en 4, en 5', &c. foit en 10, par exemple. L'angle du Decagone a pour mesure la moitié de 8 arcs égaux fur lefquels il elt appuyé. Si un côté du Decagone eft prolongé, l'angle exterieur qu'il fait avec le côté contigu ou confecutif, eft le complement de l'angle du Decagone à deux droits, donc il a pour mesure la moitié des 2 arcs reftants du Cercle, ou un de ces arcs. L'angle du centre a un de ces arcs pour mefure, donc l'angle exterieur, & l'angle du centre font égaux. Il eft vifible qu'il en ira de même de tout Polygone, foit d'un moindre nombre de côtés, foit d'un plus grand, jufque dans l'infini.

Cette démonftration n'auroit pas lieu dansle Cercle rigoureux, car on n'y fauroit déterminer un angle du centre correfpondant à l'angle exterieur; on le détermine dans le Polygone quelconque par un côté qui eft fa bafe ou fa foutendante; mais dans le Cercle rigoureux il n'y a point de côté, ni par confequent de foutendante qui réponde à cet angle, ni par consequent cet angle.

Si de l'extremité du côté avec lequel le côté prolongé fait l'angle exterieur on tire parallelement au rayon qui paffe par le fommet de cet angle une petite droite qui en fera la bafe, il eft très-aifé de voir qu'on aura deux triangles l'un exterieur, l'autre du centre, qu'ils feront ifofceles l'un & l'autre, & que leur angle du fommet étant égal, ainfi qu'il vient d'être prouvé, ils feront femblables. Delà M. Varignon tiroit une expreffion de la bafe de l'angle exte-

gone.

rieur, ou d'attouchement du Cercle Polygone. Elle est du 2d ordre d'infiniment petit.

Si l'on prend le Cercle rigoureux, c'est une autre Theorie. La Tangente n'eft plus l'un des deux côtés contigus prolongé, c'est une ligne tirée par le point où les deux côtés contigus fe joignoient, & faifoient l'angle obtus. Il faut concevoir ainfi la Tangente du Cercle dans Euclide, & dans toute l'ancienne Geometrie. Elle divife en deux parties égales l'angle exterieur ou d'attouchement du Cercle Polygone, & réduit l'angle d'attouchement du Cercle rigoureux, & fa bafe à n'être que la moitié de ce qu'ils étoient. Cette bafe eft d'une grande importance dans la confideration des Rayons Ofculateurs & des Forces Centrales, & l'on pourroit en ces matieres tom-ber dans quelques méprises, faute de diftinguer affés entre le Cercle Polygone & le rigoureux. On y étoit tombé effectivement en accufant M. Varignon d'avoir fait la formule des Rayons Ofculateurs, & celle desForces Centrales trop grandes de la moitié; il fe juftifioit aifément par la diftinction que nous venons de dire, fans compter d'au-tres raifonnemens que la furabondance de droit lui fournissoit.

Son Aggreffeur avoit commis une faute plus confiderable en voulant lui prouver que le Cercle Polygone pouvoit conduire à l'erreur. Il trouvoit que fi un Corps en décrivoit la circonference, & qu'en même-temps il reçût l'impreffion d'une force Centrale toûjours tendante au Centre, cet

te force venoit par le calcul deux fois plus grande qu'elle ne devoit être felon M. Huygens, fuivi de tous les Geometres. Voici ou fon raifonnement, ou un équivalent.

