé, & ajou

ter au produit le Resté de la division, s'il y en a un, la somme du tout rendra le Dividende principal, si l'on ne s'est point trompé. Ainsi par exemple pour voir fi dans le 4 éxemple cy-devant, on ne s'est point trompé en partageant (50090600) par ( 6080, ) lorsqu'on a trouvé pour Quotient ( 8238,) & pour reste de la Division ( 356;.) on multiplie le Quotient

( 8238 ) par le Diviseur ( 6080 , à cause que co dernier est le plus petit ; ( ce qui abrege toujours l'opération, & d'ailleurs est arbitraire, comme on l'a vû dans théorie de la Multiplication ) & l'on ajoûte le reste (356) avec les produits particuliers; ce qui donne pour produit total ( 5009,060, auquel ajoûtant le zéro du Diviseur, qui en avoir été retranché, il viene le Dividende principal ; ce qui confirme que l'on ne s'est point trompé dans la Division.

Théorie de la Division. VIII. On peut toujours faire la même remarque sur cette opération, quant à la commodité, que fur les trois précédentes, parce qu'elle procede par parties comme elles.

A l'égard de la justesse on n'en peut pas non plus douter, si l'on considere bien la maniere dont on y opére ; & il ne peut rester de difficulté au plus, que sur la maniere dont on arange les differents quotients, & fur fa preuve. Or si l'on reprend ( par exemple ) le zd exemple, on verra que ce n'est pas simplement 578 que l'on divise à 92 par la ire opération, mais ( 5789; ainfi le 1' quotient n'est pas simplement 6, mais 60. A l'égard de la 2° division,fon quotient estfimplement 2 unitez, puisque son dividende ( 269 ) n'a aucun chiffre après lui. On doit donc dire que 92 est 60 fois, & 2 fois de plus en 5789 ; c'est-à-dire en un mot 62 fois. Ainsi le 2d quotient doit suivre le ?? imédiatement, puisqu'il a toujours un zéro de moins à la suite ; le ze quotient doit de même suivre le 2d imédiatement, puisqu'il a aussi à fa suite un zéro de moins que ce second ; & cela à

5780

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