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par proportion combien produiront ( 12 liv. s

f. 4 den.)

2d E x E M P E.
produit combien Réponse.

1 2 livsfol4de. 308liv 18-01 3 dc. I 1 2 livsfol 4 de

Si

livre

2 gliv z folg de

-S

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25

8

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644
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28 160 de d.
24 OS

17

I 2

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I 2

308liv. 181 3d

41

24

1760 de d. Il est évident qu'il ne faudra que multiplier seulement le 2d & le ze lieu de la régle entr'eux, comme on l'a enseigné dans le 8e chapitre ci-devant:& la réduction des produits en entiers donnera la réponse à cette question, puisque l'unité du is lieu, qui est le Diviseur de la régle ne change rien dans le Dividende qui est le produit des 2 lieux moyens : car il est évident que 25 ( par exemple ) partagez à I, ou en 1, ou par i, donnent toujours

i (pour Quotient 25.)

III. Si au contraire c'est le ze lieu de la proposition qui contient l'unité, comme si la question est celle-cy. [ Si ( 38 toises coûtent ) 7 liv. 9 sols 8 den. ) par proportion quel est le prix de la toise? ]

3° E x E M PL E. Si coûtent combien Réponses. 38 toises liv ,fol de. toisei

oliv z fol 1 2 den.

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7 20

48

faut que

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38

Iod

9

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4282

1494

35

diviser 70

tout d'un 140 8

coup ( 7 liv. 9 f. 8

୨ d.)par 38, comme

on l'a enseigné dans l'article 14 du chapitre précedent, en regardant le 1& le ze lieu comme des livres, de même que le 2d lieu. Le Quotient donnera pour réponse à laquestion ( 3 sols 11 den. ) seulement; puisque l'unité multipliant ( 7 liv. 9 sols 8 den.) n'y apporte aucun changement.

Mais si le 11 lieu de la régle contenoit des entiers avec parties, comme (par exemple ) 38 toises , 3 pieds, 6 pouces ; le 2d & le ze demeurant toûjours les mêmes,il faudroit alors réduire leit & lezé lieux aux moindres parties semblables;sçavoir icy tous deux en pouces ; ce qui donneroit la régle préparéc, [ Si 3278 pouces coutent 7 liv. 9 sols 8 den. combien 72 pouces ] qui se réduit à cetteautre, en prenant les moitiez du 11 & du ze lieu, [li 1639 liv. coûtent 7 liv. 9 sols 8 den, combien 36 liv. ] laquelle se résout comme dans le 11 article ci-dessus, & donne au Quotient z sols 3 den.

IV. Enfin si le it & le ze lieu de la régle étant toujours de même espece, contiennent cependant des parties differentes, ( ce qui ne se trouve que

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3

dans les aunages) comme si la question est telle: [Si 18 aunes trois quarts coutent 72 liv. 6 sols 4 den. combien par proportion couteront 26 aunes & į sixiémęs ? ] Ś

4° EXEMPLE. Si

combien | Réponse. А

26aunes | 103 liv of 10d B 18-2 72 livrol4de.2670 l 1 reform.prép

I *8

26

coutent

3

aunes.

Isa

7 2 liv Gola de

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ܐ

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En ce cas il faudra commencer par mettre le if & le ze lieu en même espece de parties, comme par exemple en entiers & douziéines ; ce qui se fait en cherchant le nombre ( 12 ) qui se puisse diviser en 4 & en 6, à cause des & des de la régle ; ce qui donne 18 aunes iź pour le ir lieu de la régle, & 26 aunes i pour le 3°, comme on le voit en 8. après quoi il faut réduire ce if & 3e

10

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6

lieu, tous en parties; sçavoir ici en douziémes : ce qui donnera la régle préparée qu'on voit en C. [Si 225 douziémes coûtent ( 72 liv. 6 sols 4 den.) que doivent couter par proportion ( 32 2 douziémes : ) ou laissant les dénominateurs ( 12 ) de part & d'autre. ] [ Si ( 225 ) donnent ( 72 liv. 6 sols 4. den. que coûteront ( 322 ? ) ] laquelle est

4 dans la forme du 11 article de ce chapitre, & étant résoluë comme il est enseigné dans cet article, donne pour réponse à la question ( 103 liv. 9 sols 10 den.

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Théorie. V. Les deux formes de régles qu'on propose dans le 11 article, viennent de ce que l'on compare tantôt la marchandise du 1 lieu à son prix du 2d licu, afin que la marchandise du ze lieu donne un

3 prix proportionnel au 4° ; & tantôt la marchandife du ir lieu à celle du 3e, afin que le prix de la ite mis au second lieu, donne pour la 2e un prix proportionnel au 4° : & cela sans aucune raison

particuliere, mais seulement selon que l'on trouve plus de facilité à une comparaison qu'à l'autre; ce que l'on doit bien observer, comme ayant lieu dans toutes les proportions.

La premiere comparaison ou proportion s'appelle Directe, & la 2e se nomme Alterne,

2. A l'égard de la réduction des deux lieux de même espece en mêmes parties, il est aisé d'en voir la necessité. Car si l'on multiplioit le ze lieu par le 2d (par exemple) sans réduire le 3°, on auroit dans le ir exemple pour produit, des toises, pieds , & pouces,

& qu'on ne pourroit diviser par le premier Lieu, sans réduire le tout, tant de part que d'autre, dans

4;

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les mêmes parties ; c'est pourquoy l'on abrége beaucoup l'opération, en réduisant tout d'un coup le 11 & le ze lieu en mêmes parties.

3 3. Quant à la pratique de la Régle qui est, de multiplier les 2 Lieux moyens entr'eux, & de diviser leur produit par le 1 Lieu , pour avoir le elle est fondée sur un principe général des proportions ; sçavoir [ Que toujours le produit des deux Lieux moyens cita entr'eux égal au produit des deux Lieux extrêmes, c'est-à-dire du premier & du dernier entr'eux. ] Car d'autant que le produisant moyen 4 toises, 2 pieds, 6 pouces augmente le produit des 2 Lieux moyens, pardessus celui des extrêmes, lorsqu'il est plus grand que le premier lieu ( 2 toises, 3 pieds, 8 pouces ; ) d'autant en recompense le 4e lieu ) 8 liv. Is fols 3 den. ) augmente celui des extrêmes sur celui des moyens, étant toujours d'autant plus grand que ( s liv. 3 sols 7 den.) que ( 4 toises 2 pieds 6 pouces ) le sont plus

4 que ( 2 toises, 3 pieds, 8 pouces.) Ainsi le même avantage qu'a le produit des moyens sur celui des extrêmes par la 1re raison : celui des extrêmes l'a sur celui des moyens par la 2°.[Or deux nombres qui ont un avantage égal l'un sur l'antre, soit pour fe contenir, soit pour se surpasser , sont cettainement égaux. ] D'où il est évident qu'en toute proportion on peut prendre le produit des deux Lieux moyens pour celui des deux extrêmes. Or ce dernier produit étant divisé par un des 2 Lieux extrêmes, comme par le 1 Lieu , rendroit certainement l'autre extrême; sçavoir le 4° Lieu. Donc aussi le produit des Lieux moyens étant divisé par Lieu, donnera le 4e desiré. De plus, il est encore

le produit des 2 Lieux moyens étant divisé par le 3e Lieu, rendroit le 2d, & que ce même produit étant divisé par un nombre moin

3

le ir

évident que

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