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dre (par exemple) que le 3e Lieu, comme icy par le 1 Lieu, rendra un Quotient d'autant plus grand que le 2d Lieu; que ce 1 Lieu eft moindre que le 3: ainfi on aura cette proportion. [ D'autant que le divifeur 2 toifes, 3 pieds, 8 pouces eft moindre que (4 toifes, 2 pieds 6 pouces,) d'autant (5 liv. 3 fols 7 den.) feront moindres que le quotient,] qui fera par consequent le 4o lieu défiré 8 liv. 15 fols 3 den. par proportion Alterne.

4. Enfin, à l'égard de la réduction de la régle marquée en D, elle est aisée à voir. Car en réduifant le 3e lieu 3 18 à fa moitié 159, on fait la même chofe que fi l'on avoit réduit le produit des moyens, qui eft le Dividende à fa moitié; mais comme en même-temps on réduit le Divifeur 188 auffi à fa moitié, le quotient de la divifion doit être encore le même, que fi l'on n'avoit fait aucune réduction avant la multiplication & la division.

L

CHAPITRE XI.

Des Régles de proportion inverfes & fimples.

ART. I, Uppofez que

l'on ait cette queftion à réfoudre [Si 12 hommes ont employé 8 jours & 5 heures à faire un certain ouvrage;combien par proportion 20 hommes doivent-ils employer de jours pour faire le même ouvrage? ] Cette propofition eft bien encore une régle de proportion, mais elle eft propofée dans un fens aux précéden contraire aux précédent Car en comparant le 3c Le lieu (20 hommes) avec le 1 (12 hommes) felon la 2e forme du chapitre précédent, appellé Alterne,

on trouve que d'autant que 20 hommes font plus que 12 hom. d'autant le 4 lieu que l'on cherche doit être moindre que le 24, (8 jours 5 heures ;) au lieu qu'il devroit être d'autant plus grand, felon les régles de proportion droites; c'est ce qui fait nommer celles que nous traitons, Inverfes ou Réciproques. On trouveroit de même que fi le ze lieu étoit moindre que le r' qu'on fuppofe de même efpece, le 4o devroit être d'autant plus grand que le zd de même efpece que lui. Pour rappeller donc ces fortes de propofitions à la forme des Régles de proportion droite, il ne faut que changer le 1 & le 3e lieu de place entr'eux ; c'està-dire écrire le 1 lieu au e, & réciproquement le 3 au 1, & pourfuivre enfuite la résolution, comme pour les Régles droites du chapitre précédent, ainfi qu'on le voit ci-deffous.

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On fuppofe icy que les jours, ou plûtoft les journées propofées font chacunes de 12 heures; ce qui donne pour réfolution ( 4 jours, 12 heures & 36 minutes, dont l'heure en contient 60; & par confequent auffi (5 jours, o heures, 36 minutes, ou d'heures.

S

Ayant donc réduit le 1 & le 3e lieu 20 & 12, 5 & 3, qui en font les quarts, il refte que de multiplier le fecond lieu 8 jours 5 heures, par 3, & de divifer le produit par 5.

On pourra s'exercer encore fur les éxemples fuivans, qui fe réfoudront comme le précédent.

2d EXEMPLE à réfoudre.

Lorfque le bled vaut 18 liv. on en a 5 mesures d'un certain païs pour un écu; on demande par proportion, lorfqu'il vaudra 21 liv. combien on aura des mêmes mefures pour le même prix d'un écu? Réponse. (4 mefures.

3 EXEMPLE à résoudre.

3

Lorfqu'on fait 2 lieuës par heure, on employe 15 jours & demi à faire un certain voyage en allant nuit & jour, on demande par proportion, lorfqu'on fera 3 lieuës & 1600 toifes par heure (à 2400 tiofes la lieuë, ) combien on employera de jours à faire le même voyage ? Réponse. (11 jours.

4 EXEMPLE à réfoudre.

Si fuppofant qu'on mette 2300 hommes dans une Citadelle, il y a des vivres pour les nourrir pendant 3 mois & 25 jours; on demande par proportion, fi l'on y en met 4500, pour combien de temps auront-ils de vivres avec parêille Ration? Réponse. Pour 1 mois & 29 jours environ.

I

se EXEMPLE à résoudre.

Si d'une monnoye qui vaut ( 11 ) pieces on en a 250 à changer; d'une autre de même espece, mais qui vaut 15 des mêmes pieces, combien en faudra-t'il faire la valeur des 250? Reponse. pour (1831.

Nous laiffons ces éxemples à réfoudre aux commençans, pour les porter à opérer eux-mêmes.

Mais il faut remarquer fur ce dernier éxemple, qu'on redresse ordinairement ces fortes de queftions de Change en les propofant; parce qu'on eft naturellement perfuadé, qu'il en faudra ( par éxemple) 15 des premiers, pour en faire 11 des dernieres; c'eft pourquoi l'on propose plus fouvent cette question fous cette forme. [ Si 15 des premieres efpeces en valent 11 des dernieres, par proportion 250 des premieres, combien en vaudront-elles des mêmes? Reponse. (183] Or il eft évident que cette proportion eft dans l'ordre d'une Régle de Trois directe, ainfi on n'a plus befoin de la redreffer.

On réfoud même encore ces mêmes questions de Change fans leur donner la forme d'aucunesRégles de proportion droites ou inverses. Car il eft évident, qu'en multipliant le prix (11) de la monnoye à changer par la quantité 250 que l'on en a, on aura la valeur de la fomme totale de monnoye, laquelle fomme éaant divifée par la valeur (15) de l'efpece defirée, donnera au quotient le même nombre 183 qu'on doit en prendre.

Théorie des Régles inverfes.

Ces fortes de proportions inverses

ayant leurs

lieux dans un ordre oppofé à celui des droites, il eft bien évident qu'il ne s'agit que de changer ces lieux à propos, pour les rappeller à l'état des Régles droites.

CHAPITRE XII.

Des Règles de Proportion droites &

ART. I.

compofées.

Suppofez
Uppofez que l'on ait cette question à

réfoudre, [ Si 25 hommes en 8 jours travaillant 9 heures par jour, on fait 36 parties d'ouvrage, combien par proportion 15 hommes en 12 jours travaillant 8 heures par jour feront-ils du même ouvrage? ] On l'appelle une Régle de proportion compofée, parce que le 1 & le 3e lieu de cette régle y comprennent plufieurs chefs à comparer entr'eux; fçavoir icy des hommes, des jours, & des heures. De plus cette régle eft droite, parce que moins d'hommes au 3e lieu qu'au 1o, donnent auffi par proportion moins d'ouvrage au 4 qu'au 24: au contraire plus de jours au 3e lieu, qu'au 1, donnent encore plus d'ouvrage à proportion au 4° qu'au 2d: enfin moins d'heures au 3e lieu qu'au 1, donnent au 4e moins d'ouvrage, qu'au 24. D'où il fuit que cette régle eft droite dans toutes ses parties; ce qu'on doit bien obferver. De plus on doit encore confiderer fi le 2d & le 4o Lieu particulierement font Omogenes, ou de même efpece, comme ici, où tous deux font des toises.' A l'égard des autres Lieux cela eft indifferent, pourvû qu'on y fupplée d'ailleurs ; comme dans cet éxemple, où l'on compare des journées de 9 heures du 1 lieu

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