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entiers. On trouvera de plus que les 4 livres pefant doivent multiplier les 6 onces 3 drachmes, & les 2 onces 7 drachmes, les s liv. pefans; ce qui compofe la ze efpece de produits, fçavoir celle des parties par les entiers, & des entiers par les parties réciproquement. Enfin on verra auffi, que les 2 onces 7 drachmes doivent encore multiplier les 6 onces 3 drachmes; ce qui donne la 3e efpece de produits; fçavoir celle des parties par les parties. On connoîtra encore que fi les liv. pefans multipliant les liv. pefant, donnent des liv, pefant pour leur produit, par proportion les mêmes liv. pefant multipliant les onces & les drachmes, ne doivent donner que des feizièmes parties de liv. pefant, & des huitièmes parties d'onces. c'est-à-dire des onces & des drachmes; & qu'enfin fi les liv. pesant multipliant des drachmes, ne donnent que des drachmes, c'est-à-dire des 128émes de liv. pefant, par proportion auffi (les onces & drachmes étant mifes en drachmes, tant de part que d'autre pour abréger l'opération) les drachmes multipliant les drachmes, ne doivent donner que des drachmes de drachmes, ou des 128émes de drachmes. Quant à la réduction de ces drachmes de drachmes en drachmes ufuelles, il n'eft rien de plus aifé que de voir, qu'en les divifant par 128, on les duit à des drachmes fimples. Enfin à l'égard de l'évaluation des 21 drachmes de drachmes, en moindres efpeces, comme en grains, il ne faut que confiderer, que les drachmes contenant 72 grains, les 128émes parties de drachmes doivent par proportion contenir auffi 72, 128émes parties de grains; c'est-à-dire qu'en les multipliant par 72, on en fait des 128émes de grains. Donc pour les réduire en grains, il ne reste plus que de

les divifer par 128, & de même pour l'évaluation en deniers, &c.

Il eft à remarquer que cette évaluation s'abrege fouvent; fçavoir quand le multipliant & le diviseur ont des parties communes, comme icy 72 & 128; car il eft évident que fi au lieu de 72, on multiplie par fa 8e partie 9, & qu'en même-tems au lieu de 128, on divife le produit par la 8e partie de 128, fçavoir 16,on devra trouver encore le même quotient 12; puifque fi d'une part le produit (1512) eft réduit à fa 8e partie (189,) en recompenfe d'autre part le divifeur 16 n'eft plus que la 8e partie du 1 diviseur (128,) comme on l'a dit dans les abregez de la Divifion.[Or un partage égal demande, que fi le divifeur entier poffede le dividende entier, la 8e partie du même divifeur poffede auffi la 8e partie de tout le même dividende; que le tiers en aye le tiers; que le quart en ait le quart, & de toutes les autres parties à proportion,] comme il est évident.

Quant à la multiplication proportionnelle ou par parties aliquotes, il ne me paroît pas qu'elle doive contenir aucune difficulté confiderable après qu'on aura entendu ce qu'on vient de dire de la multiplication réelle, d'autant plus qu'elle ne renferme aucun artifice confidérable, étant entierement fondée fur le bon fens,

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CHAPITRE IX.

De la Divifion des Entiers avec des Parties. Ette opération contient encore deux especes, fçavoir la Divifion des entiers & parties par des entiers feuls; & la Divifion des entiers avec parties, par des entiers, avec parties. Cette der

niere efpece a lieu dans la Géométrie, & dans les Régles de proportion, lorfque le 2d terme eft l'unité, comme on le verra dans la fuite.

De la Divifion des Entiers avec des Parties par des Entiers.

IT EXEMPLE.

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une même.

comme on

l'a vu dans la Divifion des entiers. Ayant divifé d'abord les 368 liv. à 13, comme pour les entiers, le Quotient donne 28 liv. & il refte 4 liv. lefquelles je ne puis plus partager à 13, qui eft un nombre plus grand; c'eft pourquoi je les réduits dans les plus proches parties, fçavoir en fols, en les multipliant par 20 à l'ordinaire, & j'y ajoûte les 6 fols du Dividende; ce qui me donne encore 86 f. à divifer au même Divifeur 13. Les ayant donc divifez comme des entiers, il vient pour Quotient 6 fols & il refte 8 fols, qui étant encore trop peu pour être partagez à 13, je les réduits auffi dans leurs parties prochaines, fçavoir en deniers, en les multipliant par 1z à l'ordinaire, & j'y ajoute

les 9 deniers du dividende, ce qui donne ros den. 105 à partager toujours au Diviseur 13 à l'ordinaire. Enfin cette derniere opération étant faite, il vient 8 den, au quotient, & 1 den, de refte, que je néglige comme étant trop peu de chofe, pour être partagé à 13 perfonnes. Ainfi mon Quotient total eft ( 28 liv. 6 fols & den. )

On procedera de la même maniere pour toutes les autres efpecés, fans qu'il foit neceffaire d'en don ner d'autres éxemples,cette opération étant trop fa eile & trop naturelle, pour s'y arrêter davantage.

De la Divifion d'Entiers avec Parties, par

Dividende

Entiers avec Parties.

2d EXEMPLE. Izliv.pef.onces. drach. S .3

Divifeur. 6liv.pef.49 onces. drach.

Divid.

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réduit.

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1854

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I I. Soient maintenant 12

liv. pef. 5 onc.

3 drachmes à partager par (6 liv. pef. 4 onc. 7 drach.) je réduits d'abord l'une & l'autre

fomme dans les

mêmes plus pe

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tites parties, fa

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liv. pef. par 16

pour en faire des onces, & y ajoutant les 5 onces qui fuivent; ce qui donne 197 onces, que je multiplie encore par 8 pour en faire des drachmes, aufquelles j'ajoute les 3 drachmes fuivantes; ce qui donne (1579 drachmes) pour nouveau Dividende; & faifant la même chose du Diviseur, il vient pour nouveau Divifeur (807 drachmes.) Où il faut bien remarquer, que fi une feule des 2 fommes contenoit des grains (par exemple) ou des deniers, il faudroit pareillement réduire l'autre fomme en grains ou en deniers. Ce préparatif étant fait, je prends (1579 drachmes) & (807 drach.) pour de fimples entiers, fçavoir pour des liv. pef. & je divife les premiers par les derniers; ce qui me donne au quotient entier, c'est-à-dire une livre pefant, & reftent 72 liv. pefant. Je multiplie donc ces liv. pef. reftantes par 16 pour en faire des onces; ce qui produit un nouveau Dividende (12352 onces,) que je divife encore par

le

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