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IS

23

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-en valent 9 de Vienne, combien 24 Entiers de Pa-
ris en vaudront-ils de Vienne par proporion com-
posée ?

Préparation.
Si lo deparist 15 d’Amf. | 24deParis Rép:
Si 2 5 d'Amft.valent. 12 deLon. combien si
Si 30 de Lon. gdeVien de Vien?
---I t-3

Regle re-
25

24

duite.
36-10
$-3

Regle de trois simple
250
54

24 Troisiéme Resolution

216

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25

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12

bien compren

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Théorie. 25 25----IS

Pour entendre
8

S-
-I 2

la pratique de
9--
-3 8

8 ces régles, il faut
1800 1600 2400

1440
ze prod. 4eprod. | 2 dprod.'| dre l'état de la

question, qui est
dans la premiere forme; de trouver un 4€

lieu

par le moyen d'un second, ( que nous appellons à cause de cela l'Exemple de la proposition ;) & cela par la comparaison de chaque chef du ir lieu, avec chaque chef du 3°, Ainsi on demande que

la comparaison des 36 parties d'ouvrage du żd Lieu du It exemple, avec les 28 4 du 4e lieu , renferme non seulement la comparaison des 2s hommes du

ز

1

I', avec les

sur ces

2

IS
du 3° ;

mais encore celle des 8 jours du 1' avec les 12 du 3e, & encore celle des 9 heures du ir lieu, avec les 8 du 3e. Car il est évi. dent, que si l'on manquoit de renfermer quelquesunes de ces comparaisons dans la comparaison du 2d lieu avec le 4o; on ne satisferoit pas entierement à la question, laquelle ne roule

que raports, comme on l'a vû à la fin du ir éxemple article is. Or c'est ce que l'on a fait if

par

la pratique que l'on a suivie, comme on peut en faire l'épreuve. Car il est certain que [li 9 heures du 11 lieu donnent 8 au 3e; 36 parties au 2d doivent en donner ( 32 ) au 4€ par proportion, ] & de plus que [li 8 jours du ir lieu donnent 1 2 jours au 3€, par proportion encore ces 3 2 parties mises au 2d doivent donner 48 au 4°. Enfin [ si 25 hommes au it lieu répondent à Is au 3°, encore par proportion ces 48 mis au 2d doivent répondre à 28, (puis qu'ajoutant à 28 ( ou plutost à 27 }) ses

sçavoir' ( 18 ģ) il vient 48 ; ) ce qui fait voir manifestement par cet éxemple, que le raport des 36 parties du 2d lieu aux 28 du 4e comprend en lui les raports des hommes aux hommes, des jours aux jours, & des heures aux heures du 11 &

Il ne reste donc plus que de faire voir, qu'en général le produit réduit (s) des conditions du 15 Lieu de la régle fimplifiée, comparé au produit ré. duit ( 36 du 3€, comprend équivalemment les raports de tous les chefs du it Lieu, comparez à tous ceux du 2d, qui sont de même espece.

Pour y parvenir, je prends le produit continuel non réduit ( 1800 ) de toutes les conditions du fi lieu, & le produit continuel non réduit 1440

de toutes celles du 3e. Et je faits voir d'abord qu ces à produits comparez entr'eux , renfermen

دژ

3e Lieu.

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3.

4

toutes les comparaisons des conditions du 1 Lieu, avec celles du 3€. Car fi pour comparer les heures avec les heures, l'on fait un ze produit continuel 1600 des 25 hommes & des 8 jours du 1 Lieu & des 8 heures du 39, il est aisé de voir que le i produit non réduit ( 1800 aura même rapport à

à ce 3e ( 1600,) que ( 9 heures à 8 heures,) l'un étant le produit de 9. par 200, & l'autre de 8 aussi

par 200, [ 6 9 fois 200 ayant même raport 8 fois 200,que 9. à 8, de mêmé de toutesles autres équimultiplications]De même si pour comparer les jours aux jours, on fait un 4° produit continuel ( 2400) des 25 hommes & des 8 heures du 30 produit 1600 liv. & des 12 heures du 3° lieu, le ze produit ( 1600,) aura même raport à ce 4*

( ) 2400 que ( 8 journées à 12 journées ,) l'un étant

à le produit de 200 par 8

& l'autre aufli de 200 par 12. Enfin ce quațriéme produit 2400 comparé au second 1440 aura alors même raport avec lui, que ( 25 hommes à 15 hommes,)

