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2

I

48

ji EXEMPLE. Si 2 5 hom. ajont em-combien So heures par ployé Is hommes à Reponse A3 jour, pour 8 jours he. par jo. po.

36 parties nées, 28 parties d'ou- 12 jou. feites d'ou

vrages, vrage

ployeront-ils de

ljours ? B SSi 3-15 ho.ltz he.

sx8

Régle prep. 1-36 d'ou. :2 28 d'ouvrage. Gréduite c২১13

20 140

ou*4496 h.

$ Reg.fimp. Ayant arangé les termes de cette question comme dans les chapitres précédens, [çavoir toujours les chefs de comparaison au 11 lieu, l'éxemple de la question au 2d, & les chefs de la proposition au 3€, comme on le voit en A. Je trouve que moins d'hommes au 3e Lieu qu'au 1 demandent plus de jours au 4° Lieu qu'au 2d: c'est pourquoy je change ces hommes de place, comme dans les régles de proportion inverses du chapitre 11 cydevant : ce qu'on voit en B. Comparant ensuite l'ouvrage du 11 Lieu avec celui du 3°, je trouve que moins d'ouvrage au ze lieu qu'au i demande moins de jours au 4° lieu qu'au 2d, d'ou je conclus

que la régle est droite dans cette comparaison ; ainsi je ne change point les ouvrages de place. A l'égard des heures, je vois que les journées du 2d lieu sont de 9 heures, & que celles qu'on demande au 4e ne sont que de 8 ; ainsi ces journées n'étant pas omogènes,ou de même espece, ne sçauroient être comparées entr'elles, qu'en les réduisant en heures. Je fais donc des 8 journées à 9 heures du 2d lieu ; 72 heures que je prens pour

le

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24 lieu de la régle préparée , au lieu de 8 journées ;
& je ne parle plus davantage des 9 heures du şi
lieu, ni de celles du 3e que j'efface. Je rabaisse
ensuite

IS
&
25

hommes à 3 & 5;& 36 parties
d'ouvrage avec 72 heures à 1 & 2. Enfin je fais
un produit des conditions restantes 3 & 1 du lieu,
fçavoir (3) & un autre de celles du 3°, que je prens
pour 17 &;3¢ lieux d'une régle de proportion droite
& simple, qu'on voit enC, laquelle a pour 2d licu les
2 heures venuës de la réduction de 72 heures de la
régle préparée B ;& prenane encore le tiers de 3 &
de 144, sçavoir 1 & 48 ; toute la proposition se ré-
duit à la simple régle de 3 directe. [ Si ( 1 ) don-
ne (2 heures,) que donneront ( 48 ; ] & comme
on voit tout d'un coup la réponse, fçavoir ( 96
heures, ) il est évident que ce cas se résout par
de simples préparatifs ; mais c'est icy un accident
qui n'arrive pas souvent. Ayant les ( 96 ) heures
désirées, il est manifeste qu'il ne reste que de les
diviser

par

le nombre d'heures de la journée proposée, Içavoir icy par ($,) le quotient donnera les ( 72 ) journées que l'on souhaite. Ce sera la même chose pour tous les autres éxemples qu'on peut proposer.

Preuve des Proportions composees.
L'on peut remarquer icy que ces régles inver-
ses servent de preuve aux régles composées droi-
tes du chapitre précédent, & réciproquement
celles-là en fervent à celles-cy; & cela en se
fervant des mêmes chefs pour la preuve que pour
la proportion, & faisant seulement tomber la
question sur un chef qui soit different du 4e lieu
de la régle proposée, & qui la rende droite quand

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elle est inverse, ou inverse quand elle est droite. Ainsi dans le ir éxemple du chapitre précédent, dont les termes sont précisément les mêmes, que de l’éxemple de ce chapitre, on fait tomber la question sur l'ouvrage, au lieu que dans celuy-ci elle tombe sur les jours ; ce qui la rend inverse. Et ce qui rend les mêmes 12 jours de la régle droite du chapitre précédent , qui avoient servi à trouver l'ouvrage 28 de celui-cy.

