le dernier refte du grade précédent, c'est-à-dire du deu- COROLLAIRE. 21. LE dernier refte d'un grade devenant * le retranché du * 17 grade fuivant, eft plus grand que le dernier reste du grade fuivant, puifque le dernier refte d'un grade est moindre que le retranché de ce grade. CONSEQUENCE. 22. DE-là s'enfuit que les derniers reftes des grades d'une raison, vont toujours décroiffant tant que le détail de cette raifon dure. 23. DA AXIOM E.. ANs les raisons de nombre à nombre, les derniers reftes des grades ne pouvant décroître au deffous de l'unité, c'est une conféquence néceffaire, que les grades & les fouftractions ceffent dans toute raifon de nombre à nombre. AXIOM E. 24. DANS une raison a :b, dont le détail finisse, les multiples de fes termes a, & b, qui feront fouftraits l'un de l'autre dans fon dernier refte, feront égaux entre eux. Car foit fon dernier refte xa-yb, où x, & y font les nombres multiplicateurs d'a, & de b. Puifque x a-yb est le dernier reste de la raison a : b; donc xa-y b=0; donc en transposant y b fous figne contraire xa-o+yb, donc xa=yb. C Formation des grades d'une raison par lettres. eft 25. DAN s le premier grade d'une raison quelconque a : b, le premier refte eft ab, le deuxiême est a 2 b, le troifiême a - 3 b, & ainfi de fuite, où le plus grand - terme a, garde toujours fon figne, qui eft le figne+, & fon préfix qui eft l'unité. Et le moindre terme b y toujours affecté du signe – & a pour préfix tous les nombres de fuite à commencer par l'unité, & à la concurrence du nombre des fouftractions de ce grade, le rang defquelles eft toujours marqué par le préfix du moindre terme b. 26. Tous les préfix de b peuvent être marquez en général par la lettre p, & ainfi tous les reftes du premier grade feront chacun a-pb, ou felon fes différentes valeurs, la lettre p marquera le rang de chaque fouftraction, & dans le dernier refte elle marquera la derniere fouftraction de ce grade. Et ce premier refte + apb suivant la regle de la foustraction par lettres eft formé par le retranché b, lequel après avoir été multiplié par P, & avoir pris un figne contraire, a été joint au tout a. Et cette premiere fouftraction est le commencement de la table générale des grades des raisons géométriques, &a- pb eft l'expreffion générale des reftes de ce premier grade. 27. Dans le deuxiême grade le retranché b du grade * précédent doit être le tout, &+a-pb, dernier refte du grade précédent, doit être le retranché, lefquels font déja dans la table. Et pour retrancher a―pb de b, d'autant que dans chaque grade, le retranché peut l'ê tre une ou plufieurs fois, il faut multiplier le retranché +a-pb par f, qui marquera le multiplicateur du fe. cond grade, & après en avoir changé les fignes, il faut l'ajouter au tout b, ce qui fait fa+fpb+b, qu'il faut mettre dans la table pour l'expreffion générale des reftes du deuxiême grade des raifons géométriques. 28. Dans le troifiême grade, le retranché du deuxiême doit être le tout, & le dernier refte du deuxième doit * 2. 29. ༢༠. 31. être le retranché, c'est-à-dire que les deux dernieres quantitez, miles déja dans la table, doivent être, l'une. le tout, & l'autre le retranché du premier refte du troiGiême grade, & pour retrancher-fa+fpb+b, de a-pb, il faut multiplier par la lettre t, qui fera le multiplicateur du troifiême grade, le dernier refte—fa+spb+b, & après en avoir changé les fignes, l'ajouter à a―pb, ce qui fait tfa-tfpb-tb+a-pb, & pour plus de netteté rangeant les multiples d'a de fuite, & les multiples de b de fuite, on mettra dans la table +tfa+a tfpb-tb-pb, ce qui fera l'expreffion générale des reftes du troifiême grade des raifons géométriques. Ainfi pour avoir le premier refte du quatriême grade, on multipliera le dernier refte de la table, qui eft+tfa a-tspb-tb-b par une nouvelle lettre q, pour marquer que c'eft le multiplicateur du quatriême grade, & après en avoir changé les fignes, on l'ajoutera au pénultiême refte de la table, qui eft celui du fecond grade, fçavoir-fa+fpb+b, & féparant comme deffus les multiples d'a, de ceux de b, ce fera-qtfa-qa-fa +qtfpb+qtb+pb+fpb+b, que l'on ajoutera à la table pour l'expreffion générale des reftes du quatrième grade. Ainfi on multipliera l'expreffion générale des restes du quatriême grade par c, qui fera le multiplicateur du cinquiême, & après en avoir changé les fignes, on l'ajoutera au refte du troifiême grade,& il en reviendra l'expreffion générale des reftes du cinquiême grade, que l'on ajoutera à la table. Et l'on aura ainfi de fuite les reftes de tous les grades, ou leurs expreffions générales, obfervant de mettre tou. jours une nouvelle lettre pour multiplicateur,, AVERTISSEMENT. 