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foit fon Ecroue ; cette puiffance eft toûjours à ce poids, our à cette force, comme un des pas de cette Vis eft à la 3 circonference entiere d'un cercle qui auroit pour rayon la diftance de cette puiffance à l'axe de cette même Vis. Ce qui est tout ce qu'il falloit ici démontrer.

On voit de-là que pour peu que la raifon d'une puiffance à un poids, ou à quelqu'autre force, furpaffe celle d'un des pas d'une Vis, à la circonference d'un cercle qui auroit pour rayon la diftance de cette puiffance à l'axe de cette Vis; cette puiffance ainfi appliquée à cette Vis, pourra par le moyen de cette machine furmonter la réfi-Itance de ce poids ou de cette force, & ce d'autant plusaifément que cette raison fera plus grande..

COROLLAIRE II.

D'où il fuit que plus les pas d'une Vis feront petits, ou: que les tours de fon cordon fpiral feront plus ferrez, & que la distance de fon axe à la puiffance qui eft appliquée, fera plus grande, plus il fera facile à cette puiffance de furmonter le poids ou la force qui agit contr'elle..

COROLLAIRE III

Il fuit encore de ce Théoreme-ci qu'une même puiffanée peut également mouvoir un même poids, ou furmon ter une même force ou réfiftance, à l'aide d'une même Vis, foit qu'on fuppofe cette puiflance appliquée à cette Vis, ou à fon Ecroue; pourvû qu'elle foit également diftante de l'axe de cette Vis dans l'un & dans l'autre cas

L'obacle que le frottement de la Vis avec fon Ecroue fait au mouvement de l'une des deux par rapport à l'autre, doit être compté comme faifint partie de fa charge : c'est ainsi qu'on peut réduire cette machine, de même que toute autre, à une jufteffe mathématique.

AVERTISSEMENT:

Dans le précedent Th. 33. on vient de faire les trois fuppofitions qu'on fait d'ordinaire dans l'examen des proprietez de la Vis: fçavoir,

1°. Que la direction de la puiffance appliquée à cette machine, est dans un plan perpendiculaire à fon axe.

2°. Que cette direction de la puiffance eft auffi perpendiculaire à la droite menée ou imaginée dans ce plan, dų point d'application de la puiffance par l'axe de la Vis.

3°. Enfin que la direction de la charge de cette Vis ou de fon Ecroue, c'est-à-dire, de ce qui y agit contre la puiffance, ou de ce qui lui réfifte, eft parallele à cetaxe.

Mais depuis le Projet de cette Mécanique-ci, que j'expofai au jugement des Connoiffeurs en 1687. & dans lequel je démontrai, comme ci-deffus, le précedent Th. 33. fondé fur ces trois hypothefes ordinaires; ayant remarqué à la campagne pendant les Vendanges, que de plufieurs hommes appliquez aux Leviers, qui fervent à faire tourner la Vis de chaque Preffoir, il n'y en avoit prefque pas un dont la direction fut dans un plan per pendiculaire à l'axe de cette Vis, ni même perpendiculai re au Levier auquel il étoit appliqué, s'appuyant prefque tous fur ces Leviers, & contre tout ce qu'ils pouvoient rencontrer, avec des efforts dirigez de toutes parts, fuivant des lignes differemment inclinées à l'horifon & à ces Leviers. Cette contrarieté aux deux premieres des trois fuppofitions précedentes, me fit repenfer à la troifiéme ;, & voyant qu'elle peut varier de même en mille manieres differentes, comme lorfque la Vis eft oblique à l'horifon, & que fa charge, ou celle de fon Ecroue, eft un poids &c. Je m'avifai enfin de rechercher le tout en general, c'est-à-dire, pour toutes les directions imaginables,tang de la charge de la Vis, ou de fon Ecroue, que de la puif fance qui lui est appliquée. Voici le tout plus generalement encore que je ne le donnai dans les Memoires de 1709.y ayant perdu de vue que la direction de la puif

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fance étoit hors du plan de l'Ecroue, ou (plus generalement ) hors d'un plan perpendiculaire à l'axe de la Vis,

THEOREME XXXIV..

En general pour toutes les directions imaginables de la charge quelconque de la Vis, ou de fon Ecroue, & de la puiffance qui lui eft appliquée, & en équilibre avec cette charge ou résistance: fi l'on appelle cette puissance quelconque, R & cette charge ou résistance auffi quelconque, P, l'on aura toû+ jours R. P: 2×AC×PEXSMXGMXT MOXE FXSMX GM×TM.0×SM×S M×TD×PN+2×AC×GS×GMXTM xPN. dont on va déterminer les lignes & les fignes dans la démonstration fuivante..

