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faire trois differens produits, dont le premier eft 200 liv. le fecond 120 fols, & le 3o 64 deniers. Et comme ce nombre de deniers furpaffe 11, je les divife par 12, valeur du fol en deniers pour en faires fols, & il refte 4 den. que j'écris deffous, fçavoir fous une barre, pour éviter la confufion: j'ajoute enfuite ces 5 fols avec les 120 provenans de la multiplication de 15 par 8; ce qui donne 125 fols; mais comme cette fomme furpaffe 19 fols, je la divife par 20 valeur de la livre en fols, ce qui me donne 6 liv. & 5 fols de refte, que j'écris fous la même barre au droit des fols. Enfin j'ajoute ces 6 livres avec les 200 venues de la multiplication de 25 liv. par 8, la fomme eft 206 liv. que j'écris fous les livres avec livres, les s fols & les quatre deniers de refte; ce qui donne pour le produit total defiré ( 206 livres 5o 4d,) que l'on trouve écrit fous la barre au deffous de l'opera

tion entiere.

On pourra s'exercer encore fur l'éxemple fuivant, & s'en propofer tant d'au res qu'on voudra de même efpece, fans qu'on doive apprehendet qu'il s'y trouve aucune nouvelle difficulté.

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On n'a fuppofé dans cet exemple tous les mois de 30 jours, que pour rendre l'opération plus courte, & plus conforme à l'ufage civil.

Multiplication effective d'Entiers & Parties par Entiers & Parties.

II. Soient maintenant pour éxemple de la 2e ef pece, s liv. pefant, 6 onces, 3 drachmes, à multiplier par 4 liv. pefant, 2 onces 7 drachmes par une multiplication effective.Il faut bien remarquer que dans cette forte de Multiplication on doit avoir trois fortes de produits;fçavoir le r'un produit d'entiers par entiers: le fecond d'entiers par parties, ou de parties par entiers; & le 3o de parties par parties; de crainte qu'on ne s'y trompe.

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liv. pefant par 4 liv.

pefant à l'ordinaire; ce qui donne 20 liv. pefant pour le produit des entiers, qui eft la rre efpece de produit, que j'écris fous les livres en A.

Je multiplie enfuite les 6 onces, 3 drachmes par les mêmes 4 liv. ce qui me donne 24 onces 12 drachmes, que j'écris deffous, & tout de fuite les 2 onces 7 drachmes du Multiplicateur, par les 5 liv. du Multipliende; ce qui donne encore 10 onces 35 drachmes, que j'écris fous les res, & ces 4 derniers produits reciproques font la 2o efpece de produits; fçavoir celle des entiers par les parties, que l'on trouve en B.

Enfin pour avoir le produit des parties d'une part, par les parties de l'autre, ( qui est la 3o efpece de produit qui refte à trouver) je reduis les 6 onces 3 drachmes du Multipliende à SI drachmes; & les 2 onces 7 dr. du Multiplicateur à 23 drachmes, qui font les plus petites parties de ces fommes; ce qui fe fait (comme il est évident ) en multipliant les onces par 8 (qui eft leur valeur en drachmes, ) & leur ajoûtant les drachmes qui les fuivent, comme on le voit dans l'exemple

en D & E. Enfin je multiplie ces ( 13 ) drachmes d'une part par les de l'autre ; ce qui me donne (1173) drachmes de drachmes, qui eft la 3e efpece de produit defiré que l'on trouve en C.

Mais comme cette efpece de parties est inconnuë dans l'ufage ordinaire, il s'agit maintenant de la réduire à des drachmes ufuelles, ou courantes; & pour cet effet, je multiplie la valeur de la livre en onces, fçavoir (16) par la valeur de l'once en drachmes, fçavoir 8, ce qui me donne 128 drachmes pour la valeur de la livre en drachmes, que l'on trouve en F. Je divife donc ces 1173 drachmes par 128 drachmes, il vient au quotient 9 drachmes, & il refte encore 12 drachmes de drachmes, que je ne puis évaluer en fimples drachmes, le nombre étant trop petit; c'est pourquoi je les confidere comme des parties de drachmes,

de drachmes

& je
les multiplie par 72, comme on le trouve en
G. pour en faire des parties de grains, fçavoir
1512, de même que fi j'avois des drachmes à ré-
duire en grains; defquelles drachmes chacune
en vaut 72; après quoi il ne me refte plus que
de continuer à divifer ces 1512 parties de grains
par mon divifenr 128, ce qui me donne 11 grains
pour la valeur des 21 drachmes de drachmes ref
tantes; & je néglige le refte de la divifion, comme
étant des parties infenfibles; ou plûtôt je multi-
plie fimplement le refte 2 1 par
par la Se partie de 72,
fçavoir par 9; ce qui donne le produit 189, que
je divife enfuite par la 8e partie du Diviseur natu-
rel 128; c'est-à-dire par 16, & il vient toujours
le même Quotient 12, comme on le voit à côté
en (g.)

Enfin j'ajoute les ୨ drachmes trouvées par ma premiere divifion, avec celles de la 2o efpece; ce qui me donne en tout 56 drachmnes, que je divife

par 8, pour en faire 7 onces jufte, que j'ajoute avec les onces de la 2o efpece, leur fomme eft 41 onces, lefquelles je divife par 16, pour en faire des livres pefant; ce qui me donne 2 livres pefant & 9 onces de refte, lefquelles fonces j'écris au droit des onces fous une barre à l'ordinaire, & tout de fuite le zero reftant des drachmes, à la fuite duquel zéro, j'écris encore les 12 grains provenans de la 2e divifion. Enfin j'ajoute ces 2 livres. avec les 20 livres de la premiere multiplication, & je defcends la fomme 22 livres fous la barre, au droit des onces, drachmes & grains, ce qui me donne pour le produit total defire 22 livres pefant 9 onces, o drachmes, 9 grains.

Si l'on n'avoit que des livres, & onces d'une grande part à multiplier par des drachmes, deniers & grains d'autre part, ou tout au contraire, il faudroit écrire pour la Somme à mutiplier...... liv.

.... onces, o drachmes, o deniers, o grains ;) & pour le Multiplicateur ( o livres, o onces.. drachmes, ...... deniers, & ...... grains, ou tout au contraire, & continuer l'opération tout au long, comme dans le réxemple, écrivant zéro pour le produit d'un nombre par un zéro, ou d'un zero par un nombre; ce qu'on verra encore plus amplement dans les regles de proportion ci-après.

Multiplication par parties aliquotes.

III.On fait cette efpece de multiplication d'entiers & parties par entiers parties,toutes les fois que l'entier & fes parties ne contiennent chacune qu'un petit nombre de parties, & que le nombre de ces dernieres contient beaucoup de parties aliquotes éxactes; comme ( par exemple) lorsque

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