de toutes la plus fimple qui eft celle où le Cube de l'inconnue eft égal à un certain nombre de fois fa racine plus l'homogene de comparaison, il n'y en a que où felon les methodes de l'Algebre le nombre 10 vienne fous des expreffions entierement rationelles, qui font celles que nous venons .de donner. Il y en a 70 où il vient fous des expreffions irrationelles, qui engagent à des extractions de racines quarrées & cubiques, après lefquelles on trouve enfin

plus un certain nombre irrationel, &.5 moins ce même nombre irrationel, ce qui fait 10 Mais il refte 24 Equations chargées d'imaginaires, & qui tombent dans l'irreductible. Pour ces 99 Equations du 3eme degré, dont la refolution doit arriver à un but très-poffible & très-vrai, les methodes prennent donc un fi mauvais tour qu'elles n'arrivent au but dans 70 qu'indirectement & avec beaucoup de peine & que dans 24 elles rendent ce but impoffible à attraper. ce qui eft abfolument contraire à l'intention de toute methode, & manifeftement abfurde. Et que n'eft-ce pas pour les degrés plus élevés quand on a le courage de les entreprendre? Enfin les travaux de tous les plus grands Algebriftes n'ont encore pu produire de methode ou de formule abfolument generale que pour le 2d degré.

Tout cela peut affés legitimement faire croire que l'on n'étoit pas fur les bonnes voyes, il est difficile en ces matieres que le vrai foit fi horriblement embarassé. ́ On en fera pleinement convaincu, quand on

verra une Methode de M. de Lagni nouvelle, fimple, generale pour toutes les Equations déterminées de tous les dégrés, qui procede toûjours de la même maniere, feulement avec un leger changement que demande, & qu'indique le changement de dégré, & qui n'employe que les plus fimples de toutes les operations arithmetiques, l'Addition & la Souftra&tion.

Il faut fuppofer que l'Equation quelconque donnée à réfoudre a été préparée à l'ordinaire, c'eft-à-dire qu'elle eft fans fractions, & fans fignes radicaux, & que l'inconnue élevée à fa plus haute puiffance eft fans coefficient. Il faut deplus, pour la methode de M. de Lagni, que le terme tout connu, qu'il appelle après Viete l'homogene de comparaison, foit lui feul le 24 membre de l'Equation, deforte que l'Inconnuë fera dans tous les termes du 1er membre. Enfin il faut que l'homogene de comparaifon foit pofitif, & s'il ne l'étoit pas felon la forme de l'Equation donnée, il feroit bien aifé de faire qu'il le devînt, il n'y auroit qu'à changer les fignes de tous les termes, ce qui ne changeroit rien du tout aux valeurs de l'Equation. Il n'eft befoin de nulle autre préparation plus penible, point de transformation, point d'évanouïffement du 2d terme.

J'ajoûte à ces fuppofitions, pour commencer par quelque chofe de plus facile, que toutes les racines de l'Equation, qui font toûjours en nombre égal à celui du degré, foient réelles, rationelles, & pofitives.

Que

Que je me propose une Equation d'un degré quelconque ainfi conditionnée, par exemple, du 10eme degré, elle aura donc 10 racines dans la Suite des nombres naturels, c'est-à-dire qu'il y aura 10 nombres de la Suite naturelle tels que chacun d'eux & fes puiffances étant fubftitués dans l'Equation à la place de l'Inconnue & de fes puiffances, l'Equation fera réfoluë. L'homogene de comparaifon fe trouvera toûjours répondre aux fubftitutions qu'on aura faite de ces 10 nombres, & il ne répondra point aux fubftitutions qu'on feroit de tous les autres nombres poffibles de la fuite naturelle.

