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caufe qu'à chaque divifion on eft obligé de defcendre un chiffre du Dividende principal à côté du refte de la derniere divifion, pour former une nouvelle partie de fomme à diviser, ou dividende particulier; fans quoi la divifion ne pourroit fe continuer; le Divifeur devant toujours être plus grand que chaque refte de divifion, lorsqu'on a bien opéré, comme on l'a vû ci-devant.

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A l'égard de la preuve, il eft bien évident que (608) eft (8238) fois avec quelque refte, comme 356 en (5009060,) réciproquement prenant (608) 8238 fois, c'eft-à-dire multipliant 608 par 8238, & ajoutant le refte (356) au produit, on doit retrouver leDividende propofé (5009060.) Enfin quant aux abbregez de l'article 5, on peut s'en affurer, en faifant l'opération tout au long. On peut confiderer auffi, que quand on retranche un zéro d'une fomme, comme de 360, on fait enforte que le chiffre précédent 6 qui valoit des dixaines, ne vaut plus que des unitez, & que le 3 3 qui valoit des centaines, ne vaut plus que des dixaines, & des autres à proportion,s'il y en a davantage. De forte que chaque chiffre valant dix fois moins qu'il ne valoit, on doit être perfuadé que la fomme entiere ne vaut plus auffi, plus auffi, que la dixiéme partie de ce qu'elle valoit auparavant. Si l'on en retranche 2 zéros, chacun de fes chiffres fera réduit à la centiéme partie, & par confequent auffi la fomme entiere ne vaudra plus que la centiéme partie de ce qu'elle valoit, & ainfi des autres à proportion.

Si les derniers chiffres de la fomme à divifer font des nombres, comme dans 80907 du 6e exemple, partageant cette fomme en deux parties, comme (80900) & ( 7, ) & divifant (80900) par (10,) on aura pour Quotient (8090,) com

me fi on avoit feulement retranché le (7;) lequel (7) demeurera pour Refte ainfi (8090.7.) Si l'on partage (80907) dans les deux parties (80000) & (907,) & qu'on divife (Soooo) par 1000, on aura (80) pour quotient, comme fi on avoit feulement retranché (907,) qui demeura pour Refte ainfi (80. 907. ).

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en deniers, les deniers en oboles, &c. ou tout au contraire, & qu'on peut à caufe de cela nommer Parties confecutives. Les autres qui font indépendantes les unes des autres, comme les aunes, tiers, quarts, fixiémes, huitiémes, douzièmes d'aunes &c, qu'on peut appeler abfoluës.Nous allons donner des exemples des unes & des autres.

Soient premierement pour exemple de la premiere efpece, plufieurs Tommes de livres, fols & deniers qu'il faille ajoûter en une seule. Pour cet effet j'écris d'abord les entiers fous les entiers, les fols fous les fols, les deniers fous les deniers, dans l'ordre de l'Arithmetique, ayant foin de féparer les fols des livres & les deniers des fols par de petites lignes, afin d'éviter la confufion, comme on le voit en cet exemple. Enfuite dequoi je commence par faire une fomme des moindres parties, fçavoir ici de tous les deniers, laquelle eft 49, que j'écris deffous, comme dans l'Addition des Entiers : & parce que dans l'ufage on ne paffe point I deniers ( à cause qu'un fol en vaut 12,) il est évident qu'il s'agit de changer ces 49 deniers en fols; ce qui fe fait en les divifant par 12, valeur du fol en denier, par les régles précédentes de la Divifion des Entiers. Cette divifion donne au quotient 4 fols, & il refte 1 denier feulement, qu'on écrit fous les deniers, fçavoir fous une barre ou trait pour les diftinguer, on écrit auffi les 4 fols du quotient, fous les fols au deffus de la même barre; & on fait une fomme de tous les fols, qu'on écrit de même fous la barre; cette fomme eft ici (71 fols;) mais parce que la livre ne vaut que 20, on ne paffe point 19 fols dans l'ufage ordinaire: c'eft pourquoi il faut encore faire des livres de ces 71 fols, en les divifant par 20, comme des entiers; ce qui donne au quotient 3 liv. que l'on écrit au rang des livres fur la barre, & les 11 fols de refte fe mettent fous la même barre, au rang des fols, à côté des deniers. Enfin on fait une fomme de toutes les livres à l'ordinaire, qui eft ici ( 11,697. De forte que la fomme totale defirée (11,697

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ne vaut 6 pieds; de pieds, dont chacun vaut 12 pouces ; de pouces, dont chacun vaut 12 lignes, & de lignes, dont chacune vaut 6 points.

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quarts d'aunes, des fixiémes, des tiers & des dou

aunes,

ziémes. Ayant donc écrit toutes les aunes en une même colonne, tous les quarts dans une autre, les fixièmes, les tiers, & les douzièmes en autant d'autres colonnes, & cela fans aucun choix affecté, je commence, pour obferver quelque ordre, par faire une fomme totale de toutes les dernieres parties, qui font icy les douzièmes. Cette fomme eft (35) 12émes; mais comme douze 12émes font une aune, on ne paffe point onze émes dans l'ufage; c'eft pourquoi je réduis ces 35 12émes en aunes, en les divifant par ( 12 ) valeur de l'aune, ce qui me donne au quorient 2 aunes, & onze 12émes de refte, que j'écris dans le rang des 1 2émes fous une barre, comme dans l'article précédent, refervant les 2 aunes du quotient pour la fin de l'addition. Je paffe donc à l'efpece precedente qui font des tiers, dont la fomme eft 7 tiers; mais comme trois tiers font une aune, je divise ce 7 par (3) ce qui me donne encore 2 aunes & un tiers de refte, que j'écris fous les tiers, refervant toujours le Quotient ( 2 pour la fin. Je fais de même des 6émés, dont la fomme.est ( 12, ) laquelle étant divifée par 6, donne 2 aunes jufte, que je referve pour la fin, écrivant le zéro de refte fous ce rang, feulement pour remplir la place, & faire voir qu'on n'a rien obmis. Enfin la fomme des quarts eft 10, est 10, laquelle étant divisée par 4, donne encore 2 aunes au Quotient, & 2 quarts de refte, que j'écris fous les quarts. J'écris enfuite toutes les aunes des Quotients en une colonne, dont je fais une fomme qui eft ici huit aunes, que j'écris au rang des aunes, des aunes, dont j'acheve l'addition, comme pour les entiers; & la fomme totale defirée fe trouve alors être ( 870 aunes 2 quarts o fixiémes I tiers & II douzièmes, ) & de même pour toutes les autres efpeces de cette nature.

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