l'efpece font des toifes qui ne contiennent que fix pieds, dont un ne vaut que 12 pouces, un defquels n'eft compofé que de 12 lignes, dont une n'eft divifée qu'en fix points. Car outre que les nombres 6 & 12 font fort petits, ils contiennent plufieurs parties éxactes, comme des moitiez, des tiers, des quarts; il en eft de même des livres pefant; & cette Multiplication proportionnelle a encore cet avantage, qu'il n'eft pas neceffaire que le Multipliende & le Multiplicateur foient tous deux de même efpece. Comme fi le prix d'une toife d'ouvrage étant établi de ( 25 liv. 9f7d, on demande par proportion_combien ( 3 toifes, 5 pieds 7 pouces )de ce même ouvrage doivent coûter. Car il eft évident que pour répondre à cette question, il ne s'agit que de multiplier le prix de la toife, fçavoir (25 1.9 f. 7 den.) par les 3 toifes, & par les s pieds 7 pouces pris proportionnellement; ce qui fe fait en cette maniere. 4 EXEMPLE. Multiplien- 2 livres. fols. dc. 9 pieds. -275 18 3. 7 deniers. pouce. ob. Je multiplie premierement les 25 liv. 9 f. 7 d. par 3 toifes, c'est-à-dire par 3, comme dans l'article precedent, ce qui me donne pour it produit (75 liv. 27 que f. 21 d.) j'écris fous une bar S & re. Je paffe enfuite aux 5 pieds, dont je laiffe r, que je marque au deffus, par régle générale, à caufe des pouces qui fuivent les pieds; je multiplie donc encore 25 liv. 9 fols 7 den. par les (4) pieds qui reftent,fçavoir proportionnellement, en difant [une toife multipliant le multipliende 25 1. 91.7 den. produiroit (25 1.9 f.7 d.) Donc par proportion (4) pieds, qui font les 2 tiers d'une toife, doivent produire les 2 tiers de ( 25 liv. 9 fols 7 d. Je prens donc les 2 tiers de 25 liv. fçavoir 16 liv. que j'écris fous les premieres livres produites, refte i liv. dont je faits 20 fols, que j'ajoûte aux ୨ fols fuivans, la fomme eft 29 fols, dont les z tiers font 18 fols, que j'écris fous les 27 fols de la re operation, & restent 2 fols, dont je faits 24 deniers, que j'ajoûte avec les 7 deniers fuivans, la fomme eft 31, dont les 2 tiers font 20 deniers, que j'écris fous les 21 de la re opération, & du denier reftant je faits 2 oboles,dont les 2 tiers font I obole environ; ainfi le produit de 4 pieds eft 16 liv. 18 fols 20 den. 1 obole. Je reviens enfuite à 1 pied que j'ai laiffé; & comme c'est le quart de (4) pieds qui viennent de multiplier, je prens par proportion le quart du produit de 4 pieds, c'est-à dire de ( 16 liv. 18 f. 20 den. 1 obole,) fçavoir (4 liv. 4 fols 11 den. o ob.) que j'écris fous les précédens, avec une croix pour marque que c'est le produit d'un pied. Je paffe enfuite aux 7 pouces, que je divife en 2 parties, fçavoir 4 & 3, dont la re eft le tiers, & la 2e le quart de 12, valeur du pied en pouces ; & comme 1 pied a produit ( 4 liv. 4 f. 11 den.) j'en prens par proportion le tiers, pour les 4 pouces, fçavoir (i liv. 8 f. 3 d. 1 ob.) & enfuite le quart pour les 3 pouces reftans, fçavoir (1 liv. 1 f. 2 den. 2 oboles ) que j'écris fous les produits précedens, felon l'ordre des parties. I I I Je faits enfuite une fomme des oboles, laquelle eft icy 4 environ. dont je forme 2 deniers que j'écris au rang des deniers : enfuite je fais une autre fomme des deniers, fçavoir 59, dont je forme 4 fols, en les divifant par 12, & il refte i 1 deniers, que j'écris au droit fous une barre; je porte enfuite ces 4 fols fous les fols, & je fais encore une fomme du tout, fçavoir 62 fols, que je divife par 20, pour en faire 3 liv. que j'écris fous les liv. écrivant le refte 2 fols fous les fols: enfin je fais une derniere fomme de toutes les livres produites, fçavoir 100. Ainfi le produit total défiré eft ( 100 