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Si 10 deParist

Si 30 de Lon.

-en valent 9 de Vienne, combien 24 Entiers de Pa-
ris en vaudront-ils de Vienne par proporion com-
pofée ?

Préparation.
15 d'Amf24deParis Rép.

Si 25 d'Amft.valent 12 deLon. combien

9deVien de Vien?

2

I 2

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ces régles, il faut
bien compren-
dre l'état de la
queftion, qui eft

dans la premiere forme; de trouver un 4o lieu par le moyen d'un fecond, ( que nous appellons à cause de cela l'Exemple de la propofition ;) & cela par la comparaison de chaque chef du 1 lieu, avec chaque chef du 3e. Ainfi on demande que la comparaifon des 36 parties d'ouvrage du 2d Lieu du 1 éxemple, avec les 28 du 4 lieu, renferme non feulement la comparaifon des 25 hommes du

1', avec les Is du 3; mais encore celle des 8 jours du 1 avec les 12 du 3e, & encore celle des 9 heures du 1 lieu, avec les 8 du 3e.Car il eft évident, que fi l'on manquoit de renfermer quelquesunes de ces comparaifons dans la comparaison du 24 lieu avec le 4; on ne fatisferoit pas entierement à la question, laquelle ne roule que fur ces raports, comme on l'a vû à la fin du 1 éxemple article 1. Or c'eft ce que l'on a fait par la pratique que l'on a fuivie, comme on peut en faire l'épreuve. Car il eft certain que [ fi 9 heures du I lieu donnent 8 au 3; 36 parties au 2d doivent en donner ( 32 ) au 4 par proportion, ] & de plus que [fi 8 jours du 1o lieu donnent 12 jours au 3e,par proportion encore ces 32 parties mises au 2a doivent donner 48 au 4°. Enfin [fi 25 hommes au I lieu répondent à 15 au 3e, encore par propor tion ces 48 mis au 2d doivent répondre à 28, (puis qu'ajoutant à 28 ( ou plutoft à 272) fes fçavoir (18) il vient 48;) ce qui fait voir manifeftement par cet éxemple, que le raport des 36 parties du 2d lieu aux 28 du 4o comprend en lui les raports des hommes aux hommes, des jours aux jours, & des heures aux heures du 11 & 3e Lieu.

,

Il ne refte donc plus que de faire voir, qu'en général le produit réduit (5) des conditions du r Lieu de la régle fimplifiée, comparé au produit réduit ( 36 du 3e, comprend équivalemment les raports de tous les chefs du 1 Lieu, comparez à tous ceux du 24, qui font de même efpece.

Pour y parvenir, je prends le produit continuel non réduit (1800) de toutes les conditions du tr lieu, & le produit continuel non réduit 1440 dtoutes celles du 3e. Et je faits voir d'abord qu ces produits comparez entr'eux renfermen

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toutes les comparaifons des conditions du 1 Lieu,
avec celles du 3. Car fi pour comparer les heures
avec les heures, l'on fait un 3e produit continuel
1600 des 25 hommes & des 8 jours du 1 Lieu
& des 8 heures du 3o, il est aisé de voir que le 1
produit non réduit ( 1800 aura même rapport à
ce 3e (1600,) que (9 heures à 8 heures,) l'un
étant le produit de 9. par 200, & l'autre de 8
auffi par 200, [& 9 fois 200 ayant même raport à
8 fois 200,que 9 à 8, & de même de toutes les autres
équimultiplications] De même fi pour comparer les
jours aux jours, on fait un 4e produit continuel
(2400) des 25 hommes & des 8 heures du ze
produit 1600 liv. & des 12 heures du ze lieu, le
3e produit (1600) aura même raport à ce 4o
2400 que (8 journées à 12 journées,) l'un étant
le produit de 200 par 8, & l'autre auffi de
200 pat 12. Enfin ce quatriéme produit 2400
comparé au fecond 1440 aura alors même ra-
port avec lui, que ( 25 hommes à 15 hommes,)
l'un étant encore le produit de 25 par 96, & l'au-
tre de
IS auffi par 96, comme on va le prouver.
On aura donc entre les deux produits non réduits
(1800) & ( 14400) les trois raports proposez
de (9 heures à 8 heures,) de 8 jours à 12 jours,)
& de ( 25 hommes à IS
hommes.) D'où il fuit que
l'on peut au lieu de la régle propofée, former cette
régle fimple: Si [Soo hommes ont fait 36 par-
ties d'ouvrage, combien par proportion composée
1440 hommes feront-ils ? ] & le 4 terme de cette
régle préparée fera la réponse à la queftion. Mais
on a vû dans les chapitres précédens, qu'il eft per-
mis de rabaiffer le lieu (1800) avec chacun des
fuivans (36 & 1440) toutes les fois que cela
peut; d'autant que par ce moyen le Divifeur &
leDividende de la régle fe trouvent également

