Mais fans aller plus loin on voit 1°. que jufqu'ici ma manière de procéder ne peut réfoudre les équations qu'en nombres entiers, & premiers* entr'eux, & qu'elle peut être fatigante par les multiplications. On verra dans la fuite qu'elles fe peuvent éviter en opérant par lettres, & comment ma Méthode peut s'appliquer à réfoudre les équations en nombres rompus, & en nombres compofés entr'eux, & même en nombres fourds. 2o. On voit que je n'ai befoin ni de faire évanouir de deux inconnues l'une, ni aucun terme de l'équation, ni de réduire à l'unité l'abfolu d'aucune haute puiflance. 3o. On voit que je manie toujours deux racines, qui peuvent m'être inconnues, ce qui a fait que je les ai marquées par y, & par z, que l'on employe à cet ufage, & defquelles je découvre la raifon, foient-elles nombre, ou lignes, ou telles grandeurs qu'on voudra. D'oùì il fuit que connoiffant l'une je connoîtrai toujours l'autre. Et je ferai voir comment je réfouds par une fraction les équations, qu'on appelle préparées, où il n'y a qu'une lettre, laquelle exprime une grandeur inconnue. que 39. 4°. On voit que cette méthode ne cherche pas diretement les racines des équations, mais que par des approximations naturelles, & continuelles, elle trouve les plus petits nombres qui expriment leur raifon, quand elles font en raison de nombre à nombre, & que quand elles font en raifon fourde, elle mene aux nombres, qui approchent de plus en plus de leur raison, fans leur détail puiffe finir. Et c'eft pour cela que j'ai dit* que *43 dans les raifons de nombre à nombre, on parvient à l'égalité, ou au zero, dans un nombre fini de fouftra. ctions: mais que dans les raifons fourdes, où les der. niers reftes des grades vont toujours décroiffant, on va chercher le zero, ou l'égalité dans l'infini, ou dans un nombre infini de fouftractions. AVERTISSEMENT. UN NE manière générale de varier les racines de toute équation, c'est d'en multiplier, ou d'en divifer tous les termes par un même nombre, car tous leurs équi multiples étant en même raifon qu'elles, réfoudront comme elles cette équation, & il en eft de même des quotients de leur divifion par un même nombre. AVERTISSEMENT. 65. DE toute équation, dont les abfolus font dans chaque membre une même fomme, les deux racines font l'une & l'autre l'unité, parceque l'unité eft toutes les puiffances de l'unité. Ainfi dans cette équation 3 y ➡z2 + 2 yz, où l'absolu 3 d'une part, & les abfolus 1+2 de l'autre part font une même fomme y=1, &z=1, & 3y2 = 3, &z2 1, & 2 y z = 2, &z2 + 2 yz=3. 2 - KË KË KA KA KÄ KAKAKAKAKAKA YA KA KA KA AVERTISSEMENT. 66. DANS les opérations précédentes, on ne détermine la place des fignes dans chaque refte, qu'après qu'on a évalué les deux membres de l'équation, & l'on met dans chaque refte le figne du côté du membre le plus fort: mais dans les opérations fuivantes on détermine chaque refte, c'est-à-dire chaque fouftraction par la feule infpection de l'équation, qui découvre prefque toujours lequel des deux termes de l'équation eft le plus fort; & c'eft de celui-là qu'on fouftrait le plus foible. Que fi l'on s'y méprend la fuite de l'operation en découvre d'abord la méprife en tombant dans l'impoffible. Et quelquefois auffi l'équation eft de telle nature, qu'elle peut avoir des folutions différentes en fuppofant le même terme tantôt plus foible, & tantôt plus fort. Les exemples acheveront d'éclaircir tout cet aver. tiffement. Dans cette équation xy, autrement 5x feroit <7 y contre l'hypothese. Soit donc & foit y+7=& donc 5y+577Y donc sz=2y donc y > z foit zu=y donc sz=22 + 211 donc 3z=2u donc u z foit z+f=u donc 3z2z+2 { donc 1+r=2f + r r = f, où les préfix font égaux de part & d'autre, & r, & f valant chacun 1, on trouvera en remon LES grades font fort aifez à appercevoir. Y n'eft fouftrait qu'une fois, & c'est le prémier grade. Z est fouftrait 2 fois, & c'est le deuxiême grade. S n'est souftrait qu'une fois, & c'est le troifiême grade. donc 16b2=57a2+14ab donc y a donc 16a2+32ab+16b2=46a2+46ab+27a2 I donc ba donc 16a2+32ac+16c2 —57a2 +14a2 +14ac foit y+az foit a+b=y foit a+c b foit a+d-c donc 55a2 donc 21a2-16d2+5oad dnoca d donc 21d2+42de+21e2 = 16d2+ sod2+ sode donc 21e2=45d2+8de donce d 16a2+32ad+16d2+18a2 + 18ad foit d+e=a foit d+fe foit f+g=d foit g+h=f donc 21d2+42df+21f2=45d2+ 8.d2 + 8df donc 21f2+34df=32d2 donc d f donc 21f2+34f2+34fg=32f2+64fg+32g2. donc 23f30fg+32g2 donc f>g donc 23g2+46gh+32h2 = 32g2+30g2 + 30gh donc 23h2+16gh=39g2, où la fomme des préfix eft la même de part & d'autre, & h, & g étant chacune l'u nité, on trouve en rétrogradant y = 27, &z=35, y Equation 35y+ 8yz= 2722 Valeur 35515 +7560=33075. est soustrait une fois, a l'eft trois fois, d l'eft deux fois, l'est une fois, & 9 une fois, ce qui fait cinq grades. Les valeurs, ou réfolutions étant juftes, c'est une preuve, que les deux operations ont été bien faites, c'est-à-dire, que dans le premier exemple, où il a été dit x> y, y>z, z>l, cela a été vrai, & que les fignes des reftes, ont été bien placez, & les grades bien diffinits, & de même dans le deuxiême exemple, où il a été dit, 7y, y>a,b>a,c> a, a> d,c> d, d> f, f>g, cela a été vrai, & que les fignes des reftes ont été bien placez, & les grades bien difinits. Or de combien les uns de ces nombres ont été plus grands que les autres, cela n'importe, l'erreur de ce calcul ne feroit rien, pourvû qu'il confte que ceux qui font mar- Et il en eft de mème lorfque l'on opere en nombres. AVERTISSEMENT. IL faut obferver que la puiffance la plus forte eft dans On verra auffi que ces deux manieres d'extraire les racines Contenant les équations homogenes, où les hautes puissances 67. DANS ce fecond article on a fouvent des résolutions On parvient auffi quelquefois à une deuxième réso- Et lorsqu'il n'eft pas indifférent de mettre 2 fous y, |