fent par les extremités M, N, Z, n, m, des cordes PM, PN, PL, Pn, Pm. Il est évident, par la proprieté du cercle, que toutes ces lignes formeront par leur concours autant de triangles rectangles CMP, CNP, Cnb, &c. qui auront le fommet de leur angle droit à la circonference CMZz. D'où il fuit, en fuppofant tout ce qui vient d'être demontré dans les articles précedents, & la même conftruction.

1°. Que le triangle CPZ, dont la base CZ eft parallele au plan reflechiffant AL, eft rectangle en Z, & que fes trois côtés font perpendiculaires aux trois directions, felon lefquelles le point C eft cenfé tiré par les puiffances y, x, z, dans l'inftant de la rencontre du plan; favoir PC perpendiculaire à Dr, par conftruction, & PZ, CZ, perpendiculaires à CZ, CX, à caufe de CZ parallele à AL, & de l'angle droit en Z. Et partant, les trois côtés de CPZ font proportionnels aux trois puiffances, qui tirent ou qui pouffent le point C dans les lignes CT, CX, CZ, de même que les côtés du triangle CTX, qui lui eft femblable.

2o. Que dans les inftants après la rencontre du plan & pendant toute la compreffion du reffort les cordes PM, PN, &c perpendiculaires aux directions CE, CF, correfpondantes à chacun de ces inftants, coupent le côté CZ, du triangle CPZ, en des points G, H, qui déterminent les nouveaux triangles PCZ, en des points G, H, quidéterminent les nouveaux triangles PGZ, PHZ, dont les côtés reprefentent les valeurs des trois puiffances z, y, x, & leurs rapports actuels dans ces inf

tants

tants, jufqu'au moment de la reftitution, où x devenanto, le triangle s'évanouit & fe change en la ligne ou côté PZ; parce que la puiffance conftante z, proportionnelle à ce côté invariable eft la feule qui agit dans cet inf,

tant.

30. Que dans les inftants femblables de la reftitution du reffort, les valeurs & les rapports de x, y, doivent être pris au de-là de PZ, vers c, à caufe que x agit en fens con traire à la compreffion, & que fes valeurs deviennent negatives. Ainfi les cordes Pn, Pm, &c. & la tangente en P, étant prolon gées, iront couper CZc prolongée, en b, g, P; elles avanceront toûjours vers c, & elles détermineront fur le prolongement Zc, les bafes Zh, Zp, Zg, des triangles PbZ, PpZ, PgZ, dont les côtés feront proportionnels aux puiflances y, x, z, pendant les inftants correfpondants de la reftitution du reffort, jufqu'à ce qu'enfin la valeur de x étant res devenue auffi grande qu'à l'inftant du choc, & l'angle y CZ égal à TCZ, la corde z P prolongée aille aboutir en c, & déterininer la bafe Zc ZC, du triangle PcZ égal & femblable à PCZ.

Ce qui est évident par la perpendicularité continuelle des côtés variables de ces trian gles avec les directions changeantes des puiffances aufquelles ils font proportionnels.

Il faut encore remarquer dans cette Figu re, 4°. Que le triangle PCZ, ou PcZ, & tous les décroiffants PGZ, PHC, &c. qui ont le fommet de leur angle droit au point Z, & leur perpendiculaire conftante Pr, reprefentent par leurs trois côtés les valeurs &

J

le rapport des trois puiffances x, y, z, telles qu'elles font à chaque inftant du reffort, en prenant toûjours z pour conftante; parce que la perpendiculaire PZ eft proportionnelle à cette puiffance.

