Il est évident qu'il ne faudra que multiplier feulement le 2d & le 3e lieu de la régle entr'eux, comme on l'a enfeigné dans le 8e chapitre ci-devant:& la réduction des produits en entiers donnera la réponse à cette queftion, puifque l'unité du 1o lieu, qui eft le Divifeur de la régle ne change rien dans le Dividende qui eft le produit des 2 lieux moyens : car il est évident que 25 ( par exemple) partagez à 1, ou en 1, ou par 1, donnent toujours (pour Quotient 25.)

III. Si au contraire c'eft le je lieu de la propofition qui contient l'unité, comme fi la queftion eft celle-cy. [ Si (38 toifes coûtent) 7 liv. 9 fols 8 den.) par proportion quel eft le prix de la toife? ]

feigné dans l'article 1 du chapitre précedent, en regardant le r & le 3e lieu comme des livres, de même que le 24 lieu. Le Quotient donnera pour réponse à laqueftion ( 3 fols 11 den. ) feulement; puifque l'unité multipliant (7 liv. 9 fols 8 den.) n'y apporte aucun changement.

Mais fi le lieu de la régle contenoit des entiers avec parties, comme (par éxemple) 38 toifes, 3 pieds, 6 pouces ; le 2d & le ze demeurant toûjours les mêmes,il faudroit alors réduire le r1 &

leze

elieux aux moindres parties femblables;sçavoir icy tous deux en pouces ; ce qui donneroit la régle préparée, [Si 3278 pouces coutent 7 liv. 9 fols 8 den. combien 72 pouces ] qui fe réduit à cette autre, en prenant les moitiez du 1 & du ze lieu, [fi 1639 liv. coûtent 7 liv. 9 fols 8 den. combien 36 liv.] laquelle fe réfout comme dans le 1 article ci-deffus, & donne au Quotient 3 fols 3 den.

IV. Enfin fi le 1 & le 3e lieu de la régle étant toujours de même efpece, contiennent cependant des parties differentes, ( ce qui ne fe trouve que

dans les aunages) comme fi la queftion eft telle: [Si 18 aunes trois quarts coutent 72 liv.

6 fols 4 den. combien par proportion couteront 26 aunes & fixiémes? 1

En ce cas il faudra commencer par mettre le 1o & le 3e lieu en même efpece de parties, comme par éxemple en entiers & douziémes; ce qui se fait en cherchant le nombre ( 12 ) qui fe puiffe divifer en 4 & en 6, à caufe des & des de la régle; ce qui donne 18 aunes pour le lieu de la régle, & 26 aunes pour le 3, comme on le voit en B. après quoi il faut réduire ce 1o & 3o

lieu, tous en parties; fçavoir ici en douzièmes : ce qui donnera la régle préparée qu'on voit en C. [Si 225 douziémes coûtent (72 liv. 6 fols 4 den. ) que doivent couter par proportion ( 322 douzićmes ou laiffant les dénominateurs (12) de part & d'autre. ] [ Si (225) donnent (72 liv. 6 fols 4 den. que coûteront (322?)] laquelle eft dans la forme du 1 article de ce chapitre, & étant résoluë comme il eft enfeigné dans cet article, donne pour réponse à la question (103 liv. 9 fols 10 den.

Théorie.

V. Les deux formes de régles qu'on propose dans le 11article, viennent de ce que l'on compare tantôt la marchandise du 1a lieu à fon prix du 2d lieu, afin afin que la marchandise du 3e lieu donne un prix proportionnel au 4°; & tantôt la marchandife du lieu à celle du 3e, afin que le prix de la te mis au fecond lieu, donne pour la 2e un prix proportionnel au 4: & cela fans aucune raison particuliere, mais feulement felon que l'on trouve plus de facilité à une comparaifon qu'à l'autre ; ce que l'on doit bien obferver, comme ayant lieu dans toutes les proportions.

La premiere comparaifon ou proportion s'appelle Directe, & la 2e fe nomme Alterne.

2. A l'égard de la réduction des deux lieux de même efpece en mêmes parties, il est aisé d'en voir la neceffité. Car fi l'on multiplioit le 3o lieu par le 2d (par exemple) fans réduire le 3e, on auroit dans le t éxemple pour produit, des toifes, pieds, & pouces, qu'on ne pourroit divifer par le premier Lieu, fans réduire le tout, tant de part que d'autre, dans

les mêmes parties; c'eft pourquoy l'on abrége beaucoup l'opération, en réduisant tout d'un coup le 1 & le 3e lieu en mêmes parties.

3. Quant à la pratique de la Régle qui est, de multiplier les 2 Lieux moyens entr'eux, & de divifer leur produit par le rr Lieu, pour avoir le 4o; elle eft fondée fur un principe général des proportions; fçavoir [Que toujours le produit des deux Lieux moyens entr'eux égal au produit des deux Lieux extrêmes, c'est-à-dire du premier & du dernier entr'eux. ] Car d'autant que le produifant moyen 4 toifes, 2 pieds, 6 pouces augmente le produit des 2 Lieux moyens, pardeffus celui des extrêmes, lorfqu'il eft plus grand que le premier lieu ( 2 toifes, 3 pieds, 8 pouces ;) d'autant en recompenfe le 4 lieu) 8 liv. 15 fols 3 den.) augmente celui des extrêmes fur celui des moyens, étant toujours d'autant plus grand que (5 liv. 3 fols 7 den.) que (4 toifes 2 pieds 6 pouces) le font plus que (2 toifes, 3 pieds, 8 pouces.) Ainfi le même avantage qu'a le produit des moyens fur celui des extrêmes par la rre raifon celui des extrêmes l'a fur celui des moyens par la 2o. [Or deux nombres qui ont un avantage égal l'un fur l'autre, foit pour Se contenir, foit pour se furpaffer, font certainement égaux.] D'où il eft évident qu'en toute proportion on peut prendre le produit des deux Lieux moyens pour celui des deux extrêmes. Or ce dernier produit étant divifé par un des 2 Lieux extrêmes, comme par le 1 Lieu, rendroit certainement l'autre extrême; fçavoir le 4° Lieu. Donc auffi le produit des Lieux moyens étant divifé par le 1o Lieu, donnera le 4o defiré. De plus, il eft encore évident que le produit des 2 Lieux moyens étant divifé par le 3 Lieu, rendroit le 24, & que ce même produit étant divifé par un nombre moin