Il faut confiderer deux forces dans le Corps mu de la maniere fuppofée, l'une de projection uniforme par laquelle il décrit dans un inftant un côté du Cercle Polygone, & décriroit dans l'inftant fuivant égal un prolongement égal de ce côté, l'autre, qui vient de la force centrale, l'empêche de s'échaper par le prolongement du côté, le retient fur la circonference du Cercle, & par confequent lui donne une impreffion dont la mesure eft la bafe de l'angle exterieur, car fans la force centrale il s'ecarteroit du Cercle de toute l'étendue de cette bafe. Toute force centrale eft acceleratrice, donc il faut confiderer la bafe de l'angle exterieur comme décrite par un mouvement acceleré. Donc le mouvement actuel par lequel le Corps au lieu de s'échaper dans un 2d instant par le prolongement du côté parcouru dans le 1er, parcourt dans ce 2d inftant un 2d côté, eft compofé de deux mouvemens l'un uniforme, l'autre acceleré, & le 2d côté parcouru eft la Diagonale du parallelograme formé par les deux lignes des deux mouvemens primitifs. Or felon le fyftême de Galilée une ligne donnée étant parcourue d'un mouvement acceleré, le double de cette li. gne feroit dans le même temps parcouru d'un mouvement uniforme, dont la viteffe conftante feroit égale à la derniere du mouvement acceleré. Donc pour réduire tout dans le cas prefent à des mouvemens uniformes, il

faut

faut doubler la bafe de l'angle exterieur, & en faire l'un des côtés du parallelogramme des mouvemens primitifs. Or cela fait, la force centrale eft double de ce que M. Huygens l'a trouvée. Donc, concluoit-on, le Cercle Polygone conduit à l'erreur.

M. Varignon prouvoit au contraire que l'erreur étoit dans ce raifonnement même, & il faut convenir qu'elle eft affés délica. te. Il est vrai que la force centrale eft acceleratrice, & cependant dans la fuppofition où l'on étoit, il ne faloit pas regarder cette bafe qu'elle fait décrire, comme décrite par un mouvement acceleré.

Quand deux forces produifent un mouvement compofé, ou, ce qui eft le même, font décrire la diagonale d'un parallelo. gramme, cette diagonale n'eft une ligne droite qu'en cas que les deux forces produifent chacune un mouvement uniforme'; fi l'une des deux eft acceleratrice, la diago nale n'eft plus droite, mais courbe, C'eft ainsi qu'un Boulet de Canon tiré horifontalement, & pouflé par deux forces dont l'une eft une projection horifontale unifor. me reçûs de la Poudre, & l'autre le mouvement acceleré de la Pefanteur, qui le tire en embas verticalement, décrit une diagonale courbe, qui eft une Parabole. On fuppofoit le Cercle Polygone, & par confequent le Corps qui circuloit en devoit dans un infant décrire un côté ou petite ligne droite qui étoit la diagonale réfultante de deux forces. Aucune de ces deux forces n'étoit donc acceleratrice. 11 eft vrai que la force centrale l'eft neceffairement,

&

*

& par fa nature, & qu'elle l'eft même dans un inftant infiniment petit tel qu'on le fuppofoit, mais nous avons prouvé en 1701 que l'augmentation de viteffe qu'elle y caufe eft infiniment petite par rapport à la viteffe de cet inftant, & par confequent la force centrale y pouvoit être regardée comme uniforme, & devoit l'être à caufe du Cercle Polygone. Pour ne l'avoir pas fait, & pour lui avoir fait décrire en la changeant en uniforme une ligne double de la vraye, la trouvoit deux fois trop grande.

on

Si on eût pris le Cercle rigoureux, la diagonale refultante du mouvement compofé étoit un petit arc, & par confequent courbe. Alors la ligne qui appartenoit à la force centrale, & qui eft la bafe de l'angle d'attouchement, étoit décrite d'un mouvement acceleré, mais nous avons vû qu'elle n'eft que la moitié de la bafe de l'angle d'attouchement du Cercle rigoureux. Ainfi pour changer la force centrale acceleratrice en uniforme on auroit eu le double de cette ligne, ou la bafe de l'angle d'attouchement du Cercle Polygone, & il feroit venu la même conclufion que M. Huygens a tirée pour le Cercle rigoureux, car il ne le confideroit que fous cette idée, & il n'a fait qu'entrevoir la nouvelle Geometrie.

Voilà les principales inftructions que nous avons pu tirer du procès qu'on avoit fait à M. Varignon. Les Geometres une fois avertis de ces précautions avec lesquelles il faut marcher, dans la Methode des infini

*p. 101. & fuiv.

mens