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ji EXEMPLE.

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2

ou'44

I

48 Reg.fimp.

Si 25 hom. ajontem-{combien

heures par ployé is hommes à Reponse A3 jour, pour 8 jours he. par jo.po.

36 parties nées,| 28 parties d'ou- 12 jou. faites d'ou

vrages , vrage

ployeront-ils de

ljours ? B SSi 3-18 ho. Hz he.

S-23hom.

Régle prep. 1-36d'ou. 2 28 d'ouvrage. & réduite. c২১13 Si

20 140

96 h.

$ Ayant arangé les termes de cette question comme dans les chapitres précédens, [çavoir toujours les chefs de comparaison au 15 lieu, l'éxemple de la question au 2d, & les chefs de la proposition au 3€, comme on le voit en A. Je trouve que moins d'hommes au 3e Lieu qu'au 11 demandent plus de jours au 4° Lieu qu'au 2d : c'est pourquoy je change ces hommes de place, comme dans les régles de proportion inverses du chapitre i cydevant : ce qu'on voit en B. Comparant ensuite l'ouvrage du 1 Lieu avec celui du 3°, je trouve que moins d'ouvrage au ze lieu qu'au i' demande moins de jours au 4e lieu qu'au 2d, d'ou je conclus que la régle est droite dans cette comparaison ; ainsi je ne change point les ouvrages de place. A l'égard des heures, je vois que les journées du 2d lieu font de 9 heures, & que celles qu'on demande au 4e ne sont que de 8 ; ainsi ces journées n'étant pas omogènes, ou de même espece, ne sçauroient être comparées entr'elles, qu'en les réduisant en heures. Je fais donc des 8 journées à 9 heures du 2d lieu ; 72 heures que je prens pour le

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& 25

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&

2d lieu de la régle préparée, au lieu de 8 journées ; & je ne parle plus davantage des 9 heures du ir lieu, ni de celles du 3e que j'efface. Je rabaisse ensuite IS

hommes à 3 & 5; & 36 parties d'ouvrage avec 72 heures à 1 & 2. Enfin je fais un produit des conditions restantes 3 & 1 du lieu, fçavoir (3) & un autre de celles du 3°, que je prens pour 1' &;3£ lieux d'une régle de proportion droite & fimple, qu'on voit enС,laquelle a pour 2d lieu les

heures venuës de la réduction de 72 heures de la régle préparée B ; & prenane encore le tiers de 38 de 144, sçavoir 1 & 48 ; toute la propofition se réduit à la simple régle de 3 directe. [ Si ( 1 ) donne (2 heures,) que donneront (48; ] & comme on voit tout d'un coup la réponse, sçavoir ( 96 heures, ) il est évident que ce cas se résout par de simples préparatifs ; mais c'est icy un accident qui n'arrive pas souvent. Ayant les ( 96 ) heures désirées, il est manifeste qu'il ne reste que de les diviser par le nombre d'heures de la journée proposée, sçavoir icy par ( 8 ) le quotient donnera les ( 72 ) journées que l'on fouhaite. Ce sera la même chose pour tous les autres éxeinples qu'on peut proposer.

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Preuve des Proportions composees. L'on peut remarquer icy que ces régles inverses servent de preuve aux régles composées droites du chapitre précédent , & réciproquement celles-là en servent à celles-cy; & cela en se fervant des mêmes chefs

pour

la

preuve que pour la proportion, & faisant seulement tomber la question sur un chef qui soit different du 4e lieu de la régle proposée, & qui la rende droite quand

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faire 28 par

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elle est inverse, ou inverse quand elle est droite. Ainsi dans le ir éxemple du chapitre précédent, dont les termes sont précisément les mêmes, que de l'éxemple de ce chapitre, on fait tomber la question sur l'ouvrage, au lieu que dans celuy-ci elle tombe sur les jours ; ce qui la rend inverse. Et ce qui rend les mêmes 12 jours de la régle droite du chapitre précédent, qui avoient servi à trouver l'ouvrage 28 de celui-cy.