Si je fubftituois donc fucceffivement à la place de l'Inconnue tous les nombres narurels jufqu'à ce que j'en euffe 10 aufquels répondît l'homogene de comparaison, j'au rois mon Equation parfaitement refolue, & il eft clair que cette maniere d'operer s'étendroit aux Equations d'un degré quelconque. Mais il eft clair auffi que ce feroit un long travail, & d'autant plus long nor feulement que le degré feroit plus élevé, mais encore que dans des degrés peu élevés les coefficiens de l'Inconnue & de fes puiffances feroient plus grands, & les deux differens fignes plus mêlés. Mais ce qui eft encore pis, ce feroit un tâtonnement perpetuel, indigne de la Science Mathemati que. Cependant cette maniere, qui ne merite pas le nom de Methode, feroit fort naturelle, & c'eft en lui confervant ce qu'elle a de naturel, & en la rendant fcientifi que & fort courte que M. de Lagni en

a

a fait le fond de fa nouvelle Theorie.

Une Equation quelconque étant donnée, il laiffe à part l'homogene de comparaifon, comme s'il n'étoit pas à confiderer, & il fubftitue à l'Inconnue les nombres naturels l'un après l'autre, ce qui lui donne autant d'homogenes de comparaifon qu'il fait de fubftitutions, & lui en donneroit par confequent à l'infini. Or il a découvert & il démontre que la Serie de ces homogenes eft une progreffion arithmetique du même degré dont étoit l'Equation.

I! attache une nouvelle idée au mot de Progreffion arithmetique. On n'entend parlà qu'une Progreffion dont la difference eft conftante, mais il entend toute Progreffion dont la difference foit 1ere, foit 2de, foit 3eme &c. eft conftante. Dans la Suite naturelle la difference 1ere, I eft conftante, mais dans la fuite des Quarrés naturels 1, 4, 9, &c, les differences 1eres font 3, 5 &c, & la difference 2de 2 eft conftante. De même dans la fuite des Cubes naturels 1, 8, 27, 64 &c, les differences reres font 7, 19, 37 &c, les 2des 12, 18, & la 3eme eft 6, difference conftante. Dans les Quaré quarrés naturels il faut aller jufqu'à la difference 4eme pour trouver 24 difference conftante, & en general à mefure que l'on éleve les nombres naturels à une puiffance plus haute d'un degré la difference conftante fe recule auffi d'un degré. Par exem ple, pour leur 10eme puiflance ce n'est que la difference 10eme qui eft conftante.

Il est à propos de remarquer qu'on trouve tout d'un coup ces differences conftan

tes.

tes.

Celle des nombres naturels élevés à la 2de puiffance eft le produit des deux 1ers nombres, 1, 2, c'eft-à-dire 2; celle des mêmes nombres élevés à la 3eme puiffance, eft le produit des trois 1ers nombres, 1, 2, 3 ou 6; celle des nombres élevés à la 4eme puiffance eft le produit des quatre jers nombres 1, 2, 3, 4, ou 24 &c. Cel. le des nombres naturels élevés à la 10eme puiffance fera le produit continuel des dix iers de ces nombres, ou 3628800.

Cette proprieté d'avoir une derniere difference conftante, plus ou moins reculée, on ne la connoiffoit que dans les Series des puiffances des nombres naturels, & M. de Lagni l'a trouvée auffi dans les Series des homogenes de comparaifon qui lui venoient par les fubftitutions de nombres naturels à la place de l'Inconnuë. Ainfi il appelle Progreffion arithmetique du rer, du 2, du 3eme degré &c, toute Suite de nombres dont la difference conftante eft ou la 1ere ou la 2de ou la 3eme &c, difference. Les Series des Puiffances des nombres naturels font comprifes parmi ces Progref fions. La Suite des Quarrés naturels eft une Progreffion arithmetique du 2d degré, celle des Cubes du zeme &c.

Toute Suite de nombres n'est pas une Progreffion arithmetique de quelque degré. Une Progreffion geometrique n'a aucune difference conftante, quelque loin qu'on pouffe les differences, car les differences d'une Progreffion geometrique font en progreffion femblable à celle des termes, & les differences de ces differences ou diffe.

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