5°. Que les triangles où le fommet de l'angle droit parcourt le lieu geometrique CMZz, donnent, par la variation des côtés qui comprennent cet angle, le rapport changeant des deux puiffances x, 2, entre elles feulement, en prenant y pour conftante pendant la compreffion du reffort, & pour changeante entre de certaines limites pendant la reftitution. Savoir, les triangles PZC, PNC, PMC,&c. où l'angle droit parcourt avec fon fommet, Z, N, M, &c. l'arc ZMC, en allant de Z vers M, & dont le diametre PC fait toûjours l'hypothenufe, donnent par leurs côtés appuyés fur elles tous les changemens de rapport de x à z, pendant la compreffion du reffort. Et les triangles Cah, CPp, Cmg, &c. où le fommet de l'angle droit parcourt l'arc ZPz de Z vers m, & dont l'hypothenufe Cb, Cp, Cg, &c, varie entre les limites CZ & C c = 2 CZ, donnent de même par les deux côtés qui comprennent l'angle droit tous les rapports de x à z, pendant la reftitution du reffort. Le côté CN, CM, &c. qui paffe par zero quand PM vient à fe confondre avec PC & à changer de pofition Cn, Cm, &c. eft celui qui reprefente x.

60. Que dans la variation qui fe fait pendant la reftitution du reffort, felon l'hypothefe du no. précedent, on trouve un triangle CpP femblable à CPZ; & c'eft dans l'inf

tant

tant où la direction de la Sphere CP, eft perpendiculaire à la direction Dr de l'inftant du choc, & où le rapport de x à z eft renverfé, eu égard à cet inftant; puisque pP (x) eft à PC (z), comme PZ (2) dans le cas de z conftante fupra no. 4. étoit à CZ (2) au moment de la rencontre du plan. Après l'inftant de la direction CP, le concours des côtés proportionnels aux deux puiffances x, z, fe fait au de-là de P, vers m, jusqu'à l'extremité z de l'arc Zz, où l'on retrouve un autre triangle Cez, femblable au précedent & à CPZ, & où le rapport de x à z eft renversé de nouveau, & rétabli dans fon premier état, c'est-à-dire, comme il étoit, dans l'inftant du choc, excepté feulement que agit en fens contraire. Ce qui eft encore reprefenté dans la Figure par les pofitions differentes des trois triangles CZP, CpP, Czc.

On n'y doit pas trouver de même le rapport changeant de y à z, foit pendant la compreffion, foit pendant la reftitution du reffort, par l'hypothenufe des triangles, & le côté proportionnel à z, en prenant x pour conftante. Car y ayant un moment où y & z deviennent infiries par rapport à x, favoir l'inftant qui finit la compreffion, & qui commence la reftitution du reffort, on ne fauroit affigner de côté fini conftant, & pro portionnel à x, fans que les deux autres câtés du triangle ne devinffent infinis dans cet inftant.

COROLLAIRES.

IX. Corol. 1. Il fuit des articles précedents, que fi le reffort ne redonne pas à la Sphere la même quantité de mouvement après le choc, elle fe reflecbira par un angle plus petit que Pangle d'Incidence; & au contraire, que file mouvement eft plus grand, l'angle de Refle xion fera plus grand que l'angle d'Incidence.

Car le reffort ne peut communiquer de mouvement au corps fpherique E (Fig. 4.) que felon une ligne XC, perpendiculaire au plan; par confequent it n'y a que la puiffance , comme il a été déja remarqué (art.VII.) qui puifle en recevoir de la diminution, ou de l'augmentation. Donc le parallelogramme CTVZ fe changera dans le premier cas, en CQNZ, par exemple, & dans le fecond en CTUZ, dont les diagonales CN, Cv, doi vent faire avec CZ, l'une un angle plus petit, l'autre un angle plus grand que ZCV EDCI. M

X. Corol. 2. Dans l'un & dans l'autre cas, le finus du complement de l'angle de Reflexion (par rapport au quart de cercle TR) eft an finus du complement de l'angle d'Incidence, in raifon renversée des forces totales de la Sphere, c'eft-à-dire comme la quantité de mouvement ou la vitesse avant le choc, à la quantité de mouvement après le choc.

Car ayant mené des points u, n, où les diagonales CV, CN, coupent le cercle 7RX, les finus us ni, fur le diametre TX, ou trouvera par l'analogie des triangles fembla

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