Si 10 deParist Si 30 de Lon. -en valent 9 de Vienne, combien 24 Entiers de Pa- Préparation. Si 25 d'Amft.valent 12 deLon. combien 9deVien de Vien? 2 I 2 ces régles, il faut dans la premiere forme; de trouver un 4o lieu par le moyen d'un fecond, ( que nous appellons à cause de cela l'Exemple de la propofition ;) & cela par la comparaison de chaque chef du 1 lieu, avec chaque chef du 3e. Ainfi on demande que la comparaifon des 36 parties d'ouvrage du 2d Lieu du 1 éxemple, avec les 28 du 4 lieu, renferme non feulement la comparaifon des 25 hommes du 1', avec les Is du 3; mais encore celle des 8 jours du 1 avec les 12 du 3e, & encore celle des 9 heures du 1 lieu, avec les 8 du 3e.Car il eft évident, que fi l'on manquoit de renfermer quelquesunes de ces comparaifons dans la comparaison du 24 lieu avec le 4; on ne fatisferoit pas entierement à la question, laquelle ne roule que fur ces raports, comme on l'a vû à la fin du 1 éxemple article 1. Or c'eft ce que l'on a fait par la pratique que l'on a fuivie, comme on peut en faire l'épreuve. Car il eft certain que [ fi 9 heures du I lieu donnent 8 au 3; 36 parties au 2d doivent en donner ( 32 ) au 4 par proportion, ] & de plus que [fi 8 jours du 1o lieu donnent 12 jours au 3e,par proportion encore ces 32 parties mises au 2a doivent donner 48 au 4°. Enfin [fi 25 hommes au I lieu répondent à 15 au 3e, encore par propor tion ces 48 mis au 2d doivent répondre à 28, (puis qu'ajoutant à 28 ( ou plutoft à 272) fes fçavoir (18) il vient 48;) ce qui fait voir manifeftement par cet éxemple, que le raport des 36 parties du 2d lieu aux 28 du 4o comprend en lui les raports des hommes aux hommes, des jours aux jours, & des heures aux heures du 11 & 3e Lieu. , Il ne refte donc plus que de faire voir, qu'en général le produit réduit (5) des conditions du r Lieu de la régle fimplifiée, comparé au produit réduit ( 36 du 3e, comprend équivalemment les raports de tous les chefs du 1 Lieu, comparez à tous ceux du 24, qui font de même efpece. Pour y parvenir, je prends le produit continuel non réduit (1800) de toutes les conditions du tr lieu, & le produit continuel non réduit 1440 dtoutes celles du 3e. Et je faits voir d'abord qu ces produits comparez entr'eux renfermen toutes les comparaifons des conditions du 1 Lieu, 1400 1400 rabaiffez. Mais au lieu de compofer 1800 & 1440 A l'égard de ce qui nous refte à prouver, fçavoir que 2400 eft également le produit de 8 fois 25, ou de 200 par 12; ou le produit de 25 par 8 fois 12, ou 96, cela vient de la compenfation qui fe trouve dans ces deux opérations. Car fi en comparant le 1 Multipliende 8 fois 25, ou 200 au 2o multipliende 25, on trouve que le 1 produit de vroit contenir 8 fois le ad, en recompenfe fi l'an compare le 1 multiplicateur 12 au 2d 8 fois 12 ou 96, on voit que le 24 produit doit auffi contenir le r 8 fois. Donc ces 2 produits ont l'un fur l'autre un avantage égal; donc ils font parfaitement égaux. On prouvera de même, que le même nombre 2400 eft encore le produit de 8 par 25 fois 12. Car fi en comparant le 1 multipliende (8 fois 25) au 3e 8, on trouve que le i produit doit contenir le 3e 25 fois; en recompenfe en comparant le 1 multiplicateur 12 au 3 (25 fois 12,) on trouve que le ze produit doit auffi contenir le 125 fois; ainfi le 1 & le 3 produit ont encore un avantage égal l'un à l'égard de l'autre; donc ils font encore égaux. D'où l'on doit tirer ce principe général de l'Arithmetique. [Que plufieurs nombres eftant multiplez entr'eux en quelque ordre que ce foit, donnent toujours le même produit:] ce que tout le monde accorde volontiers; mais dont peu fçavent la véritable raison. આમા CHAPITRE XIII. Des Régles de Proportion compofees & ART. I. Sha inverses. 25 hommes travaillant chaque jour 9 heures, pour faire 36 parties d'ouvrage, ont employé 8 journées, combien par proportiion 15 hommes, travaillant chaque jour 8 heu res, pour faire 28 parties d'ouvrage & seront-ils de jours ? |