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le Diviseur naturel ( 807, ) le quotient eft 15 onces, & le refte 247 onces, que je multiplie par 8, pour en faire des drachmes; ce qui donne 1976 drach. qui étant divifées toujours par le Diviseur naturel (807) produifent 2 drachmes pour quotient, & refte 362, lefquelles étant enfin multipliées par 72, fe changent en grains, fçavoir (26064 grains) que je divife encore par le Divifeur naturel (807,) il vient au quotient 32 grains & je neglige le refte 240 grains, qui ne peut plus donner la valeur d'un grain. Raffemblant prefentement tous ces quotiens, j'en faits un Quotient total, qui eft (I liv. pef. 15 onces, 2 drac. 32 gr.)

Si l'on avoit propofé des livres en argent, il auroit falu proceder de même, réduifant les reftes des divifions en fols, deniers, oboles, &c.

Théorie.

'ART.III. LaThéorie du 1' article n'a rien en foi de difficile, comme on a pû le voir, & ne contient rien qui ne foit renfermé dans les Théories précédentes.

Celle du fecond article ne doit pas non plus arrêter quant au préparatif; de forte qu'il ne refte que de fçavoir d'où vient que des drachmes divifées par des drachmes donnent des entiers, fçavoir des livres pefant, & pour les autres efpeces à proportion. Pour en voir la raison, il faut confiderer qu'on ne cherche autre chofe dans ces éxemples, finon combien, ou en quelle maniere le Diviseur eft contenu dans le Dividende. Or autant & en la même maniere que ce Diviseur en entiers & parties eft contenu dans le Dividende en entiers & parties; autant & de la même maniere, le fera contenu encore dans le dernier, l'un & l'autre étant réduits en quelles parties on voudra ; puifque ces fortes de réductions ne changent

E

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point les valeurs des fommes mais feulement leurs efpeces. Ainfi (807 drachmes) font contenuës en (1579 drachmes,) autant & de la même maniere, que (6 liv. pef. 4 onces, 7 drac.) le font en (12 liv. pef. 5 onc. 3 drac. ) & autant & de la même maniere ( 804 livres pefans) font contenuës en (1579 liv. pefans. ) C'eft pourquoi cette question fe réduit à divifer fimplement (1579 liv. pef.) à (807 liv. pef.) c'est-à-dire à une divifion d'entiers par entiers; ce qui donne toujours au quotient l'efpece d'entiers du Dividende & du Divifeur, fçavoir des liv. pef. fi ces derniers font des liv. pef. & des livres, fi ce font des livres.

Si après la réduction faite, le Dividende fe trouve moindre que le Divifeur, il faudra réduire le It en fes parties prochaines, comme les liv. en fols, les toifes en pieds, & achever la divifion à l'ordinaire. Nous ne donnerons point d'éxemple de la Divifion d'étiers & parties par entiers & parties d'efpeces differentes,parce que cette divifion ne fert, que pour faire la preuve de la Multiplication d'entiers & parties, par entiers & parties d'efpeces differétes; ce qu'on peut mieux faire en repaffant fur fon opération. 虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫虫

CHAPITRE X.

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Des Régles de Proportion droites & fimples.

I.

Suppofez qu'on ait cette question à résoudre [Si 2 toifes, 3 pieds, 8 pouces) coûtent (5 liv. 3 fols 7 den.) combien par proportion doivent coûter (4 toises, 2 pieds 6 pouces. ] La régle dont on fe fert pour y répondre s'appelle une Régle de proportion droite, [ou communément Régle de Trois; ou même anciennement Régle d'Or.] Dans cette régle le 1 & 3o lieu font ordinairement de même efpece, fçavoir icy des toifes, pieds &

pouces; de même que le 2d & le 4° qui font ici des livres, fols & den. Les trois premiers termes font ordinairement donnez, & alors le 4o terme eft inconnu & celui que l'on cherche; c'eft ce qui la fait nommer Régle de trois. On pourroit propofer auffi cette même Régle fous cette autre forme. [Si (2 toifes 3 pieds 8 pouces) répondent à ( 4 toifes, 2 pieds, 6 pouces; ) par proportion, 5 liv. 3 fols 7 den. à quoi répondront-elles? ] dans laquelle le 1 & le 24 terme font de même efpece; de même que le 3e & le 4: mais la métode fuivante la réfout également fous ces deux formes.