On pourroit de même faire tomber la question sur les hommes, ainsi.

2d EXEMPLE à refondre. [ Si pour faire 36 parties d'ouvrage, en travaillant 8 journées à 9 heures chacune, il a fallu 25 hommes ; par proportion pour ties d'ouvrage en 12 jours à 8 heures par jour, combien faudra-t'il d'hommes ? ] qui est encore une régle inverse, laquelle rend à son 4 lieu les Is hommes du 3e lieu des rres, sans qu'il soit nécessaire de changer dans cet éxemple les jours en heures;parce que les 9 & 8 heures du ir & ze lieu sauvent l'étérogénéité des jours ,comme on l'a dic dans le 15 article du chapitre précédent.

Enfin on pourroit encore faire tomber la question sur les heures, ainsi.

34 EXEMPLE à refoudre. [ Si pour faire 36 parties d'ouvrage, 2 5 hommes travaillant pendant 8 jours , ont employé chaque jour 9 heures ; par proportion combien 15 hommes pour faire 28 parties d'ouvrage en 8. jours doivent-ils employer d'heures par chaque jour? ] ce qui donne encore une régle inverse, dont le 4 lieu doit contenir les 8 heures du ze lieu de la droite, si l'on ne s'est point crompé ; ce que cha.

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cun doit éprouver soi-même pour s'exercer , & pour acquerir de l'habitude.

Le E x E M P L E.

Ou Régle conjointe inverse. Si 10 Entiers de Paris sont égaux à is d'Amst. & fi 25 d'Amsterd. en valent 12 de Londres : Enfin si 30

de Londres sont équivalens à 9 de Vienne ; par proportion composée combien s & } de Vienne en vaudront-ils de Paris ?

S d'Amft. 10de Paris siz de V. Reponse. A Si

12 de Lon. 2 sd’Amf. comb. en 24 gdeVien. 3 odeLion valent-ils Regle

de Paris?

prepe Su-3-1/10

combica Rogle abre1848 72

gée. 10x28 xx8

241 valent

valent|| combien Regle fimple 2225 1236

24 &28

*28 Il est aile de voir que dans cet éxemple , son 3 3e Lieu (site) devroit être le 4, & fon 4• le 3°,

son afin que cette régle fût sous la forme de la régle droite conjointe du 4e éxemple du chapitre précédent. Ces deux lieux étant donc dans un sens renversé, il est évident qu'on doit changer aussi de place entr'eux le 11 & le 24 Lieu ( qui le répondent toujours) comme on le voit en A, afin d'y pouvoir appliquer le raisonnement des régles droites ; sçavoir [Si 1o de Paris valent

IS

d'Amterdam ; si 25 d'Amsterdam valent 12 de Londres, & fi 30 de Londres valent 9 de Vienne, 24 de Paris vaudront side Vienne. ]

A l'égard du préparatif de cette régle, je mets

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ܐ 1

I 25

csię

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I 2

12

Cs) en 12 gémes ; ce qui me donne 648; rabaisfant donc (15. 12.9.) avec ( 10. 29. 30. & 648 ) comme en B, il reste seulement ( 1. 1. I) au 15 Lieu ; ( 1. 25. 10 ) au 24, & in au 3€. Je mets donc 1, ou plûtost (as) au 11 lieu de la régle en C; 250 au 2d, & iš au 3, & effaçant les dénominateurs 125 du 11 & 3e Lieu, je réduis leurs numérateurs à 1 & 2 : ce qui donne la régle fimple [ Si i répond à 2 ; à quoi répondront 12:] il vient au 4° terme les 24 de la régle droite défirez.

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Théorie.

Ces régles inverses n'ont pas besoin d'une plus ample explication que les inverses simples ; puisqu'on ne fait autre chose dans les unes & les autres, que changer de place les chefs qui empêchent qu'on n'y applique le raisonnement des règles de proportion droites, afin qu'après ce changement ce raisonnement puisse leur convenir ; c'est-à-dire qu'elles deviennent par ce moyen de veritables proportions directes.

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