a auffi donné des noms aux raifons de deux grades, on tients 1 3 2. PROPOSITION. THEOREME. 34. DANS chaque refte du détail d'une raifon par lettres, le préfix du fecond terme de la raison comparé au préfix du premier terme, eft capable des fouftractions, qui ont été faites dans le détail de cette raison, jusqu'à la fouftraction, dont eft ce refte. Dans le premier grade chaque reste est a-pb où p* multiplicateur du premier grade, marque, felon ce *24. qu'il a d'unitez, le nombre des foustractions qui ont été faites dans ce premier grade jufqu'à chaque refte. Et ainfi dans chaque refte en comparant le préfix de b au préfix d'a, à mesure qu'on compare a à b, l'unité, qui eft le préfix d'a, pourra être fouftraite autant de fois de p, préfix de b, que b aura été soustrait d'a. Dans le deuxiême grade, dont les reftes font marquez-fa+fpb+b, le nombre f multiplicateur de ce deuxiême grade * marque de même, felon ce qu'il a *29. d'unitez, combien il a été fait de fouftractions pour parvenir à chaque refte de ce deuxiême grade. Que si vous divifez le préfix fp+i du deuxiême terme b, par I préfix du premier terme a, le quotient fera p, & il refte ra 1, c'est-à-dire que f pourra être fouftrait de fp+1 autant de fois que pa d'unitez, & par conféquent au̟tant de fois qu'il y a eu des foustractions dans le premier grade de cette raison, & enfin divifant f, premier préfix par l'unité, qui refte du second préfix, le quotient fera I qui marquera que l'unité aura été fouftraite d'f'autant de fois qu'il aura été fait des fouftractions dans ce deu xiême grade. Donc les préfix de ce deuxiême grade f, & fp+1 font capables premierement des fouftractions p, & puis des fouftractions s, c'est-à-dire d'autant de soustractions qu'il y en a eu au premier & au deuxiême grades jufqu'à là fouftraction, dont le nombre f aura marqué le rang par fes unitez. Dans le troifiême grade, dont les reftes font marquez +tfa+ia- -tfpb-tb-pb. Le nombre t multipli*27. cateur du troifiême grade marque de même, * felon ce qu'il a d'unitez, combien il a été fait de fouftractions pour parvenir à chaque refte de ce troifiême grade. Que fi vous divifez le préfix tfp+t+p du deuxiême terme b, par le préfix +tf+1 du premier terme a, le quotient fera P, & il reftera t, & divifant le premier préfix tf+1 par t, le quotient sera f, & il restera 1, & divifant t par 1, le quotient fera t, & ainfi les trois quotients feront p. ft. Donc dans ce troifiême grade, les préfix +tf+1, & +tfp+t+p font capables, 10. des fouftractions p, 2°. des fouftractions f, & enfin des fouftractions t, c'est-à-dire d'autant de foustractions qu'il y en a eu au premier, au deuxième, & au troifiême grades, jufqu'à la soustraction, dont le nombre t aura par fes unitez, marqué le rang dans le troifiême grade. Dans le quatrieme grade, dont les reftes font marquez-qtfa-qa-fa+qtfpb+qtb+qpb+ fpb 28. b, le nombre q marque de même,* felon ce qu'il a d'unitez, combien il a été fait de fouftractions pour parvenir à chaque refte de ce quatriême grade. Que fi vous divisez le préfix du deuxième terme b, qui eft+qtfp+qc +qp+p+1, par le préfix du premier terme a, qui eft +qtf+q+f, le quotient fera P & il restera qt+1; & divifant le premier préfix+qtf+q+fpar+qt+1, le quotient fera f, & il reftera+q; & divifant qt+1 par q, le quotient fera t, & il reftera i; & enfin divifant q par 1, le quotient fera q. Donc les quotients feront 1. t. q. Donc dans ce quatriême grade, les préfix qtf+q+1, &qt fp+qt + qp+fp+1, font capables 10. des fouftraЄtions P. 20, des fouftractions f, 3°. des soustractions t, & enfin des foustractions q, c'est-à-dire d'autant de fouftra P. Яtions tions qu'il y en a eu aux premier, deuxiême, troifiême, & quatriême grades jufqu'à la fouftraction, dont le nom bre q aura marqué le rang dans le quatriême grade par fes unitez. Et ainfi de fuite chaque grade étant formé par un nouveau multiplicateur, chaque multiplicateur reviendra en fon rang pour quotient dans les divifions, dont les préfix feront capables. c. q. f. d. COROLLAIRES. 