à VO, fur OR, en T, pour avoir les triangles femblables O VR, TER; & faites les analogies (VL | VE || Oe | OE || er | ET), & ( Le | LE || VO|VE, ou VR), (à caufe de la petiteffe de er, ER) || ET | ER), & multipliant d'ordre ces deux dernieres analogies, on en tire celle-ci,(VLx Le || VE × LE || er × ET | ER × ET), d'où l'on a déduit en réduifant, l'analogie ci-deffus, Ayant. donc trouvé d'abord le point E, & fait cette analo gie enfuite, on verra fi RE fuffit pour répréfenter re; & fi elle ne fuffit pas, on recommencera les deux operations jufques à ce que CD & ER foient lés plus commodes.

2. Les points E & R étant ainsi établis, on nommera les quantités connues (OS, a ; SL, b; LE, c: Le, f; LV, g); & menant la droite OP, parallele à L, fur SL, en P, pour avoir l'angle. OPS égal à l'angle VIS de l'inclinaifon du Tableau, on nommera OP, OS, SP, prifes pour des finus (r, x, y). De plus ayant pris fur Le, depuis L, une longueur Ln à volonté, on menera la perpendiculaire n m fur SL prolongée en m, afin d'avoir l'angle n Lm égal à l'inclinaifon du plan geometral fur l'horizon; & on apellera les finus n L, nm, m L, (r, u, z). Enfin je prolonge VO fur LS auffi prolongée en Q, ce qui me donne les triangles femblables V LQ O P Q ; nm L, OS Q ; & menant la ligne d'aplomb VN parallele à ŎS, fur SL en N, on a encore les triangles femblables VNQ, OSQ, tous ces triangles étant formés de lignes paralleles. A l'égard des droites. AH, BI, il eft évident qu'elles font les répréfentations des côtes indéfinis Ab, Bi du plan geometral; ce que l'on voit aifément en imaginant deux plans vifuels paffer par le paralleles OP

HA, IB, lefquels coupent le plan horizontal ABSQ dans les droites indéfinies PAK, PBM, & le plan geometral dans les indéfinies Ab, Bi; ainfi tous les objets fitués entre AB & Ah, Bi, auront leurs répréfentations dans le rectangle ABIH, comme ils le doivent.

Faites donc prefentement les analogies: comme LE=c eft à EV = gc, ainfi Le=f, à VO = fs + fc; & comme OP eft OS, ou comme r

est à x, ainsi LV=g, à VN; & encore comme VN-OS-a, eft à OS➡a, ou comme gxar eft à ar, ainfi V o = fs - fc à arfs-arfe 02; & enfin, comme nm, eft à nL,

48x-car

་ ་

"

C

cr - car

ou comme и eft à r, ainsi O S = a, à 0Q==; d'où l'on tire une rre équation, (r 1 arfs-arfc), qui donne (cgxcar-ufg-ufs), ou cgx-car wef), en supofant (g—c=e=EV); d'où l'on déduit ( cfx-car).

Faites encore les analogies fuivantes, comme Os à PS, ou comme ≈ à Y, ainfi OS:

(SP), pour avoir LP

x

•bx-ay

= a, à LS — PS = b

x=4; & comme nmu à mL = x,

x

ainfi OS =a à (SQ), pour avoir PQ4

az

x

+ 43 — 44 ) + axx ); & enfin comme LP—bx4x

1:

eft à PQ

à (02

xu

au) +43; ainsi 10 =

ci-deffus,

déduit la 2e égalité (feny + fexz cbxr— cayr), ou plutôt (fexz = cbxr

cbxrcayr-feuy) dans laquelle fubftituant la valeur de (u) tirée de la premiere équation, il vient (fexzcbxr-cayr

pour

—cgxy+cary=cbxr— cqxy). Et chaffer encore de cette derniere les quantités z &y, je la reduis d'abord à (cc), par la divifion; & quarrant chaque membre, il vient

Je fais auffi la 3e équation (u2 = r2 — z2), tirée du triangle rectangle amL; & la comparant avec nm la premiere (u= c8x-car) quarrée, fçavoir

ef

j'en tire une 4o (fe2r2 — L'e1ƒ3 = c2g2x2 + c'a'r' — z c3g xar), d'où je tire

Comparant donc ces deux valeurs de (z2), il vient une se équation (c'b'r2+c2gy — 2c' brgy = ƒ3e2r2 — c2g2x2 c'a'r2 + 2c2gxar). Je prens encore la 6e équation (— x2 = y2), tirée du triangle rectangle OPS, & fubftituane cette valeur d'y2, & celle d'y dans la séquation, elle se change en celle-ci (c2b1r2+€2g2r2—c1g2x2 — 2c2 brg√r2 — x2=ƒaè'r'—c'g'x'—c'à3r2 + 262gxar), qui se change encore en cette autre 'A {√r — x2 — c2b2 + c2g2 — e1ƒa+a2c2× • — 2c2gax); 2.c'bg.

