le Diviseur naturel ( 807, ) le quotient est 15 0n

( ces , & le reste 247 onces, que je multiplie par 8, pour en faire des drachmes; ce qui donne 1976 drach. qui étant divisées toujours par le Diviseur naturel ( 807 ) produisent 2 drachmes pour quotient, & reste 362, lesquelles étant enfin multipliées par 72, se changent en grains, sçavoir ( 26064 grains) que je divise encore par le Diviseur naturel ( 807,) il vient au quotient 3 2 grains & je neglige le reste 240 grains, qui ne peut plus donner la valeur d'un grain. Rassemblant presentement tous ces quotiens, j'en faits un Quotient total, qui est ( 1 liv. pes. 15 onces, 2 drac. 3 2 gr.)

Si l'on avoit proposé des livres en argent, il auroit falu proceder de même, réduisant les restes des divisions en sols, deniers, oboles, &c.

Théorie. ART.III. LaThéorie du If article n'a rien en soi de difficile, comme on a pû le voir, & ne contient rien qui ne soit renfermé dans les Théories précédentes.

Celle du second article ne doit pas non plus arrêter quant au préparatif; de sorte qu'il ne reste que de sçavoir d'où vient que des drachmes divisées par

des drachmes donnent des entiers, sçavoir des livres pesant, & pour les autres especes à proportion. Pour en voir la raison, il faut considerer qu'on ne cherche autre chose dans ces éxemples, sinon combien, ou en quelle maniere le Diviseur est contenu dans le Dividende. Or autant & en la même maniere que ce Diviseur en entiers & parties est contenu dans le Dividende en entiers & parties ; autant & de la même maniere, le i sera contenu encore dans le dernier, l'un & l'autre étant réduits en quelles parties on voudra ; puisque ces sortes de réductions ne changent

E

>

point les valeurs des sommes ; mais seulement leurs especes. Ainsi (807 drachmes) sont contenuës en ( 1579 drachmes,) autant & de la même maniere, que ( 6 liv. pes. 4onces, 7 drac.) le sont en ( 12 liv. per. s onc. 3 drac. ) & autant & de la

. même maniere ( 804 livres pesans ) sont contenuës en ( 1579 liv. pesans.) C'est pourquoi cette question se réduit à diviser simplement ( 1579 liv. pel.) à ( 807 liv. pes. ) c'est-à-dire à une division d'entiers par entiers; ce qui donne toujours au quotient l'espece d’entiers du Dividende & du Di. viseur , sçavoir des liv. per. si ces derniers sont des liv. pes. & des livres, fice sont des livres.

Si après la réduction faite, le Dividende se trouve moindre que le Diviseur, il faudra réduire le is en ses parties prochaines, comme les liv, en sols, les coises en pieds, & achever la division à l'ordinaire. Nous ne donnerons point d'éxemple de la Divifion d'étiers & parties par entiers & parties d'especes differentes,parce que cette division ne sert, que pour faire la preuve de la Multiplication d'entiers & parties, par entiers & parties d'especes

differétes;ce qu'on peut mieux faire en repassant sur son opération. ******************* 法出出出来

央央决虫虫虫 CHAPITRE X. Des Régles de Proportion droites & fimples. I. Upposez qu'on ait cette question à résoudre [ Si 2 toises, 3 pieds, 8 pouces ) coûtent (

8 liv. 3 sols 7 den.) combien par proportion doivent coûter (4 toises, 2 pieds 6 pouces. ] La régle dont on se sert pour y répondre s'appelle une Régle de proportion droite, ou communément Régle de Trois ; ou même anciennement Régle d'Or. ] Dans cette régle le 11 & 3e lieu sont ordinairement de même espece, sçavoir icy des toises, pieds &

3

>

7

pouces; de même que le 2d & le 4* qui font ici des

° livres, sols & den. Les trois premiers termes sont ordinairement donnez, & alors le 4e terme est in. connu & celui que l'on cherche ; c'est ce qui la fait nommer Régle de trois. On pourroit proposer aussi cette même Régle sous cette autre forme, [Si ( 2 toises 3 pieds 8 pouces ) répondent à ( 4 toises, 2 pieds, 6 pouces ; ) par proportion,s

liv. 3 sols 7 den. à quoi répondront-elles ? ] dans laquelle le 1' & le 2d terme sont de même espece; de même

que
le

3€ & le 4° : mais la métode suivante la résout également sous ces deux formes.

ir E x EMP E. Si

coûtent combien Réponse. 2 toi. zpi. Spol s liv 3 sol 7 _ ||40i 2 pi. Gpo. Sliv i s solzde. .

