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par proportion combien produiront ( 12 liv. f. 4 den. )

20 EXEMPLE. Si produit combien

| Réponse. I livre 2s liv z folg de .

1 2 livg sol4de. 308 liv 181013 de . I 2 liv slol4 de.

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1760 de d.

Il est évident qu'il ne faudra que multiplier seu

. lement le 2d & le ze lieu de la régle entr'eux, comme on l'a enseigné dans le se chapitre ci-devant:& la réduction des produits en entiers donnera la réponse à cette question, puisque l'unité du ir i lieu, qui est le Diviseur de la régle ne change rien dans le Dividende qui est le produit des 2 lieux moyens : car il est évident que 25 (par exemple ) partagez à I, ou en 1, ou par 1, donnent toujours (pour Quotient

25

) III. Si au contraire c'est le ze lieu de la propofition qui contient l'unité, comme si la question est celle-cy. [ Si ( 38 toises coûtent ) 7 liv. 9 sols 8 den. ) par proportion quel est le prix de la toise? ]

3€ EXE M P L E. Si coûtent combien | Réponses. 38 toises liv ,fol 8 de

. |

oliv 3 fol 1 2 den.

I

toire i

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faut que

7 20

48

357

38

70

8

Iod

9

4282

diviser

tout d'un 140

coup( 7 liv. 91.8

d.)par 38, 1494

comme

on l'a enseigné dans l'article ir du chapitre précedent, en regardant le 1' & le 3e lieu comme des livres, de même que le 2d lieu. Le Quotient donnera pour réponse à laquestion ( 3 sols 11 den. ) seulement; puisque l'unité multipliant ( 7 liv. 9 sols 8 den.) n'y apporte aucun changement.

Mais si le 11 lieu de la régle contenoit des entiers avec parties, comme (par exemple) 38 toises , 3 pieds, 6 pouces ; le 2d & le ze demeurant toûjours les mêmes,il faudroit alors réduire leit & lezé lieux aux moindres parties semblables;sçavoir icy tous deux en pouces, ce qui donneroit la régle préparée, [ Si 3278 pouces coutent 7 liv. 9 folś s den. combien 72 pouces ] qui se réduit à cette autre, en prenant les moitiez du 11 & du ze lieu, [fi 1639 liv.coûtent 7 liv. 9 fols 8 den, combien 36 liv. ] laquelle se résout comme dans le if article ci-dessus, & donne au Quotient z sols 3 den.

IV. Enfin si le ir & le ze lieu de la régle érant toujours de même espece , contiennent cependant des parties differentes, ( ce qui ne se trouve que dans les aunages ) comme si la question est telle: [Si 18 aunes trois quarts coutent 72

liv. 6 sols

4 den. combien par proportion couteront 26 aunes & į fixiémes ? ]

4° EXEMPLE.

combien | Réponse. А { I Saunes.

7 2 liv Gol 4 de 26aunes 103 livgrod B 18,2 1 72 liv Grol4de. 1 263 Ireform.prép

26

8x

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coutent

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36

IO

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2e forme préparée.

3 2 2émes

644 livres.

1932 fols.

87

coutent
émes 7 2 livgfol4 de.
- 225
xx

*2
3 2 2

128 8 den. 4 2 2 54

9

20 2 3 184liv,

1 288 225

1031. 180

1932 228

21121
225

225
871

225
oogliv.

174

0684

23320 S

16

225 082

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En ce cas il faudra commencer par mettre le if & le ze lieu en même espece de parties, comme par exemple en entiers & douziémes ; ce qui se fait en cherchant le nombre ( 12 ) qui se puiffe diviser en 4 & en 6, à cause des & des de la régle ; ce qui donne 18 aunes iź pour le ir lieu de la régle, & 26 aunes pour le 3€, comme on le voit en 8. après quoi il faut réduire ce 1' & 34

lieu, tous en parties; sçavoir ici en douziémes : ce qui donnera la régle préparée qu'on voit en C. [Si 22 5 douziémes coûtent ( 72 liv. 6 sols 4 den.) que doivent couter par proportion ( 3 2 2 douziémes : ) ou laissant les dénominateurs ( 12 ) 'de part & d'autre. ] [ Si ( 225 ) donnent ( 72 liv. 6 sols 4 den. que coûteront ( 322? ) ] laquelle est dans la forme du 11 article de ce chapitre, & étant résolue comme il est enseigné dans cet article, donne pour réponse à la question ( 103 liv. 9 sols 10 den.

Théorie. V. Les deux formes de régles qu’on propose dans le 11 article, viennent de ce que l'on compare tantôt la marchandise du 11 lieu à son prix du 2d lieu, afin

quc la marchandise du ze lieu donne un prix proportionnel au 4° ; & tantôt la marchandise du ir lieu à celle du 3°, afin que le prix de la rte mis au second lieu, donne pour la 2e un prix proportionnel au 4° : & cela sans aucune raison particuliere, mais seulement selon que l'on trouve plus de facilité à une comparaison qu'à l'autre; ce que l'on doit bien observer , comme ayant lieu dans toutes les proportions.

La premiere comparaison ou proportion s'appelle Directe, & la 2° se nomme Alterne,

2. A l'égard de la réduction des deux lieux de même espece en mêmes parties, il est aisé d'en voir la necessité. Car si l'on multiplioit le 3e lieu par le 2d (par exemple)sans réduire le 3, on auroit dans le 11 éxemple pour produit, des toises, pieds , & pouces, qu'on ne pourroit diviser

par le premier Lieu , sans réduire le tout , tant de part que d'autre, dans

les mêmes parties ; c'est pourquoy l'on abrége beaucoup l'opération, en réduisant tout d'un coup le 1' & le ze lieu en mêmes parties.

3. Quant à la pratique de la Régle qui est, de multiplier les 2 Lieux moyens entr'eux, & de diviser leur produit par le ir Lieu , pour avoir le 4o; elle est fondée sur un principe général des proportions ; fçavoir [ Que toujours le produit des deux Lieux moyelles et entr'eux égal au produit des deux Lieux extrêmes, c'eft-à-dire du premier « du dernier entr'eux. ] Car d'autant que le produisant moyen 4 toises, 2 pieds, 6 pouces augmente le produit des 2 Lieux moyens, pardessus celui des extrêmes, lorsqu'il est plus grand que le premier lieu ( 2 toises, 3 pieds, 8 pouces ; ) d'autant en recompense le 4e lieu ) 8 liv. 15 fols 3 den. ) augmente celui des extrêmes sur celui des moyens,

étant toujours d'autant plus grand que ( s liv. 3

fols den. ) que ( 4 toises 2 pieds 6 pouces ) le sont plus que ( 2 toises, 3 pieds, 8 pouces. ) Ainsi le même avantage qu'a le produit des moyens sur celui des extrêmes par la įre raison : celui des extrêmes l'a sur celui des moyens par la 24.[Or deux nombres qui ont un avantage égal l'un sur l'autre, soit pour fe contenir, soit pour se furpasser , sont certaine mext égaux. ] D'où il est évident qu'en toute proportion on peut prendre le produit des deux Lieux moyens pour celui des deux extrêmes. Or ce dernier produit étant divisé par un des 2 Lieux extrêmes, comme par le ir Lieu, rendroit certainement l'autre extrême; sçavoir le 4° Lieu. Donc aussi le produit des Lieux moyens étant divisé par Lieu, donnera le 4e desiré. De plus, il est encore évident que le produit des 2 Lieux moyens étant divisé

par

le 3e Lieu, rendroit le 2d, & que ce même produit étant divisé par un nombre moin

7

le ir

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