32. DANS cette table les lettres a & b, qui marquent les termes de toute raifon géométrique en général, changeant de figne à chaque grade, & confervant toujours un même figne dans tous les reftes d'un même grade, le terme a fera affecté du figne + dans tous les reftes des grades en rang impair, premier, troifiême, cinquiême, &c. & il sera affecté du signe dans tous les reftes des grades en rang pair, deuxiême, quatriême, fixiême, &c. Et au contraire le terme b fera affecté du figne - dans tous les reftes des grades en rang impair, & du figne + dans tous les restes des grades en rang pair. Et ainfi le même terme n'eft jamais affecté de même figne dans deux grades confécutifs. AVERTISSEMENT. 33. COMME la divifion * vaut une, ou plufieurs fouftra ctions d'une même grandeur, dont la multitude eft marquée par le quotient, fi bien que fi la division n'est qu'une fouftraction le quotient en eft l'unité, fi la divifion vaut deux fouftractions, le quotient en eft deux, fi elle vaut trois fouftractionz, le quotient en eft trois & ainfi de fuite; delà s'enfuit qu'on peut faire le détail d'une raison par la divifion comme par la foustraction, ainfi au premier grade on peut divifer le premier terme de la raison par le fecond, & le quotient de la division marquera la multitude des fouftractions de ce grade, & fi la divifion de ce premier grade eft imparfaite, & qu'elle laiffe un reste moindre que le divifeur, qui eft le retranché de ce grade, il y aura un deuxiême grade, où le deuxiême terme fera le tout d'une nouvelle divifion, le refte du premier grade en fera le divifeur, & le quotient marquera la multitude des fouftractions de ce fecond gráde. Et fi la divifion de ce deuxiême grade eft encore imparfaite, & qu'elle laiffe un refte moindre que le divifeur, qui eft le retranché de ce deuxiême grade, il y aura un troifiême grade, qui fe formera par une troifiême divifion, dont le tout fera le retranché, ou le diviseur du grade précédent, & le refte du grade précédent en fera le divifeur, & le quotient marquera la multitude des foustractions de ce troifiême grade, & ainfi de fuite jufqu'à ce que l'on vienne à un grade dans lequel la divifion soit exacte & ne laifle rien de reste. Biij Ainfi dans la raison de 9 à 7, la divifion du premier grade a l'unité pour quotient; parceque divifant 9 par 7, 7 n'eft qu'une fois en 9, & il reste 2. Dans le deuxième grade, le nombre 2, qui eft le reste du grade précédent, divifant 7, qui eft le divifeur du même grade précédent, le quotient de la divifion de çe deuxiême grade eft 3, qui marque que ce grade eft de trois fouftractions, ou que 2 peut être fousttait trois fois de 7, & il reste 1. Dans le troifiême grade, l'unité, qui eft le reste du grade précédent, devant être fouftraite de 2, qui eft le retranché, ou le diviseur du grade précédent, on peut diviser 2 par 1, & le quotient fera 2, qui mar 1er. Grade. 2o. Grade. 3. Grade. 9 9(1. & il refte 2 7 7 7 7(3. &ilrefte 1 2 S 2 3 2 I 2 22(2.& il ne reste rien. I I quera que ce troifiême grade eft de deux fouftractions, ou que i pouvoit être fouftrait deux fois de 2, & parceque cette derniere division se trouve exacte, & ne laisse rien, la raison ceffe, & les quotients de fes trois grades font 1 3 2, qui font voir nettement l'effence de cette raifon. Que fi l'on fuppofoit que la raison ne finît pas, il s'enfuivroit qu'elle auroit un nombre infini de grades, & par conféquent un nombre infini de quotients Les Analyftes les ont nommez tous ensemble par une feule lettre fans les connoître. J'AI AVERTISSEMENT. 'Ar déja dit * qu'on a nommé la raifon multiple ou d'un grade, par fon quotient: ainfi la raison double eft la raifon multiple, dont 2 eft le quotient, la triple est celle, dont 3 eft le quotient, & ainfi de fuite. L'on |