AXIOM E. 10. PUISQUE, tant que le détail d'une raifon dure, on fouftrait toujours une moindre quantité d'une plus grande les reftes dans toutes ces fouftractions, font des * grandeurs pofitives. * Seulement dans la derniere foustraction d'une raison, puifqu'on fouftrait une grandeur égale d'une égale * le * refte eft zero. II. L AXIOM E. E moindre terme d'une raifon ne peut continuellement être fouftrait du plus grand. Il faut au contraire qu'en étant fouftrait une ou plufieurs fois, il l'épuise enfin car une grandeur pofitive ne peut toujours * être fouftraite d'une grandeur pofitive & terminée, fans l'épuifer. DEFINITION. 12. SI dans le détail d'une raifon, le moindre terme eft retranché dans toutes les fouftractions, (lefquelles en ce cas - là * feront en nombre limité) il est visible que le plus grand terme eft multiple du moindre* DEFINITION. *3. 13. SI le moindre terme, après une ou plufieurs fouftractions, ne laisse rien, ou qu'il laiffè un refte positif moindre que lui, j'appellerai un grade cette fouftraction, ou cette fuite de fouftractions, dans lesquelles le moindre terme est toujours le retranché, & généralement dans le détail d'une raifon j'appellerai un nouveau grade, quand ce fera une nouvelle grandeur, qui fera le retran ché, foit qu'elle ne le foit qu'une fois, ou qu'elle le foit plufieurs fois de suite. * II. Ainfi dans la raifon de 9 à 7, la premiere fouftraction fait un grade, parceque 7 n'est retranché que dans cette premierefouftraction. La deuxiême, la. troifiême, & la quatriême fouftractions font un deuxiême grade; parceque le nombre 2 eft retranché dans chacune de ces fouftractions. Enfin la cinquiême & la fixiême fouftractions font un troifiême grade; parceque l'unité eft retranchée dans Pune & l'autre de ces fouftra &tions. Dans la raifon de 9 à 7 le premier grade eft donc d'une 14. CONSEQUENCE. Les raifons multiples n'ont donc qu'un grade, puif que dans toutes les fouftractions d'une raifon multiple, c'est toujours la grandeur fous-multiple, ou le deuxiême *12. terme de la raison* qui eft le retranché.. Axio M E. 15. DANS une raifon il ne peut y avoir aucun grade, dont les fouftractions ne finiffent; puifqu'une mê, me grandeur est toujours le retranché dans un même 13. grade & qu'elle ne le peut toujours être ** fans épuifer 11. la grandeur dont elle eft fouftraite. ** * DEFINITION. •·16. J'APPELLERAI articles dans le détail d'une raison, le tout, le retranché, & le reste de chaque fouftraction: fi bien que, chaque fouftraction aura trois articles. CHA REMARQU E. HAQUE article du détail d'une raifon par lettres, hormis les deux termes de la raifon, quand ce font des grandeurs fimples, comme a : b, chaque article, dis-je, étant une fouftraction, ou une différence, eft un multiple du conféquent retranché d'un multiple de l'antécédent, ou un multiple de l'antécédent retranché d'un multiple du conféquent, ou la différence des deux multiples. Je prends le mot de multiple dans toute fon étendue, c'est-à-dire, lors même qu'il n'eft multiple que par l'unité AVERTISSEMENT. 2. 17. DAN'S le détail d'une raifon, puifque c'eft toujours le retranché & le refte d'une fouftraction, qui deviennent le tout & le retranché de la fouftraction fui. vante, & puifque * dans tout un même grade, le retran- *13. ché est toujours le même; il s'enfuit que tant qu'un grade dure, c'est-à-dire tant que le même retranché le trouve moindre que le refte, le refte d'une fouftraction devient le tout de la fouftraction fuivante. AVERTISSEMENT: 18. PUISQUE * le retranché de la derniere fouftraction *IƑ d'un grade eft plus grand que fon refte, & puifque *13. * l'un doit être fouftrait de l'autre dans la fouftraction 35 Ainfi dans la raison de 11 à après la troifiême & derniere fouftraction du premier grade, (qui eft la derniere, parceque le retranche 3 s'y trouve plus grand que le refte 2) le tout de la quatriême fouftraction, qui eft la premiere du deuxième grade, eft le nombre 3, qui a été le retranché dans tout le premier grade, & le retranché eft le nombre 2 qui a été le refte de la fouftraction précé dente. De même dans la cinquiême-fouftraction, qui eft la premiere du troifiême grade, le nombre 2 eft le tout, parcequ'il a été le retranché dans la fouftraction précédente, qui toute feule fait le deuxiême, & le retranché eft l'unité, parce COROLLAIRE. COROLLA IR E. 19. IL s'enfuit de ces deux avertiffemens, que dans le dé tail de toute raison, un tout de quelque fouftraction que ce foit, eft plus grand, ou vaut mieux, qu'aucun des articles qui le fuivent, & qu'ainfi le premier terme d'une raison vaut mieux que tout autre article de cette raison, & que le deuxiême terme d'une raison devenant le premier tout du deuxiême grade, eft plus grand que tout article fuivant. AVERTISSEMENT, 20. PUISQUE dans un grade autre que le premier, le pre mier tout est le retranché du *17. grade précédent*, & puisque le retranché d'un grade, autre que le premier grade, eft le dernier refte du grade précédent, il s'enfuit que le premier tout d'un grade, autre que le premier & le second grades, eft le dernier refte du grade antéprécédent, ou qui précéde le précédent, & qu'autant qu'il ya de fouftractions dans un gra de, autre que le premier & le fecond grades, autant de fois on fouftrait le dernier refte du grade précédent, du dernier refte de l'antéprécédent. Ainfi dans la raison 30: 13, ou de 30 à 13, le premier tout du troifiême grade est le nombre 4, dernier refte du grade antéprécédent, c'est-à-dire du premier grade : & l'unité, qui est Jer, Grade. 2c. Grade. 30 3. Grade |