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Je commence donc

i

A

B

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de la premiere forme dans les moindres parties femblables; fçavoir icy chacun en pouces : (fi l'un des deux contenoit des lignes, & l'autre feulement, ou des pieds, ou des pouces, ou même des toifes, il faudroit alors réduire l'un & l'autre en lignes ; ce qui doit paffer pour une régle génerale:) c'eft ce ce qu'on trouve dans les deux colonnes A & B, conformément à ce que l'on a vû dans le chapitre précédent; & je trouve pour le premier lieu de ma régle 188 pouces, & pour le 3 318 pouces, dont je forme une nouvelle régle préparée en cette maniere; [fi 188 coutent (5 liv. fols 7 den.) combien par proportion doivent couter (318,] comme on le voit en C. enfuite regardant 188 & 3 18 comme des entiers, & prenant la moitié du 1 & du ze lieu (188) & ( 318, fçavoir (94 & (159) j'en faits encore une nouvelle réglé de proportion abregée ainsi : [ Si ( 94 ) toifes coutent liv. 3 fols 7 den. que couteront (s S par proportion (159) toifes, comme on le voit en D; ce qu'il faut pratiquer toutes les fois qu'il fe peut.

3

Enfin je réfous cette derniere propofition en multipliant le fecond lieu ( 5 liv. 3 fols 7 deniers) par le 3 ( 159,) ce qui me donne pour produit (795 liv. 477 fols 1113 den.) qu'on trouve en E, & que je divife par le 1 lieu 94. Le Quotient de cette divifion qu'on voit en F, G, H, donne 8 liv. 14 fols 15 den. ou plûtoft ( 8 liv. 15 fols 3 d.) pour la réponse à la queftion propofée.

Quand on l'auroit propofée fous la 2e forme, il auroit fallu toujours procéder de même, en mettant en pouces le 1 & le 2d lieu, qui font en ce cas de même espece; ce qui les auroit réduits encore à (188) & (318,) qu'on auroit rabaiffez de même à (94) & ( 159,) ce qui auroit donné

une régle abregée : fi [ 94 toises répondent à ( 159 toifes, par proportion (5 liv. 3 fols 7 d.) à combien répondront-ils ? ] Enfin multipliant (s liv. 3 fols 7 d.) par 159, & divifant leur produit par 94, comme ci-deffus, on auroit trouvé encore le même Quotient, comme il eft évident: car comme dans ces régles, le produit des 2lieux moyens eft toûjours un Dividende, & le premier lieu toujours fon Divifeur, il eft évident qu'il importe peu lequel de 2 lieux moyens foit le 24 ou le ze lieu de la régle. On pourroit même ne faire qu'un feul de ces 2 lieux moyens, qui feroit celui du Dividende, le 1 étant celui du Divifeur, & le 3e celui de la Réponse. Mais comme la forme fous laquelle on propofe la queftion, fuppose ordinairement 4 lieux, il eft bon de la réfoudre fous cette forme.

Il est évident que fi les 3 termes propofez étoient de même efpece, comme fi l'on propofoit de réfoudre cette queftion, [Si ( 3 1.5 f. 8 d.) ont produit (51.8 f. 9 d.) par proportion que produiront (71. 6 fols 11 deniers?) on pourroit alors prendre à fouhait un des 2 lieux moyens, comme par éxemple le 24 pour le réduire avec le premier en deniers, à caufe que ce fecond eft moindre que le 3e : alors la queftion s'abregeroit naturellement fous la 2e forme; ainfi fi [788 den. ont produit (1305 den.) par proportion que produiront (7 liv. 6 fols 11 deniers Multipliant donc (7 liv. 6 fols 1rd.) Far (1305, ) & divifant le produit par (788) comme ci-deffus, on auroit au Quotient pour la réfolution defirée ( 12 liv. 3 fols 3 deniers.)

II. Si le premier lieu de la régle eft l'unité, comme dans ce 2d exemple, où l'on propofe cette question; [Si 1 liv. a produit (25 liv. 3 fols 8 den.)

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