2

2

& fupofant pour abreger (c2b2 +62g2 +‚a2c2 — e2ƒ2.

+2c2gl), on la reduit à(√x2—x2——”—-— ax); & quarrant il vient (b'r' — b2x2= r2l+a2x2 — 2rlax), d'où l'on tire (x2-2

=

+b2

& prenant ( m2 = a2+b2=OL2), à cause de l'an

2arlx ma

gle droit OSL, on en tire encore ( x2 + a24212 a22), de laquelle tirant les

m),

m4

m

racines, on a enfin (x = al ±Va2l2 + b2 m2 - 12 y1z2 × ), qui donne la pente du Tableau fur l'horizon ABS. Donc auffi ( u = c3x = car — cgal — cam2

ef

——√a`l2 + b3m2 — l'm2× eg×3), qui donne l'élevation du plan geometral fur l'horizontal ABS.

Sur les Perspectives.

3. Mais comme les Perspectives qui fervent d'ornement aux maisons, aux jardins, & aux theatres, font ordinairement répréfentées fur des Tableaux à plomb ABGF, il eft évident qu'en ce cas OS=x, eft égale àr=OP; ainfi dans l'équation A, vrx2 étanto, il en refulte cette autre (➡ c2b2 + c2g2 — e2ƒ2 → a2c2 — 2 c2ga=0), dans laquelle on peut prendre pour inconnue quelle quantité on voudra à fouhait, entre lef quelles LV=g paroît la plus commode pour la pratique, les autres AB, LS, OS étant prefque toujours données. Subftituant donc la valeur de ( c2 = g2 + c2 — 2.8c), on la change en celle-ci (c2b2 — e2 f2 + a2c2 = g2f2 — c2g2+2c2ag — 2¢f2g),

tire (g=f2 — ca± √ f2 = c2 xb2 + a—c xf2 x

LV), ce qui donne auffi-tôt la valeur

de (z = 3 = 4 × = nm) ci-dessus.

Ces chofes étant déterminées, il fera aifé d'achever le Tableau, ou la Perfpective par les regles ordinaires de cet Art.

4. Quant aux conditions que quelques Auteurs demandent, outre celles que nous venons de marquer, comme de ne répréfenter que les objets qui font compris dans un cône vifuel ouvert de 45 degrés, ou de 60, &c. & que tous les quarreaux du plan geometral ayent une figure aplatie enallant de la ligne de terre A B vers le point de vûe V, ce font de pures fuperftitions, aufquelles je ne m'étois abftraint, que par complaifance pour intime ami qui le fouhaitoit ainfi, (Memoires de Trevoux, Octobre 1714); étant certain, qu'un. Tableau peut répréfenter tout ce que l'œil peut apercevoir, fans fortir de fon lieu, en fe tournant fur lui-même de tous côtés, & même en tournant la tête en tout fens, pourvû que le refte du corps foit immobile. Car par ce moyen le centre de chaque il ne changeant pas fenfiblement de place, la peinture de tous les objets vifibles, (qui eft afors renfermée dans un cône visuel autant ouvert qu'il le peut être), eft toujours la même au fond de l'oeil, quoiqu'elle y change continuellement de place. D'où il fuit qu'on peutaugmenter la largeur d'un Tableau de côté & d'autre à fouhait, & le regarder du point de ftation S en tournant les yeux & même la tête vers. lui à droite, à gauche, en haut & en bas, fans. qu'il ceffe de répréfenter la nature, qui eft tout ce que l'on cherche en Perspective. D'ailleurs il importe peu quelle proportion tes quarreaux du Tableau ayent entre leurs côtés, puifque c'est un principe général & conftant en Perspective, qu'un Tableau ou une Perfpective, ne doivent jamais être regardés avec quelque attention, que du