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pour avoir le refte, je dis [ 8 fois 8 font 64, de 69, le refte eft 5 ] que j'écris deffous, & je retiens l'emprunt (6.) Enfuite [ 8 fois rien n'eft rien, & l'emprunt font 6; de 10 qui eft au deffus, le refte eft 4,1 que j'écris fous le zéro, retenant 1. Enfin [ 8 fois 6 font 48, & 1 de retenu, la fomme eft 49, de 50, le refte eft 1,] que j'écris à côté du 4. Ainfi le reste de cette premiere divifion eft ( 145,) à côté duquel je defcend le zéro du Dividende qui fuit fa rre partie (5009) immédiatement; ce qui me donne ( 1450 pour 2d dividende, fous lequel par confequent j'avance le Divifeur 608; fçavoir d'une place à droite à l'ordinaire, & je trouve 2 pour quotient de cette 2 divifion, par lequel je multiplie le Divifeur 608, difant [ 2 fois 8 font 16, de 20 qui eft au deffus, le refte eft 4,] que j'écris fous 8, retenant l'emprunt 2; enfuite [ 2 fois o, n'eft rien; mais je retiens 2; de S, le refte eft 3,] que j'écris à côté de 4; & ainfi de fuite, jufqu'à la fin de la Divifion; ce qui me donne (8238) pour Quotient total, & 356 pour dernier refte.

Après tous ces exemples il ne restera aucune difficulté fur tous les autres, qu'on voudra se pofer, comme chacun peut l'experimenter.

Se EXEMPLE.

pro

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brégez de la Divifion,remarquez (1)que lorfqu'on a des nombres à divifer par l'unité jointe à des zéros ; fçavoir par ( 10, 100, 1000, &c.) la régle générale eft d'en retrancher autant de figures à droite, que le Divifeur contient de zéros; ainfi (360) divifez par 10 donnent 36, qui fe trouvent en

tranchant le zéro de 360; de même ( 3600) divisez par 100, donnent encore ( 36,) qui restent après avoir tranché les deux zéros de ( 3600.)

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6e EXEMPLE.

80907

I. O

80907

I O

80907

I C

80907

I

{80907

809780

2. De plus, (80907) étant divifez par (10,) 8090 donnent (8090), pour Quotient, & 7 pour le refte de la Divifion ; & étant divifez par (100) donnent feulement (809) pour Quotient, & (07) pour lerefte de la Divifion, & de même de tous les autres. On verra dans la fuite de ce traité ce qu'on doit faire de ces reftes de divifion.

80,00

S

0907

3. Toutes les fois que l'on peut prendre, fans calcul une femblable partie aliquote du Dividende & du Divifeur, on peut abbreger encore la Divifion. Si le Dividende eft par exemple 150 qu'il faille partager à 35, prenant la se partie de 150; fçavoir 30, & auffi la se partie de 35, fçavoir 7, & divifant 30 par 7, le Quotient eft 4, & il reste encore 2 à partager à 7, qui eft précisément le même Quotient & le même refte, que fi l'on avoit partagé 150 à 35; ce qui auroit donné pour Quotient 4 & 10 de reste à partager à 35, qui eft la même chofe que 2 à partager à 7, comme il est évident.

A l'égard des reftes de la Division, comme fi un refte eft 7, ou 97, &c. & le Divifeur 10, ou 100, &c; ou fi le refte eft 4, & le Divifeur 5, &c. on met ordinairement le Divifeur fous ces Reftes. Ainfi () ( ) ( ) &c. en les feparant

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97

97

par une barre,& ces 2 nombres ainfi joints fe nom-
ment une Fraction, dont le chiffre fupérieur
s'appelle le Numérateur, ou le Dividende, &
l'inferieur le Dénominateur, ou le Divifeur de
la fraction; & elle s'exprime ainfi ( 7 ) 7 dixié-
mes, (2) nonante-fept centiémes; () un de-
mi; () deux tiers; (4) trois quarts; () quatre
cinquièmes, &c. parce que fi i partagé à dix per-
fonnes donne dixiéme à chacun, il eft évident
que pour divifer 7 à 10
à 10 perfonnes, c'eft 7 dixié-
mes à chacun: ce qui eft principalement utile dans
les Divifions, où le Divifeur eft un fort petit
nombre; & en même-tems partie de l'Entier. S'il
falloit par exemple divifer 163 liv. à 5 perfonnes,
on trouveroit pour Quotient ( 3 2 liv. & ;) & com-
me (5 eft le quart de 20 fols, valeur de la livre
il est évident que () de livre eft 4 fols, & que
() font par confequent 12 fols: ainfi en ce cas,
ces reftes de divifions font aifez à évaluer.