1400

1400

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rabaiffez. Mais au lieu de compofer 1800 & 1440
pour rabaiffer enfuite le même 1800, avec 36
& 1440, il eft bien plus court de rabaiffer les mul-
tiplicateurs de 1800, avec 36, & avec ceux de
1440, puifque d'ailleurs cela produit toujours le
même effet. Car effacer 8 de part & d'autre, com-
me la réduction le demande, n'eft autre chose que
changer le divifeur & le dividende naturels 1800
& 1440 en deux autres, qui n'en font que
la 39
partie chacun, & qui par confequent ont encore
même raport entr'reux, que 1800 & 1440; de
même prenant la 9e partie du multiplicateur 9
du 1 lieu, & de 36 du 2d, ce n'eft encore autre
chofe que changer ces nouveaux divifeur & divi-
dende de la premiere réduction en deux autres,
qui font chacun la 9o partie des précédens, & qui
par confequent ont toujours même raport entr'-
eux, qu'eux. Enfin prenant la se partie de 25 &
de 15 du 1 & 3e lieu, c'eft changer encore ces der-
niers divifeur & dividende de la 2e réduction en 2
nouveaux qui confervent toujours entr'eux le mê-
me raport que tous les précédens. Donc le quo-
tient de chacun de ces Dividendes, divifez par
leurs Divifeurs fera toujours le même que celui
du r Dividende naturel 1440,
fon
divifé par
Divifeur naturel 1800; c'est-à-dire
que ce der-
nier Quotient réduit, fera le 4e terme défiré de
la régle de proportion compofee,

A l'égard de ce qui nous refte à prouver, fçavoir que 2400 eft également le produit de 8 fois 25, ou de 200 par 12; ou le produit de 25 par 8 fois 12, ou 96, cela vient de la compenfation qui fe trouve dans ces deux opérations. Car fi en comparant le 1 Multipliende 8 fois 25, ou 200 au 2o multipliende 25, on trouve que le 1 produit de vroit contenir 8 fois le ad, en recompenfe fi l'an

compare le 1 multiplicateur 12 au 2d 8 fois 12 ou 96, on voit que le 24 produit doit auffi contenir le r 8 fois. Donc ces 2 produits ont l'un fur l'autre un avantage égal; donc ils font parfaitement égaux. On prouvera de même, que le même nombre 2400 eft encore le produit de 8 par 25 fois 12. Car fi en comparant le 1 multipliende (8 fois 25) au 3e 8, on trouve que le i produit doit contenir le 3e 25 fois; en recompenfe en comparant le 1 multiplicateur 12 au 3 (25 fois 12,) on trouve que le ze produit doit auffi contenir le 125 fois; ainfi le 1 & le 3 produit ont encore un avantage égal l'un à l'égard de l'autre; donc ils font encore égaux. D'où l'on doit tirer ce principe général de l'Arithmetique. [Que plufieurs nombres eftant multiplez entr'eux en quelque ordre que ce foit, donnent toujours le même produit:] ce que tout le monde accorde volontiers; mais dont peu fçavent la véritable raison.

આમા

CHAPITRE XIII.

Des Régles de Proportion compofees &

ART. I.

Sha

inverses.

25 hommes travaillant chaque jour 9 heures, pour faire 36 parties d'ouvrage, ont employé 8 journées, combien par proportiion 15 hommes, travaillant chaque jour 8 heu res, pour faire 28 parties d'ouvrage & seront-ils de jours ?

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