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le Diviseur naturel ( 807, ) le quotient est 15 01ces , & le reste 247 onces, que je multiplie par 8, pour en faire des drachmes; ce qui donne 1976 drach. qui étant divisées toujours par le Diviseur naturel ( 807 ) produisent 2 drachmes pour quotient, & reste 362 , lesquelles étant enfin multipliées par 72, se changent en grains, sçavoir ( 26064 grains) que je divise encore par le Diviseur naturel ( 807,) il vient au quotient 3 2 grains & je neglige le reste 240 grains, qui ne peut plus donner la valeur d'un grain. Rassemblant presentement tous ces quotiens, j'en faits un Quotient total, qui est ( 1 liv. pes. Is onces, 2 drac. 32 gr.)

Si l'on avoit proposé des livres en argent, il auroit falu proceder de même, réduisant les restes des divisions en sols, deniers , oboles, &c.

Théorie. Art.III. LaThéorie du Ir article n'a rien en soi de difficile, comme on a pů le voir, & ne contient rien qui ne soit renfermé dans les Théories précédentes,

Celle du second article ne doit pas non plus arrêter quant au préparatif ; de sorte qu'il ne reste que de sçavoir d'où vient que des drachmes divisées

par des drachmes donnent des entiers, sçavoir des livres pesant, & pour les autres especes à proportion. Pour en voir la raison, il faut considerer qu'on ne cherche autre chose dans ces éxemples, sinon combien, ou en quelle maniere le Diviseur est contenu dans le Dividende. Or autant & en la même maniere que ce Diviseur en entiers & parties est contenu dans le Dividende en entiers & parties ; autant & de la même maniere, le i fera contenu encore dans le dernier, l'un & l'autre étant réduits en quelles parties on voudra ; puisque ces sortes de réductions ne changent

E

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point les valeurs des sommes ; mais seulement leurs especes. Ainsi (807 drachmes) sont contenuës en ( 1579 drachmes,) autant & de la même maniere, que ( 6 liv. per. 4 onces, 7 drac.) le sont en ( 12 liv. per. s onc. 3 drac. ) & autant & de la même maniere ( 804 livres pesans ) sont contenuës en ( 1579 liv. pesans.) C'est pourquoi cette question se réduit à diviser simplement ( 1579 liv. pes.) à ( 807 liv. pes. ) c'est-à-dire à une division d'entiers par entiers ; ce qui donne toujours au quotient l'espece d'entiers du Dividende & du Di. viseur , sçavoir des liv. per. si ces derniers sont des liv. pes, & des livres, fi ce sont des livres.

Si après la réduction faite, le Dividende se trouve moindre que le Diviseur, il faudra réduire le is en ses parties prochaines, comme les liv. en sols, les coiles en pieds, & achever la division à l'ordinaire. Nous ne donnerons point d'éxemple de la Divifion d'étiers & parties parentiers & parties d’especes differentes, parce que cette division ne sert que pour faire la preuve de la Multiplication d'entiers & parties, par entiers & parties d'especes differétes;cequ'on peut mieux faire en repassant sur son opération.

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CHAPITRE X. Des Régles de Proportion droites & fimples.

Upposez qu'on ait cette question à résoudre

[ Si 2 toises, 3 pieds, 8 pouces ) coûtent is liv. 3 sols 7 den.) combien par proportion doivent coûter ( 4 toises, 2 pieds 6 pouces. ] La régle dont on se sert pour y répondre s'appelle une Régle de proportion droite, sou communément Régle de Trois; ou même ancierinement Régle d'Or. ] Dans cette régle le 17 & 3e lieu sont ordinairement de même espece, sçavoir icy des toises, pieds &

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3e lieu.

pouces;

de même que le 2d & le 4 qui sont ici des livres, fols & den. Les trois premiers termes sont ordinairement donnez, & alors le 4e terme est inconnu & celui que l'on cherche ; c'est ce qui la fait nommer Régle de trois. On pourroit propofer aussi cette même Régle sous cette autre forme. [ Si ( 2 toises 3 pieds 8 pouces ) répondent à ( 4 toises, 2 pieds, 6 pouces ; ) par proporcion, s liv. 3 Cols 7 den. à quoi répondront-elles ? ] dans laquelle le 17 & le 2d terme sont de même espece; de même que le 3e & le 4° : mais la métode suivante la résout également sous ces deux formes.

IT EX EMPLE. Si

coûtent combien | Réponse. 2toi. 3pi. Spol s liv 3lol 7

lla toi 2pi. 6po. Sliv 1 s lol zde. Ir lien.

