I. 143 "O ou U l'on voit que les préfix du plan dans l'équation eft le préfix de b dans le dernier refte générant +, le préfix d'a dans le prémier refte génerant de l'équation, felon que le préfix d'a eft affecté de + ou de —. Ainfi dans la première figure, ou dans le prémier reste générant il y a 2a, le préfix d'ab dans l'équation eft 10, qui eft 8+2, c'est-à-dire le préfiz d'a dans le prémier refte générant ajoûté au préfix de b dans le deuxiême refte générant. 2. Au contraire dans la deuxiême figure, ou dans le prémier refte de la proportion, il y a -a; le préfix du plan ab dans l'équation eft 7, c'est à-dire 8—1. Le préfix de b dans le deuxiême refte générant moins le préfix d'a dans le prémier refte générant. 3. Dans la troifiême & dans la quatriême figures, il ya+a dans le premier refte générant; & le préfix du plan ab dans l'équation, est 9, c'est-à-dire 8+1. Le 8-1 de la deuxiême figure a été déja démontré, & il eft aifé de démontrer par la même voye le préfix du plan ab dans les trois autres figures. II. AVERTISSEMENT. 144 EN renverfant l'ordre des reftes dans la proportion en cette forte a:b::-8b+3a: un autre. Il faut que le dernier refte -8b+3a foit > que l'un des quatre autres reftes. Or le refte -8b+3a ne peut 145 être que 5b+2a, ni que -ba. Mais il peut être plus grand & plus petit que le refte +3bia, qui eft le reste, qui avec le reste -8b+3a, doit continuer la raifon a: b. I. COROLLAIRE. DE ce Problême il fuit, qu'autant qu'on a de fouftractions du détail d'une raifon, autant on peut avoir d'équations, qui les amenent; & que dans une raison fourde y ayant une infinité de fouftractions poffibles, il y a une infinité d'équations poffibles, qui peuvent amener ce même détail, c'est-à-dire qu'il peut y avoir une infinité d'équations fourdes, qui auront un même détail infini, comme on a vû qu'une feule équation peut amener infinies réfolutions. II. COROLLAIRE. * 118 IĻ L a été dit* que dans les équations homogénes du 146 deuxiême dégré, dont les hautes puiffances font, l'une dans un membre de l'équation, & l'autre dans l'autre, le préfix du plan est la différence de deux aliquotes réciproques du produit des préfix des deux hautes puiffances, augmenté ou diminué de l'unité, & maintenant je dis que Toutes les fois que les hautes puiffances font d'un même côté dans l'équation, le plan a pour préfix la fomme des deux aliquotes réciproques du produit des préfix des puiffances, augmenté ou diminué de l'unité. Mais cela n'est vrai que lorfque les reftes qui font dans la proportion générante, font ou dans un même grade, ou que le prémier d'entre eux dans le détail, est le dernier refte de fon grade. Au premier cas, les deux hautes puissances font dans un même membre de l'équation: au deuxiême cas elles font, l'une dans un membre de l'équation, & l'autre dans l'autre ; & ce font les deux reftes, qui contiennent la raison des racines de l'équation. III. AVERTISSEMENT. Hors de ces deux cas, & lorfque les deux reftes gé- 147 nérants font pris dans des grades non confécutifs, il arrive que le plan dans l'équation a pour préfix deux aliquotes du produit des préfix des puiffances, augmenté ou diminué d'un nombre plus grand que l'unité, ou de l'unité, felon la distance des grades, où font les restes générants. Soit l'équation 3a2=4b+9ba; le produit des préfix des puiffances est 12, & 12+ ou -1, eft 13 ou 11, qui ne peuvent être produits que par 13, & 1, dont la différence eft 12, ou par 11,& 1, dont la différence eft 10. Mais fi l'on diminuë de deux le produit 12, il reftera 10 qui peut être produit par 10 & 1, dont la différence eft 9 préfix du plan ab dans l'équation. Ainfi Equation 3a4b1+9ab 148 Equation 3a4b2+9ab Où l'on voit que les reftes générants sont à la vérité en deux grades confécutifs, mais que le prémier reste générant n'eft pas le dernier refte de fon grade. III. THE ORE ME. LEs équations homogénes du deuxiême dégré, dont les deux hautes puiffances font dans un même membre de l'équation, ne font pas périodiques. Ces équations ne fe forment que par une proportion générante, dont les reftes générants font confignes, foient-ils d'un même grade, ou de deux grades différents. différents, mais confignes, lefquels reftes ne peuvent continuer la raifon. Mais dès la prémière fouftraction, les puiffances fe féparant, la raifon devient périodique, Domer deux manieres d'élever une équation à un degré 149 fupérieur. Soit par exemple l'équation ab2+2ab, qu'il faille élever au troisième degré. Maintenant pour élever l'équation propôfée à une cubique, dont les deux hautes puiffances foient dans un même membre de l'équation, je mets les deux puiffances ab d'une part, & leurs valeurs de l'autre part ainfi : ́a3b3—3a2b—a b2... Bb 150 Et pour l'élever à une équation, où les deux hautes puiffances foient féparées, j'ajoûte en croix à la puif fance a3, la valeur de b3, & à la puiffance b3, la valeur d'a3. a+ba—2ab2b3+ab2+2ab, ce qui fe réduit à a3=b+3ab2+ab, & l'équation donnée eft élevée en deux façons ; car il eft évident qu'en l'une & en l'autre de ces deux équations, la raison des racines a:b eft la même. AVERTISSEMENT. ON peut auffi élever en donnant des abfolus aux multiplians, a, & b, comme l'on vèrra par les éxemples que j'en donnerai. A THEOREME iv. Toute équation régulière qui excédera le deuxiê me degré, & qui dans fon détail amenera les préfix de fes hautes puiffances en deux reftes de deux grades différents & confecutifs, dont le prémier foit le dèrnier, où l'unique refte de fon grade pourra être baissé à l'équation du deuxième degré, dont ces deux reftes amenés par l'équation propôlée, feront les restes géné Les préfix font découvèrts, celui d'a est sous b, & |