ou, fi l'on veut encore, d'une grandeur plus négative: ainfi a *4 T 9 ôtant-7, il reste 2. de + 9 ôtant +7, il reste → 2. Puis de ôtant -7 reftes, comme de + 7 ôtant+2, refte +5, & ainfi des fouftractions fuivantes, dans lesquelles on parvient au 4 zero de part & d'autre en même temps, ce qui eft la fin * des raifons. Or cela eft aifé à entendre: car fouftraire une raison négative d'une négative, c'eft en un fens diminuer la négative, dont on fouftrait, c'eft la rendre négative, mais moins négative: mais en même temps c'eft l'approcher d'autant du zero, c'eft augmenter d'autant fa valeur. Et comme -9, & 7 font autant au deffous du zero que +9, &+ 7 font au deffus, il eft naturel que donnant à 9, & à les mêmes accroiffemens qu'on retran. che de +9, & de +7, on arrive en même temps de part & d'autre au zero, Le détail de la raison de 9 à — 7 eft donc le même que celui de + 9 à+7, mais le premier Le forme par des foustractions négatives, qui font des aç - 7 croiffemens réels, oude vraies additions, & le deuxiême Le forme par autant de décroiffemens réels, ou de vraies fouftractions. c, q.f.d. AVERTISSEMENT. QUOTQUE j'aye fixé cet exemple aux nombres, en fuppofant a9, & b =7, pour rendre cette démonftration plus fenfible, il eft néanmoins évident que fia, &b fignifient des lignes, ou d'autres continus en rai fon fourde, le détail en pourra être continué infiniment de part & d'autre, fans qu'il y ait aucune différence. PROPOSITIO N. 45. PUISQUE P'on THEOREM E. peut fouftraire une grandeur pofitive d'une négative, & une négative d'une pofitive* il y a raifon des unes aux autres, mais le détail s'en fait par des additions, & non par des fouftractions, en ajoutant dans chaque addition, les deux moindres nombres de l'addition précédente, ou les grandeurs qui ont les moindres préfix dans l'addition précédente. * Démonftration. Comme ajouter une grandeur négative à une positive, c'est retrancher autant de la pofitive; & comme ajouter une grandeur pofitive à une négative, c'est encore retrancher autant de la negativé* on fera entre les mêmes grandeurs affectées de fignes contraires des fouftractions réciproques en les ajoutant ensemble. +9 | ↓ ↓ | + | + | | + | | + | + | + 3a+4b 7a+9b Ainfi à + 9 ajoutant-7, la fomme eft + 2,&à-9. ajoutant +7, la fomme eft 2. Puis à-7 ajoutant → 2, la fomme eft-5, & à + 7 ajoutant - 2, la fomme eft 5. Et ainfi des autres additions, où l'on voit que les deux nombres 9 &7, affectez de fignes contraires, fe détruifent réciproquement l'un l'autre jufqu'au zero, avec cette différence qu'à l'égard des nombres pofitifs, ces additions font des décroiffemens, & de véritables soustractions, & qu'à l'égard des négatifs, ce font des accroiffemens, ou de véritables additions. Donc, &c. CET c. q. f. d. AVERTISSEMENT. ET exemple est encore ici appliqué aux nombres, pour en rendre la verité plus fenfible, mais fi l'on fuppofe encore ici qu'a & b foient des continus en raison fourde, il est évident que le détail de leur raifon de & d'autre, pourra être toujours continué fans aucune difference. part 46. DANS le détail par lettres d'une raifon quelconque ab, toute fouftraction, hormis la prémière, foit qu'elle foit de même grade que la foustraction antérieure, ou qu'elle foit d'un grade différent, aura dans fon refte les mêmes fommes, mais avec mêmes fignes, fi elle est 'de même grade, ou avec fignes contraites, fi elle est de grade différent. Démonftration. Dans toute fouftraction fubféquente à une autre, comme les fouftractions Y, & Z, * font ici fubféquentes à la fouftraction X; on fouftraic ou le retranché de la précédente, du refte de la précé dente, comme dans la soustraction Y, ou le reste de la précédente, du retranché de la précédente, comme dans la fouftraction Z, fi bien que ce font les mêmes articles soustraits l'un de l'autre, le prémier du second dans la soustraction Y, & le fecond du prémier dans la fouftraction Z. Mais fouftraire ces articles l'un de l'autre, c'est soustraire en même temps l'un de l'autre deux termes homonymes affectez de fignes contraires, fçavoir a de — a &b de 2 b dans la fouftraction Y, &- a de + a, &+2b de-b dans la fouftraction Z. Donc dans l'une * & l'autre fouftraction* les termes a '& b doivent avoir pour préfix, la fomme des préfix de a, & de +a, c'est-à-dire 2, & la fomme des préfix de-b, & de 2b, c'est-à-dire 3, mais avec des fignes contraires pareils aux fignes des tous de ces deux fouftractions, dans lefquels * le terme a & le terme b font fous fignes contraires. Car ces deux tous * font le retranché & le reste de la fouftraction antérieure. Donc dans le détail d'une raifon, &c. c. q.f.d.. COROLLAIRES * Du détail de la raison géométrique. + 47. HORMIs les termes d'une raifon, il n'y a aucun article dans le détail de cette raifon qui ne foit le refte de quelqu'une de fes fouftractions; car le premier tout d'un grade eft le dernier refte du grade anteprécédent, & dans un même grade chaque tout, hormis le premier de ce grade, eft le refte de la fouftraction précédente. Et quant au retranché d'un grade, il eft le dernier refte du grade précédent, ainfi il n'y a ni tout, ni retranché qui ne foit le refte de quelque fouftraction, hormis les deux termes de la raison. 48. 2. Tout refte, hormis le dernier du pénultiême, ou du dernier grade d'une raifon, eft le tout de quelque fouftraction poftérieure à celle, dont il eft le reste car s'il est le dernier refte de fon grade, il est le retranché du grade prémierement fuivant, & par conféquent le prémier tout du grade fecondement fuivant. S'il n'eft pas dernier refte de fon grade, il eft le tout de la fouftraction, qui dans ce même grade fuit celle, dont il est lè reßte. le 3. Tout refte n'est pas retranché dans quelque fouftra49. aion. Il n'y a que le dernier refte de chaque grade, qui devient le retranché dans toutes les fouftractions áu grade fuivant. 4. Tour |