Lorfque le Dénominateur eft 10, ou 100, ou 1000, la fraction fe nomme Décimale. On ne traitera des Fractions que dans la 2o Partie; comme étant très-peu utiles dans l'ufage de l'Arithmetique, chaque Entier ayant fes parties propres.

Remarques fur les Multiplications & Divifions qui fe fuivent.

15

VI. Si l'on a un nombre comme (par exemple 15) qu'il faille dabord multiplier par 8, 8, pour divifer enfuite le produit 120 par le Divifeur 12, on abregera l'opération,en multipliant par une partie du Multiplicateur naturel 8, comme par fon quart 2, ce qui donne 30 pour produit ; & divifant ce produit par le quart du Divifeur naturel 12,

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fçavoir 3, c'eft-à-dire par une partie du Diviseur pareille à celle qu'on a prife dans le Multipliende; ce qui donne pour Quotient 10, qu'on auroit trouvé en divifant d'abord 120 par 12; & ce qui vient ce que fi d'un côté le produit de 15 par z eft quatre fois moindre que celui de 15 par 8, qu'il falloit prendre; en recompenfe le Nombre des partagez 3 étant auffi fois moindre, que le divifeur 12 propofé, le Quotient qui marque la part de chaque partagé, doit toujours être le mê

me.

4

Ce feroit encore la même chofe s'il falloit d'abord divifer 15 par 12, pour multiplier enfuite le Quotient par 8; car en divifant 15 par 3, le Quotient eft, qui étant multiplié par 2, donne pour produit défiré 10.

Preuve de la Divifion.

4 Exemple répeté.

8238

6080

65994
8
356

494 2

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5 0,0 9 0, 6 0 0

VII. Pour s'affurer fi l'on ne s'eft point trompé dans la Divifion, comme il n'arrive que trop fouvent, lorfqu'on n'a pas d'habitude dans le calcul, il faut multiplier le Diviseur par le Quotient trouvé, &`ajouter au produit le Refte de la divifion, s'il y en a un, la fomme du tout rendra le Dividende principal, fi l'on ne s'eft point trompé. Ainfi par exemple pour voir fi dans le 4o éxemple cy-devant, on ne s'eft point trompé en partageant (50090600) par ( 6080, ) lorsqu'on a trouvé pour Quotient (8238, ) & pour reste de la Divifion (356;.) on multiplie le Quotient

(8238) par le Divifeur ( 6080, à caufe que ce dernier eft le plus petit ; (ce qui abrege toujours l'opération, & d'ailleurs eft arbitraire, comme on l'a vû dans théorie de la Multiplication ) & l'on ajoûte le refte (356) avec les produits particuliers; ce qui donne pour produit total (5009,060, auquel ajoûtant le zéro du Divifeur, qui en avoit été retranché, il vient le Dividende principal; ce qui confirme que l'on ne s'eft point trompé dans la Divifion.

Théorie de la Divifion.

VIII. On peut toujours faire la même remarque fur cette opération, quant à fa commodité, que fur les trois précédentes, parce qu'elle procede par parties comme elles.

A l'égard de fa jufteffe on n'en peut pas non plus douter, fi l'on confidere bien la maniere dont on y opére; & il ne peut refter de difficulté au plus, que fur la maniere dont on arange les differents quotients, & fur fa preuve. Or fi l'on reprend (par exemple) le zd exemple, on verra que ce n'eft pas fimplement 578 que l'on divife à 92 par la 1re opération, mais (5789, ainfi le I quotient n'eft pas fimplement 6, mais 60. A l'égard de la 2o divifion, fon quotient eftfimplement 2 unitez, puifque fon dividende (269) n'a aucun chiffre après lui. On doit donc dire que 92 eft 60 fois, & 2 fois de plus en 5789; c'est-à-dire en un mot 62 fois. Ainfi le 2d quotient doit fuivre le t imédiatement, puifqu'il a toujours un zéro de moins à fa fuite; le 3e quotient doit de même fuivre le 2a imédiatement, puifqu'il a auffi à fa fuite un zéro de moins que ce fecond; & cela à

5780

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