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l'espece sont des toises qui ne contiennent que fix pieds, dont un ne vaut que 12 pouces, un desquels n’est composé que de 12 lignes, dont une n'est divisée qu'en fix points. Çar outre que les nombres 6 & 12 sont fort petits, ils contiennent plusieurs parties exactes, comme des moitiez, des tiers, des quarts ; il en est de même des livres pesant ; & cette Multiplication proporcionnelle a encore cet avantage, qu'il n'est pas neceffaire que le Multipliende & le Multiplicateur soient tous deux de même espece. Comme file prix d'une toise d'ouvrage étant établi de ( 25 liv. of zd, on demande par proportion combien ( 3 toises, s pieds 7 pouces )de ce même ouvrage doivent coûter, Car il est évident que pour répondre à cette question, il ne s'agit que de multiplier le prix de la toise, sçavoir (25 1.9 f. 7 den.) par les 3 toises, & par les s pieds 7 pouces pris proportionnellement; ce qui se fait en cette maniere.

4° E x E M P L E. multiplien- 25 livres.

Je multiplic de.

premiereMalcipli- .

7 pouce. ment les 25

liv. 9 s. 7 d. -276-18.

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re. Je passe ensuite aux s pieds, dont je laisse 1, que je marque au dessus , par régle générale, à causé d'es pouces qui suivent les pieds ; je multiplie donc encore 2s liv. 9 fols 7 den. par les ( 4 ) pieds qui restent, sçavoir proportionnellement, en disant (une toise multipliant le multipliende 25 l. 91.7 den. produiroit ( 25 1.9 1.7 d.) Donc par proportion ( 4 ) pieds, qui sont les 2 tiers d'une toise, doivent produire les 2 tiers de ( 25 liv. 9 sols 7 d. Je prens donc les 2 tiers de 2s liv. sçavoir 16 liv. que j'écris sous les premieres livres produites, & reste 1 liv. dont je fairs 20 fols, que j'ajoûte aux 2 sols suivans, la somme est 29 sols, dont les 2 tiers sont 18 fols, que j'écris sous les 27 sols de la gre operation, & restent 2 fols, dont je faits 24 deniers, que j'ajoûte avec les 7 deniers suivans, la fomme est 31, dont les 2 tiers font 20 deniers, que j'écris fous les 2 i de la pre opération, & du denier restant je faits 2 oboles,dont les 2 tiers song i obole environ ; ainsi le produit de 4 pieds est 16 liv. 18 sols 20 den. 1 obole. Je reviens ensuite à i pied que j'ai laissé ; & comme c'est le

quart

đc (4) pieds qui viennent de multiplier , je prens par proportion le quart du produit de 4 pieds, c'est-à dire de ( 16 liv. 18 f. 20 den. i obole,) sçavoir

liv. 4 sols 11 den. o ob. ) que j'écris sous les précédens , avec une croix pour marque que c'est le produit d'un pied. Je passe ensuite aux 7 pouces, que je divile en 2 parties, sçavoir 4 & 3, dont la 1re est le tiers, & la 2e le quart de 12, valeur du pied en pouces ; & comme i pied a produit ( 4 liv.

4

f. 11 den. ) j'en prens par proportion le tiers, pour les 4 pouces, sçavoir ( 1 liv. 8 f. 3 d. i ob.) & ensuite le quart pour les 3 pouces restans, sçavoir ( I liv. 1 f. 2 den. 2 oboles ) que j'écris sous les produits précedens, selon l'ordre des parties.

( 4 liv.

sçavoir 59,

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ces 4

II

9 fols

Je faits ensuite une somme des oboles, laquelle est icy 4 environ. dont je forme 2 deniers que j'écris au rang des deniers : ensuite je fais une autre fomme des deniers,

dont je forme 4 sols, en les divisant par 12, & il reste i deniers, que j'écris au droit sous une barre ; je porte ensuite

sols sous les sols , & je fais encore une somme du tout, sçavoir 62 sols, que je divise par 20, pour en faire 3 liv. que j'écris sous les liv. écrivant le reste 2 sols sous les sols : enfin je fais une derniere somme de toutes les livres produites , sçavoir 100. Ainsi le produit total défiré est ( 100 liv. 2 fols den.) pour la valeur des ( 3 toises, s pieds, 7 pouces) proposez, à raison de ( 25 liv. 7 den. la toise.

