connues où je donne Pextraction des racines des puiffances numériques, & des puiffances littérales, la réfolution du cas irréductible, & celle de ces équations xax+b, & xax-b 104 Art. 4. Sect. 6. de la réfolution des Equations entre grandeurs incommenfurables, après quoi je fais voir que les grandeurs qu'on appelle imaginaires,ne font point imaginaires, & que 4 par exemple a les mèmes racines que +4. 118 Art. 4. Sect. 7. des Equations qui ont autant de racines que de dimenfions. Art. 4. Sect. 8. des racines incommenfurables. 126 134 Art. 4. Sect. 9. contenant divers Problèmes, dont quelquesuns font de nombres fourds. tions. 149 Art. 5. Des fuites ou feries, ou approximations. 160 Ce qui fuit regarde principalement la réduction des Equaibid.' Art. 6. Sect. 1. Examen de la Table générale des Grades des Racines Géométriques, qui fert de Lemmes. 163 Art. 6. Sect. 2. Des Equations fourdes du deuxième degré où je donne leur propriété caractéristique, qui eft que la raifon de leurs racines cft toûjours périodique. 165 Article fixième, Section troisième. Où je donne la méthode de réduire au deuxième degré toutes les Equations qui y peuvent être réduites de quelque degré qu'elles foient. 193 ·Extraits de quelques Lettres de M. Leibnits. 201 Je cite quelquefois les Analyftes dans cet Ouvrage. Je les ai parcourus, non pour les étudier à fond, mais pour chèrcher des Equations, & les réfoudre par ma Méthode. Je ne fçais de l'Analyfe que ce qu'il y a de plus commun dans la Logistique. Je commençai cette étude dans ma jeuneffe, & même celle des Sections coniques. Je fis des Eléments à ma manière: mais enfuite ayant abandonné les Mathématiques pendant plus de trentecinq ans, s, j'y fuis revenu trop tard pour y faire tous les progrès que je m'étois promis, & dont je réservai l'étu de pour l'amusement de ma vieilleffe, ne fçachant pas que dans la vieilleffe cet amusement devient un travail fort férieux. DE LA I. DE LA RÉSOLUTION αυ DE L'EXTRACTION DE LEURS RACINES. AVANT QUE D'ENTRER EN MATIERE. DE L'ESSENCE DE LA RAISON UAND je confidere le rapport, ou la rai cune citation l'égalité*, & fi je les trouve égales, je con- * Les aẞteri-: nois parfaitement l'une par l'autre, & n'ai ques fans auplus rien à y confiderer, mais fi je les trouve inégales; à la marge, se j'y découvre leur différence, & cette différence devient rapportent à A. mes élémens. l'objet d'une nouvelle comparaifon. Car je puis comparer cette difference avec chacune des deux grandeurs premierement prifes: mais en comparant cette différence avec la plus grande grandeur, je trouve que l'excès de la plus grande grandeur fur cette différence, eft la moindre des deux premieres grandeurs que je connois déja, & cette comparaifon m'eft inutile, puifqu'elle ne peut offrir à mon efprit rien de nouveau. Au contraire, si je compare cette différence avec la moindre des deux pre. mieres grandeurs, je dois les trouver égales ou inégales. Si je les trouve égales, mon efprit fe repofe: mais fi elles font inégales, leur différence eft l'objet d'une troifiéme comparaifon : & ainfi de fuite. Ces comparaifons, comme on voit, font de véritables fouftractions, dont ces differences font les reftes. 2. Et l'on voit auffi, qu'après chaque fouftraction, c'est le retranché & le reste de cette fouftraction, que l'on doit comparer ensemble dans la fuivante, c'est-à-dire, que le retranché & le reste de chaque fouftraction, deviennent, l'un le tout, & l'autre le retranché de la fouftraction d'après. 3. On voit encore qu'on fouftrait toujours une moindre grandeur, d'une plus grande, quand elles font inégales. Et que quand elles font égales le détail de la raifon 4. 6. finit. DEFINITIONS. 5.1. Araifon que les Géométres appellent raison arithmé'tique, eft la différence qui eft entre deux grandeurs. 2. Et la raifon, qu'ils appellent raifon géométrique, ou fimplement raifon, confifte dans le détail, ou dans la fuite des fouftractions que je viens de marquer qu'on peut faire entre elles. Puis donc que fouftraire une grandeur d'une autre, qui foit de même nature, nous eft une chofe très-diftincement connue, il s'enfuit que la raifon géométrique, qui ne confifte que dans un détail ou fuite de foultrations, nous est très-diftinctement connuë. 7. Exemple d'une raison en nombres. Par exmple la raison géo métrique, ou fimplement la raifon de ces deux nombres, 9 & 7, confifte en ce qu'ôtant 7 de 9, il refte 2. & qu'ôtant 2 de 7, il refte 5, & qu'ôtant encore 2 de 5, il refte 3, & qu'ôtant encore 2 de 3 ( car il *3. faut toujours ôter le moindre du plus grand) il reste 1, & qu'ôtant i de 2, il refte encorer: & enfin que de 1 ôtant 1, le refte eft zero, qui ne fournit de nouvelle foustraction. pas à faire. I I On peut de même comparer ensemble deux gran deurs quelconques de même efpéce, & qui par conféquent puiffent être fouftraites l'une de l'autre, comme par exemple deux lignes. AVERTISSEMENT. 8. PUISQU'ON peut faire par lettres toutes les Souftra- . ctions, on peut faire auffi par lettres le détail de toutes raisons géométriques, comme par exemple le dé tail de la raifon de 9 à 7. : ୨ Ainfi en mettant a pour 9, & b pour 7, & 'b 7 refte fera a- b. Et de b b fouftrayant ab, 7 b 2 a + 2 b1, & de a +2:b fou ftrayant encore a le refte fera-2a+3b, -3 a +4 b. Et ainfi de fuite .comme il eft marqué ci à côté. - a b 2.a + 3 b ·22a+3b 3 +72-9b AXIOM E. 9. DE la définition de la raison il s'enfuit, que la raifon entre deux grandeurs ne peut aller de deux manieres différentes. Car puifque le détail de cette raison est une fuite de fouftractions, il ne peut recevoir des différences, que quelqu'une de fes fouftractions ne se faffe de deux ma*nieres différentes, ce qui eft impoffible. * AVERTISSEMENT. POUR marquer une raifon je mettrai deux points entre ses termes: ainfi 9: 7 voudra dire la raison de 9 à 7. Et par lettres a : b, par exemple, voudra dire la raison d'a à b. a: |