On pourroit de même faire tomber la question sur les hommes, ainsi.

2d EXEMPLE à resoudre. (Si pour faire 36 parties d'ouvrage, en travaillant 8 journées à 6 heures chacune, il a fallu 25 hommes ; par proportion pour faire 28 parties d'ouvrage en 12 jours à 8 heures par jour, combien faudra-t'il d'hommes ? ] qui est encore une régle inverse, laquelle rend à fon 4° lieu les Is hommes du 3e lieu des rres, sans qu'il soit necessaire de changer dans cet éxemple les jours en heures;parce que les 9 & 8 heures du 11 & 3e lieu sauvent l'étérogénéïté des jours ,comme on l'a dic dans le 11 article du chapitre précédent,

Enfin on pourroit encore faire tomber la queltion sur les heures, ainsi.

3° EXEMPLE à refoudre. [ Si pour faire 36 parties d'ouvrage, 2 5 hommes travaillant pendant 8 jours, one employé chaque jour 9 heures ; par proportion combien'is hommes pour faire 28 parties d'ouvrage en 8. jours doivent-ils employer d'heures par chaque jour ? ] ce qui donne encore une régle inverse, dont le 4 lieu doit contenir les 8 heures du ze lieu de la droite , si l'on ne s'est point trompé; ce que cha.

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combicn

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cun doit éprouver soi-même pour s'exercer , 8c pour acquerir de l'habitude.

4 E x E M PL E.

Ou Régle conjointe inverse. Si 10 Entiers de Paris sont égaux à 15 d’Amst. & fi 25 d’Amsterd. en valent í 2 de Londres : Enfin si 30 de Londres sont équivalens à 9 de Vienne ; par proportion composée combien s & } de Vienne en vaudront-ils de Paris ?

d'Amft. 10deParis siz de V. Reponse. A Si

12 de Lon. 2 sd’Ams. comb. en 24
gdeVien. 3odeLionsvalent-ils Regle

de Paris?

prepo *83-110

Regle abreB Si *2-4-2125

1648 72

gée.
30

10xx8.xx8 241
valent
valent

combien| Regle fimple
*28 11236

24 X28 Il est aisé de voir que dans cet exemple, son 3. Lieu ( s k}) devroit être le 4*, & son 4° le 3°, afin que cette régle fût sous la forme de la régle droite conjointe du 4e éxemple du chapitre précédent. Ces deux lieux étant donc dans un sens renversé, il est évident qu'on doit changer aussi de place entr'eux le 1& le 2d Lieu ( qui le répondent toujours ) comme on le voit en A, afin d'y pouvoir appliquer le raisonnement des régles droites ; sçavoir [Si 10 de Paris valent is d'Amfterdam ; fi 25 d’Amsterdam valent 12 de Londres,

30 de Londres valent 9 de Vienne, 24 de Paris vaudront siz de Vienne. ]

A l'égard du préparatif de cette régle, je mets

I 2
I 25

csię

2

I 2

28

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& li

(si) en 12 gémes ; ce qui me donne 64%; rabaislant donc (15. 12.9.) avec ( 10. 25. 30. & 648) comme en B, il reste seulement ( 1. I. I) au ir Lieu ; ( 1. 25. 10 ) au 24, & in au 3€. Je mets donc 1, ou plûtost ( z ) au 14 lieu de la régle en C; 250 au 2d, & i; au 3', & effaçant les dénominateurs 125 du 1 & 3e Lieu, je réduis leurs numérateurs à 1 & 2 : ce qui donne la régle fimple [ Si i répond à 2 ; à quoi répondront 12:] il vient au 4° terme les 24 de la régle droite désirez.

Théorie.

Ces régles inverses n'ont pas besoin d'une plus ample explication que les inverses simples ; puisqu'on ne fait autre chose dans les unes & les autres, que changer de place les chefs qui empêchent qu'on n'y applique le raisonnement des règles de proportion droites, afin qu'après ce changement ce raisonnement puisse leur convenir ; c'est-à-dire qu'elles deviennent par ce moyen de veritables proportions directes.

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