On pourra s'exercer encore sur l'éxemple suivant,'où l'on suppose, qu'une livre pesant d'une certaine marchandise coûte ( 4 liv. s fols 9 den.) & on demande combien sur ce pied en coûteront s drachmes, o den. 19 grains.

so E x E M PL E. Multipli.

-411vgngd Multiplien liv.peloon. p. gdr. oden 198".

Pour y répondre, j'écris (olp, o. on.

dr. o. d. 19. S

&
Sd

sf. 9 d.)fselon 十一

l'ordre des ef S

peces. Je mets -4

o

le produit des Prod.tot.-Oliv 31-

liv. pesant. A l'égard des onces, je n'en faits pas de même, parce que j'ai besoin du produit d'une once, pour

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trouver celui des s drachmes. Je suppose donc qu'il y ait I once ; & comme

& comme 1. liv. pesant donneroit pour son produit ( 4 liv. s sols 9 den.) par proportion i once ( qui en est la 16e partie ) doit donnner la 16€ partie, ou le quart du quart de ( 4 liv. s sols 9 den. ) J'en prends donc d'abord le quart, sçavoir ( 1 liv. 1 f.

S

den. ) que j'écris dessous, dans le même ordre, & je prends encore le quart de ce quart, sçavoir ( o liv. s sols 4.d.) pour le produit de l'once supposée, au droit duquel je marque une () pour me souvenir que ce

qu’une supposition, effaçant la 1re ( 1 liv. I f. s den. ) Presentement donc je multiplie par 4 drachmes, laissant une drachme pour regler les deniers ; & comme ces 4 drachmes sont la moitié d'I once, je prends la moitié de ma derniere supposition, sçavoir ( 2 f. 8 den. ) après quoi j'efface encore cette supposition s sols 4 den. Et pour drachme je prends le quart du dernier produit, sçavoir 8 den. que je marque d'une croix ( 7.) Je prends encore le tiers de ce dernier produit, sçavoir 2 d. 1 ob, pour le produit d'un denier pesant supposé, qui me doit regler le produit des grains, & je le marque encore d'une ( S.) parce que c'est une supposition. Enfin 1 denier valant 24 grains , je divise 19 en 2 parties, sçavoir 16 et 3, qui sont toutes deux des parties exactes de 24. J'en prends donc 16, écrivans les 3 restans au deflus; & conme ces 16 grains sont les 2 tiers ďı denier, je prens les 2 tiers de la derniere fupposition 2 den, 4 oboles, sçavoir 4 oboles, & pour les 3 grains restans, j'en prends la 8 partie, fçavoir i obole environ, & j'efface auffi cette feconde supposition 2 den. í obole. Je fais donc presentement une somme des oboles, laquelle étant, convertie en deniers, donne environ 3 deniers, que j'ajoûte avec la colonne des deniers, la somme eft 19 den, dont je fais e sol & 7 den, de reste : enfin j'ajoute ce sol avec la colonne des sols; ce qui me donne en tout 3 Cols 7 deniers , pour le prix des s drach. mes, 19 grains proposez. On fera de même pour toutes les autres especes.

Au reste la multiplication d'entiers & parties par entiers & parties, fert dans les Regles de pro, portion, lorsque le premier terme est 'unité; dans le Toisé, dans l'Arpentage, dans les Regles d'Eltimation, & dans celles d'Alliage, comme on le verra par la suite,

Théorie de la Multiplication des Entiers

& Parties.

IV. Ondoit faire les mêmes réflexions sur les opérations des trois derniers chapitres,que sur les précedens , quant à leur commodité. Et les opérations des chapitres 6 & 7 ne doivent renfermer aucune difficulté du côté de leur théorie, après ce qui en a été dit dans ces mêmes chapitres précedens. A l'égard de celui-ci, il me semble qu'il ne peut y avoir que la multiplication réelle d'entiers & parties qui puisse arrêter par

ses differens produits & fes rédučtions. Mais toutes ces difficultez font aisées à résoudre : car si l'on considere que pour inultiplier (s liv, pesant 6 onces 3 drachmes ) par (4 liv. pesant 2 onces 7 drachmes) du ze éxemple ci-devant, il faut multiplier tout le Multipliende par 4 liv, pesant, ensuite par 2 onces, & enfin par 7 drachmes, c'est-à-dire par tout le Multiplicateur ; on verra aussi-tôt que les livres pesant multiplieront les livres pesant ; ce qui donne la ito espece de produit, sçavoir celle des entiers

par

les

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