IS
s'un étant encore le produit de 25 par 96, & l'au-

IS
aussi
par 96, comme on va le

prouver, On aura donc entre les deux produits non réduits (1800) & ( 14400 ) les trois raports proposez de ( 9 heures à 8 heures, ) de 8 jours à 12 jours, )

hommes à 1s hommes.) D'où il suit que l'on peut au lieu de la régle proposée, former cette régle simple: Si [4800 hommes ont fait 36 parties d'ouvrage, combien par proportion composée 1440 hommes feront-ils ? ] & le 4e terme de cette régle préparée sera la réponse à la question. Mais on a vû dans les chapitres précédens , qu'il est per, mis de rabaisser le it lieu ( 180o) avec chacun des ; suivans ( 36 & 1440 ) toutes les fois que cela se peut; d'autant

que par ce moyen le Diviseur & le Dividende de la régle le trouvent également

>

tre de

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& de ( 25

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rabaissez. Mais au lieu de composer 1800 & 1440 pour rabaisser ensuite le même 1800, avec 36 & 1440, il est bien plus court de rabaisser les multiplicateurs de 1800, avec 36, & avec ceux de 1440, puisque d'ailleurs cela produit toujours le même effet. Car effacer 8 de part & d'autre, comme la réduction le demande, n'est autre chose que changer le diviseur & le dividende naturels 1800 & 1440 en deux autres, qui n'en sont que la 39 partie chacun, & qui par consequent ont encore même raport entr'reux, que 1800 & 1440; de même prenant la ge partie du multiplicateur 9 du 11 lieu, & de 36 du 2d, ce n'est encore autre chose que changer ces nouveaux diviseur & dividende de la premiere réduction en deux autres qui sont chacun la ge partie des précédens, & qui par consequent ont toujours même raport entr'eux, qu'eux. Enfin prenant la se partie de 25 & de is du 11 & ze lieu, c'est changer encore ces derniers diviseur & dividende de la 2e réduction en 2 nouveaux qui conservent toujours entr'eux le même raport que tous les précédens. Donc le quo- . tient de chacun de ces Dividendes, divisez

par leurs Diviseurs sera toujours le même que celui du ir Dividende naturel 1440,

par

son Diviseur naturel 1800; c'elt-à-dire que ce dernier Quotient réduit, sera le 4e terme désiré de la régle de proportion composée,

A l'égard de ce qui nous reste à prouver , sçavoir que 2400 est également le produit de 8 fois 25, ou de 200 par 12 ; ou le produit de 25 par 8 fois 12, ou 96, cela vient de la compensation qui se trouve dans ces deux opérations. Car si en comparant le 1 Multipliende & fois 25, ou 200 au 2° multipliende 25, on trouve que le 14 produit de vroit contenir 8 fois le 2d, en recompense si l'any

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1440, divisé

ز

compare le it multiplicateur 12 au 2d 8 fois 123 ou 96, on voit que le 2d produit doit aussi contenir le it 8 fois. Donc ces 2 produits ont l'un sur l'autre un avantage égal ; donc ils sont parfaitement égaux. On prouvera de même, que le même nombre 2400 est encore le produit de 8 par 25 fois 12. Car si en comparant le ir multipliende ( 8 fois 25 ) au 3€ 8, on trouve que le if produit doit contenir lesze 25 fois; en recompense en comparant le 1multiplicateur 12 au 3e ( 25

it fois 12,) on trouve que le ze produit doit aussi contenir le il 25 fois; ainfi le it & le 3° produit ont encore un avantage égal l'un à l'égard de l'autre; donc ils sont encore égaux. D'où l'on doit tirer ce principe général de l'Arithmetique. [ Que plusieurs nombres eftant multipliez entr'eux en quelque ordre

que ce soit, donnent toujours le même produit : ] ce que tout le monde accorde volontiers ; mais dont peu sçavene la véritable raison.

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CHAPITRE XIII.

Des Régles de Proportion composées &

inverses, ART.I. hommes travaillant chaque jour 9

heures, pour faire 36 parties d'ouvrage, ont employé 8 journées, combien par propor. tiion

IS hommes, travaillant chaque jour 8 heur, res, pour faire 28 parties d'ouvrage & feront-ils

ART. I. Shaun

I

de jours

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