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Ayant arangé les termes de cette question comme dans les chapitres précédens, fçavoir toujours les chefs de comparaifon au 1 lieu, l'éxemple de la question au 2d, & les chefs de la propofition au 3e, comme on le voit en A. Je trouve que moins d'hommes au 3e Lieu qu'au ir demandent plus de jours au 4° Lieu qu'au 2d: c'est pourquoy je change ces hommes de place, comme dans les régles de proportion inverfes du chapitre II cydevant ce qu'on voit en B. Comparant enfuite l'ouvrage du r Lieu avec celui du 3e, je trouve que moins d'ouvrage au 3e lieu qu'au 1 demande moins de jours au 4° lieu qu'au 2d, d'ou je conclus que la régle eft droite dans cette comparaifon; ainfi je ne change point les ouvrages de place. A l'égard des heures, je vois que les journées du 2d lieu font de 9 heures, & que celles qu'on demande au 4° ne font que de 8; ainfi ces journées n'étant pas omogènes, ou de même efpece, ne fçauroient être comparées entr'elles, qu'en les réduifant en heures. Je fais donc des 8 journées à 9 heures du 2d lieu; 72 heures que je prens pour le

I

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2d lieu de la régle préparée, au lieu de 8 journées;
& je ne parle plus davantage des 9 heures du r
lieu, ni de celles du 3e que j'efface. Je rabaiffe
enfuite 15 & 25
hommes à 3 & 5 ; & 36 parties
d'ouvrage avec 72 heures à 1 & 2. Enfin je fais
un produit des conditions restantes 3 & 1 du lieu,
fçavoir (3) & un autre de celles du 3e, que je prens
pour 1 & 3 lieux d'une régle de proportion droite
& fimple, qu'on voit enC, laquelle a pour 24 lieu les
2 heures venues de la réduction de 72 heures de la
régle préparée B ; & prenant encore le tiers de 3 &
de 144, fçavoir 1 & 48; toute la propofition fe ré-
duit à la fimple régle de 3 directe. [ Si ( 1 ) don-
ne (2 heures,) que donneront (48; ] & comme
on voit tout d'un coup la réponse, fçavoir (96
heures,) il eft évident que ce cas fe réfout par
de fimples préparatifs; mais c'eft icy un accident
qui n'arrive pas fouvent. Ayant les (96) heures
défirées, il eft manifefte qu'il ne reste que de les
divifer par le nombre d'heures de la journée pro-
pofée, fçavoir icy par (8,) le quotient donnera
les (72) journées que l'on fouhaite. Ce fera la
même chofe pour tous les autres éxemples qu'on
peut propofer.

Preuve des Proportions compofees.

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L'on peut remarquer icy que ces régles inverfes fervent de preuve aux régles compofées droites du chapitre précédent, & réciproquement celles-là en fervent à celles-cy; & cela en fe fervant des mêmes chefs pour la preuve que pour prog ર la proportion, & faifant feulement tomber la queftion fur un chef qui foit different du 4° lieu de la régle propofée, & qui la rende droite quand

elle eft inverfe, ou inverfe quand elle eft droite. Ainfi dans le réxemple du chapitre précédent, dont les termes font précisément les mêmes, que de l'éxemple de ce chapitre, on fait tomber la queftion fur l'ouvrage, au lieu que dans celuy-ci elle tombe fur les jours; ce qui la rend inverfe. Et ce qui rend les mêmes 12 jours de la régle droite du chapitre précédent, qui avoient fervi à trouver l'ouvrage 28 de celui-cy.

On pourroit de même faire tomber la question fur les hommes, ainfi.

2d EXEMPLE à refoudre.

[Si pour faire 36 parties d'ouvrage, en travaillant 8 journées à 9 heures chacune, il a fallu 25 hommes; par proportion pour faire 28 parties d'ouvrage en 12 jours à 8 heures par jour, combien faudra-t'il d'hommes? ] qui eft encore une régle inverfe, laquelle rend à fon 4° lieu les 15 hommes du 3e lieu des 1res, fans qu'il foit neceffaire de changer dans cet éxemple les jours en heures; parce que les 9 & 8 heures du 11 & 3e lieu fauvent l'étérogénéïté des jours,comme on l'a dit dans le r' article du chapitre précédent.

Enfin on pourroit encore faire tomber la queftion fur les heures, ainfi.

3o EXEMPLE à refoudre.

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[Si pour faire 36 parties d'ouvrage, 25 hommes travaillant pendant 8 jours, ont employé chaque jour 9 heures; par proportion combien hommes pour faire 28 parties d'ouvrage en 8. jours doivent-ils employer d'heures par chaque jour? ] ce qui donne encore une régle inverse, dont le 4o lieu doit contenir les 8 heures du ze lieu de la droite, fi l'on ne s'eft point trompé; ce que cha

cun doit éprouver foi-même pour s'éxercer, & pour acquerir de l'habitude.

fi

4 EX EM P L E. Ou Régle conjointe inverfe

Si ro Entiers de Paris font égaux à 15 d'Amft. & 25 d'Amfterd. en valent 12 de Londres: Enfin fi 30 de Londres font équivalens à 9 de Vienne; par proportion compofée combien 5 & 23 de Vienne en vaudront-ils de Paris?

125

15 d'Amft. 1odeParis de V. Reponse. A Si 12 de Lon. 2 5d'Amf. comb. en 24 9deVien. 3odeLion||valent-ils

de Paris?

Regle

prep.

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Il eft aifé de voir que dans cet éxemple, fon 3 Lieu (5) devroit être le 4°, & fon 4 le 3o, afin que cette régle fût fous la forme de la régle droite conjointe du 4e éxemple du chapitre précédent. Ces deux lieux étant donc dans un fens renversé, il est évident qu'on doit changer auffi de place entr'eux le 1 & le 2d Lieu ( qui fe répondent toujours) comme on le voit en A, afin d'y pouvoir appliquer le raifonnement des régles droites; fçavoir [Si 10 de Paris valent d'Amfterdam; fi 25 d'Amfterdam valent 12 de Londres, & fi 30 de Londres valent 9 de Vienne, 24 de Paris vaudront de Vienne. ]

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A l'égard du préparatif de cette régle, je mets

(523) en 125émes; ce qui me donne 648; rabais fant donc (15. 12.9.) avec ( 10. 25. 30. & 648) comme en B, il refte feulement ( 1. 1. I ) au 1o Lieu; ( 1. 25. 10) au 2d, & au 3e. Je mets donc 1, ou plûtoft (12) au 1 lieu de la régle en C; 250 au 2d, & au 3e, & effaçant les dénominateurs 125 du 11 & 3e Lieu, je réduis leurs numérateurs à 1 & 2 : ce qui donne la régle fimple [ Si 1 répond à 2; à quoi répondront 12:1 il vient au 4o terme les 24 de la régle droite défirez.

I 2

125

Théorie.

Ces régles inverfes n'ont pas befoin d'une plus ample explication que les inverfes fimples; puifqu'on ne fait autre chofe dans les unes & les autres, que changer de place les chefs qui empêchent qu'on n'y applique le raifonnement des règles de proportion droites, afin qu'après ce changement ce raifonnement puiffe leur convenir; c'est-à-dire qu'elles deviennent par ce moyen de veritables proportions directes.

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