35. DE cette propofition il s'en fuit qu'à mefure que le dé tail d'une raifon entre deux grandeurs, fe forme par la fouftraction, le même détail fe forme par l'addition entre leurspréfix. Il s'enfuit auffi que les préfix du dernier refte d'une raison PROPOSITION. PROBLEME. 36. LE nombre des grades d'une raison, dont le détail finiffe, étant prefcrit avec le nombre des fouftractions de chacun de fes grades, il faut trouver deux nombres, qui foient entre eux en cette raifon: Que la raifon proposée air, par exemple, trois grades, & trois fouftractions au prémier grade, 2 au deuxiême, & 4 au troifiême. Pour trouver deux nombres, qui foient en certe raifon, je prends a, & b, que je fuppofe en être les termes, & je fais le détail de leur L COROLLAIRE. 37. Il s'enfuit de cette propofition, que dans le dernier refte d'une raifon quelconque a: b, qui finit, fi a, & b font des nombres, le préfix de b comparé au préfix d'a exprimant la raison du nombre a au nombre b, il y a quatre nombres qui font deux fois la même raison, 1o, la raison a: b, 20. la raifon du préfix de b au préfix d'a, & le produit de l'antécédent de la premiere, & du conféquent de la feconde eft égal au produit du conféquent de la premiere, & de l'antécédent de la feconde, comme ici 9 a=31b, puifque dans le dernier reste — 9a+31b - 38. PUISQUE la raifona: beft exprimée par la raison 31: 9, a peut donc être 31, & alors b fera 9, & 9 a sera 31 multiplié par 9, & 31 b fera 9 multiplié par 31, & l'un vaudra l'autre, c'est-à-dire que neuf fois 31 vaudront trente & une fois 9. Et il a été déja * démontré plus en général par la notion de la multiplication, qu'un premier nombre multiplié par un fecond, donne le même produit que le fecond multiplié par le premier, AVERTISSEMENT. 39. J'Ar démontré ailleurs que dans chaque refte d'une raifon les deux préfix font des nombres premiers en- tre eux: AVERTISSEMEN T. 40. J'AI auffi démontré ailleurs qu'il y a des continus en telles raifons, que le détail n'en finit jamais. DEFINITIONS. * » 41. TOUTE raifon, dont le détail finit, eft appellée raison de nombre à nombres parcequ'elle peut être exprimée * 37. par nombres. 42. Toute raifon, dont le détail ne peut finir, ne peut être exprimée par nombres, & elle eft appellée raifon fourde. REMARQUE. 43. DANS les raifons de nombre à nombre, on parvient à l'égalité, ou au zero dans un nombre fini de foustractions. Dans les raisons fourdes, où les derniers reftes des grades vont toujours décroiffant, on va chercher * le zero ou l'égalité dans l'infini, ou dans un nombre infini de fouftractions. PROPOSITION. THEOREM E. 44. PUISQUE l'on peut fouftraire une grandeur négative d'une négative* il y a raifon de l'une à l'autre. En quoi il faut obferver que comme dans la raifon de deux grandeurs pofitives on retranche toujours une moindre gran deur pofitive d'une plus grande pofitive; auffi dans la raison de deux grandeurs négatives on fouftrait toujours une moindre grandeur négative, ou, fi l'on veut, une grandeur moins, négatiye, d'une plus grande négative, 21. |