2d lien.
С
С

с

. rég. préparée Si 18 pouces. 3 318 pouces. D D

D (régle abrégée Si

3 [olde. 159 pouces.

159
E
E
E

Réduction deniers

er pouces.

2 toirt 4toiles F 43

42 III3

24
860

3
477
1337'5 14
425

52
94 G

94

8 6 397

49 94

А B
Je commence donc

par
réduire le it & le ze lieu

liv

24 pouces.

liv S

I 113

79 s livres.

-477ols.

24 S Sliv.

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6

6

20

I 2

2

1365 Sosd
94 H

Ispi, 2 Gpieds,

30

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21

dont je

de la premiere forme dans les moindres parties femblables ; sçavoir icy chacun en pouces : (fi l'un des deux contenoit des lignes , & l'autre seulement, ou des pieds, ou des pouces, ou même des toises, il faudroit alors réduire l'un & l'autre en lignes ; ce qui doit passer pour une régle génerale:) c'est ce ce qu'on trouve dans les deux colonnes A & B, conformément à ce que l'on a vû dans le chapitre précédent ; & je trouve pour le premier lieu de ma régle 188 pouces, & pour le 3° 318 pouces ,

je forme une nouvelle régle préparée en cette maniere; [ li 188 coutent ( s liv. 3 sols 7 den. ) combien par proportion doivent couter ( 318, ) comme on le voit en C. ensuite regardant 188 & 318 comme des entiers, & prenant la moitié du 1 & du ze lieu ( 188 ) & ( 318, sçavoir ( 94 & (159: ) j'en faits encore une nouvelle régle de proportion abregée ainsi : [ Si (94) toises coutent s liv. 3 sols 7 den, que couteront par proportion ( 159 ) toises, comme on le voit en D; ce qu'il faut pratiquer toutes les fois qu'il

Enfin je résous cette derniere proposition en multipliant le second lieu ( s liv. 3 sols 7 deniers ) par le 3° ( 159,) ce qui me donne pour produit

liv. 477 sols 1113 den. ) qu'on trouve en E, & que je divise par le « lieu 94. Le Quotient de cette division qu'on voit en F, G, H, donne 8 liy. 14 fols

IS den. ou plûtost ( 8 liv. Is sols 3 d.) pour la réponse à la question proposée.

Quand on l'auroit proposée sous la 2e forme, il auroit fallu toujours procéder de même, en mettant en pouces le 11 & le 2d lieu, qui sont en ce cas de même espece ; ce qui les auroit réduits encore à ( 188 ) & ( 318,) qu'on auroit rabaissez de même à ( 24 ) & (159,) ce qui auroit donné

se peut.

(795

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une régle abregée : fi [ 94 toises répondent à ( 159 toises, ) par proportion ( s liv. 3 sols. 7 d.) à combien répondront-ils ? ] Enfin multipliant (s liv. 3 sols 7 d.) par 159, & divisant leur produit par 94, comme ci-dessus, on auroit trouvé encore le même Quotient, comme il est évident: car comme dans ces régles,le produit des alieux moyens est toûjours un Dividende , & le premier lieu toujours son Diviseur, il est évident qu'il importe peu

lequel de 2 lieux moyens soit le 2d ou le ze lieu de la régle. On pourroit même ne faire qu'un seul de ces 2 lieux moyens, qui seroit celui du Dividende, le ir étant celui du Diviseur , & le 3e celui de la Réponse. Mais comme la forme sous laquelle on propose la question, suppose ordinairement 4 lieux, il est bon de la résoudre sous cette forme.

Il est évident que si les 3 termes proposez étoient de même espece, comme si l'on proposoit de réfoudre cette question, (Si ( 3 1.5 f. 8 d.) ont produit ( 1.8 1.9 d.) par proportion que produiront ( 71. 6 sols ni deniers :) ]on pourroit alors prendre à fouhait un des 2 lieux moyens, comme par exemple le 2d pour le réduire avec le premier en deniers, à cause que ce second est moindre que le 3° : alors la question s'abregeroit naturellement sous la ze forme ; ainfi Ti [788 den. ont produit (1305 den.) par proportion que produiront ( 7 liv. ó fols ir deniers ? ] Multipliant donc ( 7 liv. 6 fols ir d.) far ( 1305, ) & divisant le produit par ( 788) comme ci-dessus, on auroit au Quotient pour la résolution delirée ( 12 liv. fols 3 deniers.)

3 II. Si le premier lieu de la régle est l'unité, comme dans ce 2d exemple, où l'on propose cette question; [Si liv.a produit (25 liv. 3 fols 8 den.)

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