a> b, donc 2, le préfix d'a doit être dans la foible co-
lomne, il s'y trouve au troifiême refte, mais il ne con-
vient pas,
parce que 2, le préfix de b, qui fe trouve au
deuxiême refte, feroit dans le même grade; il faut donc
aller aux équimultiples, qui font 4 au cinquiême reste
pour le préfix d'a, & 4 au quatriême refte pour le préfix
de b, & les deux reftes qui entreront dans la proportion,
feront +4b-3a, & −5b+4a; & parce que 4b-3a
eft configne au reste ajoûté, qui eft 9b-7a, c'est
une preuve que 4b-3a —5b+4a. La proportion
fera donc

a:b::4b-3a:-5b+4a ·

.

Car le produit des extrêmes fera -5 ab+4a2, & celui des moyens fera 4b-3 ab. Or ces deux produits feront égaux, puifque tranfpofant-sab, il y aura 4a2 d'une part, & 4b+zab de l'autre, & divifant tous les préfix par, il y aura

za' 2bab

qui eft l'équation propôfée, dont le période eft de trois grades, le prémier & le troifiême d'une fouftraction châcun, & le deuxiême de trois fouftractions, & le deuxiême période eft diffigne au prémier.

Aa

139

་

AUTRE EXEMPLE,

140 Soit l'équation 3a2=7b'

&

ab, 3 le multiple d'a, ne fe trouve dans la colomne
foible qu'au quatriême refte qui n'eft pas le dernier de
fon grade. Il faut donc aller aux équimultiples de 3,
& de 7. Or 36 dodécuple de 3, fe montre à l'unique
refte du fixiême grade, & 84 prefix de b, & dodécuple
de 7,
fe montre au grade fuivant; & a, & b ont en
ces deux reftes le même préfix 55 avec le même figne :
& parce que le refte 55b-36a eft diffigne au refte
ajoûté, il est plus petit que —84b+55a. La propor-

tion eft donc

a:b::-84b+552:55b−36a

Donc 55ab-3 6 a2 — — 8 4 b2 +55ab

Donc -36a2=84b2

Donc 3a37b1

CONSEQUENCE.

Dans les raisons fourdes du deuxiême dégré, les pré- 141 fix des puiffances, ou les équimultiples de leurs préfix, paroiffent dans le détail de la raifon de leurs raci nes; mais ils ne paroiffent pas toûjours dans les deux reftes générants, qui continuent le détail de la raison.

A

III. PROBLEM E.

Soit donné le détail d'une raifon quelconque à: b jufqu'à tel refte qu'on voudra, & qu'il faille conftruire toutes les équations qui peuvent amener ce détail jusqu'au reste donné.

:

Pour le faire, il faut prendre ce dernier refte, & tel autre refte qu'on voudra de ceux qui précédent ce dèrnier, & fuppôfer ces deux reftes être en raifon a:b, il y aura certe proportion a:b:: un refte l'autre refte. Soient multipliés les extrêmes enfemble, & les moyens enfemble, il y aura égalité; & tranfpôfant les tèrmes négatifs d'un membre de l'égalité à l'autre, ce fera une équation, dont tous les tèrmes feront affirmatifs.

J'ai déja dit * que cette fuppofition n'eft pas vaine & que quand je mêts cette proportion a:b:: un reste: un autre refte, & que je concluds que le produit des extrêmes eft égal à celui des moyens, je fais ce que je fuppôfe. Je fixe la valeur d'a:b fur ce pied-là, c'est-àdire fur la valeur qui rend l'équation vraye : foit que cette valeur foit fourde, ou de nombre à nombre. D'ailleurs la raison a:b fixée par ces deux restes, ne peut avoir d'autre détail, que celui qui contient ces deux reftes. Donc j'ai conftruit une équation, &c. c. q. f. d.

142

I

de b; & les nombres fous b, de-
viennent les préfix d'a.

Je puis donner quatre équations, parce que je puis faire quatre proportions, dont les deux premiers tèrmes feront a:b, & le troifiême tèrme pourra être châcun de quatre autres reftes, & le quatrième tèrme fera le dernier refte, en quoi je fuppofe que le dèrnier reste —8b+3a eft < qu'aucun des précédents, car aurrement il n'y auroit pas de proportion, d'autant que ba, où il est évident que8b+3a eft le refte de la fouftraction, dans laquelle -5b+2a eft le tout +3b-a eft le retranché. Or le refte d'une fouftraction eft que le tout de cette fouftraction; donc —8b+3a < 5b+2a. 20. —8b+3a peut être > ou

+3b-a, ce font les deux reftes qui contiennent le détail de cette raifon. 3°. b+3a étant le dernier *21 refte de fon grade, eft<2ba dèrnier reste du 18 grade antérieur. 4°.-8b+3a fera que -ab,* puifque c'est un tout poftérieur au refte —ab, qui eft le tout de la feconde soustraction.

Soit 10. a:b::-5b+za: ~8b+3a

— 8 a b + 3 a2 — — 5b2+2ab