1 que 3 ab=3, donc a2+3ab4, & il faut mettre 4 côté de l'unité, qui eft fous a, & parceque 2 b2=2, l'on met 2 du côté de b. 3o. Parceque 4 > 2, on niet + devant l'unité fous a &-devant l'unité fous b; & ce prémier refte eft a — b, où l'on fuppofe que b a été soustrait d'a, Or foit que cette prémiere fouftraction faffe un grade *25. 26. ou non, il eft certain* que dans le refte de la deuxième foustraction, le préfix d'a est encore 1, & que celui de b eft 2, parceque dans le premier refte b eft affecté du figne Et a valant I, & b valant 2 dans ce deuxiême 31. * 47. refte, & 3ab valant 3. l'on trouve i + 6 du côté d'a, & on,le met, & le quarré de 2, qui eft fous b, étant 4, 2 b2 8, & on met 8 du côté de b, & 8 étant > 7, c'est une preuve qu'on a fouftrait ab de b, Car de b retrancher ab a+2b le reste eft a + zb Et l'on met + devant b, &-devant a, & c'eft le deu xiême reste, & dès lors à caufe* de la diverfité des fi gnes, la deuxiême fouftraction commence un nouveau grade, dans lequel a-b, prémier refte, a été fouftrait de b prémier retranché. Le reste fuivant fe formant par l'addition* des préfix précédens, on met 2 fous a, & 3 fous b. Et a valant 2, & b valant 3, donc a2+3 a b=4+18, qui est 22, qu'on met du côté d'a, & 2 b2=18, qu'on met du côté de b,& parceque 22 b> 18, c'eft figne qu'on a soustrait ➡ a + ab de ab (ce qui eft aisé à éprou, ver) & l'on met devant 2 fous a, & devant 3 fous b, & c'est le troifiême refte, & à caufe du changement des fignes, c'eft encore le commencement d'un nouveau grade. On continuë par addition des derniers préfix, & l'on met 3 fous a, & 5 fous b, & ce font les préfix du quatrième refte. 4 b Ou a valant 3, &b valant 5, donc a2+3ab9+45, ce qui vaut 54, & 2b 50, & l'on mer + du côté du plus fort, &- du côté du plus foible; parceque c'est toûjours le plus foible, qui eft fouftrait du plus fort. gra. Et parceque les fignes de ce refte font pareils à ceux du reste précédent, & que c'eft une continuation de de, j'ajoûte les préfix du dernier refte du grade précédent, qui font 1, & 2 aux préfix de ce dernier reste, qui font 3 & 5, ce qui fait 4 fous a, & fous b, & a2+3 ab , 16+84, ce qui fait 100, & 2 b2=98. 100 Et parceque 100 +4 98, je mets + devant 4,&- devant 7, & à caufe de la continuation du grade, je mets 5 fous & 9 fous b, & la valeur de a2+3ab est 25+ 135 = 160, & celle de 2b2eft 162. 25 Et parceque 162> 160, je mers-devant 5, &+ devant 9, & à caufe du changement des fignes, ce qui fait un nouveau grade, les préfix fuivans font ୨ fous a, & 16 fous b. a 160 513 512 +9 & a2 = 81, &3 ab=432, ce qui fait 513 du côté d'a, & 512 du côté de b, & parceque 513 512, je mets + devant 9, &-devant 16, ce qui com mence un nouveau grade. C'eft affez, & de refte pour connoître la nature de cette opération, qui ne peut finir que quand on parvient à une même fomme de part & d'autre, ce qui n'arrive jamais quand la raison d'a à b est sourde, & alors on peut feulement donner de fuite autant de reftes que l'on veut à commencer par le premier, & les derniers reftes de *21 chaque grade font * autant d'approximations. Les fommes écrites à droite & à gauche ne fervent qu'à la fûreté du calcul, ou pour le revoir, ou pour y avoir recours fi l'on s'apperçoit de s'être mécompté, ou d'avoir mal placé les fignes. AVERTISSEMENT. 62. MAIS pour donner les restes d'une raifon, il n'eft pas néceffaire que l'équation d'entre a, & b foit. parfaite. Par exemple, fi a est la circonférence d'un cercle, & b fon diamètre, on ne fçait aucune équation exacte en& b mais comme Archiméde, & des Géometres récens en ont donné, à ce que je crois, autant d'ap proximations qu'on en peut fouhaiter, mettant, tre a, je fçai que a 1b, & ainfi je mets + devant r fous a I mais parceque 4 b> a, le quatriême reste est & les préfix du refte fuivant feront 2 & 7, & ainfi de fuite. Et il est naturel que puisque dans le détail dune raison fourde fourde, les reftes font* de continuelles approximations; PROPOSITION UNIQUE. PROBLEME. 63 UNE équation étant donnée, qu'il en faille extraire les racines. Il a été démontré que les préfix du dernier refte *36 d'une raison expriment cette raifon, ou ce qui eft tout un qu'ils en font les racines. On a donc extrait les racines d'une équation, quand par la méthode précédente on a trouvé tout le détail de la raison qu'ont les racines entre elles. ARTICLE PREMIER. 64 CONTENANT les exemples des équations homogênes, dont les hautes puiffances font l'une dans un membre de l'équation, & l'autre dans l'autre. Les fommes de part & d'autre font égales, fçavoir 60, & 60. Réfolution. y = 12 &z=5. Et les racines de l'équation font ou 12, & 5, ou en rai- AUTRE EXEMPLE. Les fommes de part & d'autre font égales 36,*& 36. Resolution. y = 3, & 2 = 2, & les termes de l'équation font ou 3 & 2, ou en raison de 3 à 2. Je ne répéterai plus que les racines de l'équation font ou les derniers préfix, ou en raifon des derniers préfix. Je me contenterai de marquer la valeur des préfix. L feroit, ce me femble, fuperflu de donner des exem IL ples d'équations plus élevées, |