2d lien.

3° lieu.
С
С

С rég. préparée
Si 18 Spouces.'s liv zsol 7 de. 3 18 pouces.
D

D régle abrégée Si 94 pouces. s liv 3 fol zde.

IS2
E

Réduction 795 livres. 477 II13.

er pouces. :7

toir} 4toiles 43 ? F F

42

6 6

Ir lien.

D

is 9 pouces.

E

E

deniers

sols. 24 S Sliv.

2 I

2

Je commence donc

par
réduire le it & le ze lieu

3318

>

de la premiere forme dans les moindres parties semblables ; sçavoir icy chacun en pouces : (fi l'un des deux contenoit des lignes , & l'autre seulement, ou des pieds, ou des pouces, ou même des toises, il faudroit alors réduire l'un & l'autre en lignes ; ce qui doit passer pour une régle génerale:) c'est ce ce qu'on trouve dans les deux colonnes A & B, conformément à ce que l'on a vû dans le chapitre précédent ; & je trouve pour le premier lieu de ma régle 188 pouces,

&
pour

le pouces , dont je forme une nouvelle régle préparée en cette maniere; [ li 188 coutent ( s liv. 3 sols 7 den. ) combien par proportion doivent couter ( 318, ] comme on le voit en C. ensuite regardane 188 & 318 comme des entiers, & prenant la moitié du 11 & du ze lieu ( 188) & ( 318, sçavoir ( 94 & (159:) j'en faits encore une nouvelle régle de proportion abregée ainsi : [ Si (94) toises coutent s liv. 3 sols 7 den. que couteront

( par proportion ( 159 ) toises, comme on le voit en D; ce qu'il faut pratiquer toutes les fois qu'il se

peut.

Enfin je résous cette derniere proposition en multipliant le second lieu ( s liv. 3 sols 7 deniers ) par le 3e ( 159,) ce qui me donne pour produit

3 (795 liv. 477 fols 11 13 den. ) qu'on trouve en E , & que je divise par le i licu 94. Le Quotient

ir de cette division qu'on voit en F, G, H, donne 8

sols is den. ou plûtost ( 8 liv. Is sols 3 d.) pour la réponse à la question proposée.

Quand on l'auroit proposée sous la 2e forme, il auroit fallu toujours procéder de même, en mettant en pouces le it & le 2d lieu, qui sont en ce cas de même espece; ce qui les auroit réduits encore à ( 188 ) & ( 318,) qu'on auroit rabaissez de même à ( 94 ) & (159,) ce qui auroit donné

liv. 14

3

3

:

. Chap. X. 69 une régle abregée : si [ 94 toises répondent à ( 159 toises, ) par proportion ( s liv. 3 sols 7 d.) à combien répondront-ils ? ] Enfin multipliantes liv. 3 sols 7 d.) par 159, & divisant leur produit par 94, comme ci-dessus, on auroit trouvé encore le même Quotient, comme il est évident: car comme dans ces régles,le produit des alieux moyens est toûjours un Dividende , & le premier lieu toujours son Diviseur , il est évident qu'il importe peu

lequel de 2 lieux moyens soit le 2d où le 3e lieu de

ou la régle. On pourroit même ne faire qu'un seul de ces 2 lieux moyens, qui seroit celui du Dividende, le 1étant celui du Diviseur , & le ze celui de la Réponse. Mais comme la forme fous laquelle on propose la question, suppose ordinairement 4 lieux, il est bon de la résoudre sous cette

4 forme.

Il est évident que si les 3 termes proposez étoient de même espece , comme si l'on proposoit de résoudre cette question, [Si ( 3 1.5 f. 8 d.) ont produit

3 (5 1.8 1.9 d.) par proportion que produiront (71.

2 6 sols 1 1 deniers ? ) ] on pourroit alors prendre à fouhait un des 2 lieux moyens, comme par exem- . ple le 20 pour le réduire avec le premier en deniers, à cause que ce second est moindre que le 3° : alors la question s'abregeroit naturellement sous la ze forme; ainsi Ti [ 788 den, ont produit (1305 den.)

; par proportion que produiront ( 7 liv. ó fols i í deniers ? ] Multipliant donc ( 7 liv. 6 fols ir d.). Far ( 1305, ) & divisant le produit par ( 788) comme ci-dessus, on auroit au Quotient pour la résolution desirée ( 12 liv.

3

sols 3 deniers. ) II. Si le premier lieu de la régle est l'unité, comme dans ce 2d exemple, où l'on propose cette question; [Si ı liv.a produit (25 liv. 3 rols 8 den.)

2d