liv. 2 fols 11 den.) pour la valeur des (3 toifes, s pieds, 7 pouces) propofez, à raison de ( 25 liv. 9 fols 7 den. la toife. II On pourra s'éxercer encore fur l'éxemple fuivant, où l'on fuppofe, qu'une livre pefant d'une certaine marchandise coûte ( 4 liv. 5 fols 9 den. ) & on demande combien fur ce pied en coûteront drachmes, o den. den. 19 grains. I trouver celui des S drachmes. Je fuppofe done qu'il y ait once ; & comme 1. liv. pefant donneroit pour fon produit (4 liv. 5 fols 9 den.) par proportion I once ( qui en eft la 16 partie) doit donnner la 16 partie, ou le quart du quart de (4 liv. 5 fols 9 den. ) J'en prends donc d'abord le quart, fçavoir (1 liv. 1 f.s den.) que j'écris deffous, dans le même ordre, & je prends encore le quart de ce quart, fçavoir (o'liv. 5 fols 4 d.) pour le produit de l'once fuppofée, au droit duquel je marque une (S) pour me fouvenir que ce n'eft qu'une fuppofition, effaçant la re (liv. I f. S den.) Prefentement donc je multiplie par 4 drachmes, laiffant une drachme pour regler les deniers; & comme ces 4 drachmes font la moitié d'I once, je prends la moitié de ma derniere fuppofition, fçavoir ( 2 f. 8 den. ) après quoi j'efface encore cette fuppofitions fols 4 den. Et pour drachme je prends le quart du dernier produit, fçavoir 8 den. que je marque d'une croix (†.) Je prends encore le tiers de ce dernier produit, fçavoir 2 d. 1 ob. pour le produit d'un denier pefant fuppofé, qui me doit regler le produit des grains, & je le marque encore d'une (S,) parce que c'eft une fuppofition. Enfin 1 denier valant 24 grains, je divife 19 en 2 parties, fçavoir 16 et 3, qui font toutes deux des parties éxactes de 24. J'en prends donc 16, écrivans les 3 reftans au deffus; & conme ces 16 grains font les 2 tiers d'ı denier, je prens les 2 tiers de la derniere fuppofition 2 den. 4 oboles, fçavoir 4 oboles, & pour les 3 grains reftans, j'en prends la 8e partie, fçavoir 1 obole environ, & j'efface auffi cette feconde supposition. 2 den. 1 obole. Je fais donc prefentement une fomme des oboles, laquelle étant, convertie en deniers, donne environ 3 deniers, que j'ajoûte avec la colonne des deniers, la fomme eft 19 den, dont je fais 1 fol & 7 den, de reste enfin j'ajoute ce fol avec la colonne des föls; ce qui me donne en tout 3 fols 7 deniers, pour le prix des s drach mes, 19 grains propofez. On fera de même pour toutes les autres efpeces. Au refte la multiplication d'entiers & parties par entiers & parties, fert dans les Regles de proportion, lorfque le premier terme eft l'unité; dans le Toifé, dans l'Arpentage, dans les Regles d'Ef timation, & dans celles d'Alliage, comme on le verra par la fuite. Théorie de la Multiplication des Entiers IV. Ondoit faire les mêmes réflexions fur les opérations des trois derniers chapitres, que fur les précedens, quant à leur commodité. Et les opérations des chapitres 6 & 7 ne doivent renfermer aucune difficulté du côté de leur théorie, après ce qui en a été dit dans ces mêmes chapitres précedens. A l'égard de celui-ci, il me femble qu'il ne peut y avoir que la multiplication réelle d'entiers & parties qui puiffe arrêter par fes differens produits & fes réductions. Mais toutes ces difficultez font aifées à réfoudre car fi l'on confidere que pour mul: tiplier (5 liv. pefant 6 onces 3 drachmes) par (4 liv. pefant 2 onces 7 drachmes) du 3e éxemple ci-devant, il faut multiplier tout le Multipliende par 4 liv. pefant, enfuite par 2 onces, & enfin par 7 drachmes, c'est-à-dire par tout le Multiplicateur; on verra auffi-tôt que les livres pefant multiplieront les livres pefant ; ce qui donne la te efpece de produit, fçavoir celle des entiers par les |