DEMONSTRATION.

1. Soit la Vis VXYZ avec fon Ecroue QM & AB un demi-tour de fon cordon fpiral, qui, lorfque cette Vis eft. fixe, foûtient cette Ecroue ou fa charge; laquelle charge étant par tout la même, c'est-à-dire, de même effort & de même direction quelconques, tant fur ce cordon A B ̧. que fur fon point P, peut être confiderée comme toute entiere en P: c'eft pour cela, & pour abreger nos exprefhions, que cette charge ou réfiftance entiere s'appellera toûjours P dans la fuite. Si c'eft l'Ecroue QM qui foit fi- xe, P exprimera de même la charge de la Vis, foûtenue fur le point P du canal fpiral PO de cette Ecroue QM, dans lequel loge ou coule le cordon AB de la Vis. Soit auffi la puiffance R appliquée comme l'on voudra à cette Ecroue en M extrêmité d'une droite, qui prolongée fuivant le plan QM de la même Ecroue, rencontre en D Faxe de la Vis: fi c'eft cette Vis qui foit fixe, ou qui foit appliquée en M à un tel Levier droit DPM, fi c'est FEcroue qui le foit ; & cela de part & d'autre, foit que la direction RMG de cette puiffance R. foit ou ne foit pas dans le plan QM de cette Ecroue; ou (plus generalement) dans un plan perpendiculaire à l'axe ß de la Vis, lequel

paffe par le Levier droit DPM, avec lequel il foir imaginé ne faire qu'un tout qui fe meuve avec lui; lequel plan (que j'appellerai Plan du Levier DM) fera celui de l'Eeroue, lui-même, quand la Vis fera fixe; & quand elle fera mobile, l'Ecroué étant fixe, ce plan fera imaginé comme d'une piéce avec cette Vis & fon Levier, pour concevoir fur ce plan imaginaire par rapport à la Vis ainfi mobile avec lui, lorfque l'Ecroue eft fixe, ce qu'on va remarquer d'action ou de force de la puiffance R & de la charge P für l'Ecroue QM par rapport à elle, lorf que c'est la Vis qui eft fixe: foit auffi que la direction KMG de la puillance R foit perpendiculaire, ou non, à lä droite DPM; foit enfin que la direction PN de la charge P de l'Ecroue ou de la Vis, foit ou ne foit pas-parallele a Faxe B de cette Vis.

II. Quelles que foient (dis-je-) toutes ces directions tant de la charge P de la Vis ou de fon Ecroue, que de la puiffance R appliquée à une des deux-; d'un point quel-conque de la direction PN de cette charge P, pris du côté de, vers lequel cette charge tend, imaginons NF per-· pendiculaire en F à un plan perpendiculaire en P à la droite DM, lequel plan fera amfi perpendiculaire au plan MD, & touchant de la Vis en quelque droite PE pafallele à l'axe ẞ de cette Vis, lequel axe Bétant (Hyp.). perpendiculaire à DM, rend cette parallele PE perpendi culaire auffi à cette même DM,& fection commune de ces deux plans: de forte que fi du point F du plan touchant FPÊ on mene une perpendiculaire à fon orthogonal MD, cette perpendiculaire fera FE, qui rencontrera perpendiculairement en quelque point É cette fection commune PE, foit par le point P la droite PL parallele à FE, & confequemment perpendiculaire( comme elle) au plan MD, & confequemment auffi perpendiculaire en Pà la droite DM dans le plan QM de l'Ecroue, ou plus generalement dans le plan de ce Levier DM, défini dans Part. I.

r.

III. Cela fait où imaginé, le Corol. 7. du Lem. 3. feras

voir qu'en appellant F ce qu'il réfulte d'effort ou d'im preffion fuivant PF de ce que la charge P de la Vis ou de fon Ecroue en fait fuivant la direction quelconque PN; E, ce qu'il en résulte fuivant PE de cet effort F fuivant PF; & enfin L, ce qu'il en réfulte auffi fuivant EF du même effort F fuivant PF; l'on aura P. F:: PN. PF. Et F.E:: PF. PE. Et F. L:: PF. EF. Defquelles analogies (en raifon ordonnée) la premiere avec la feconde donnera P. E:: PN. PE. Et la premiere avec la troifiéme donnera P. L:: PN. EF. De forte que par le moyen de la

premiere de ces deux-ci l'on aura E

PXPE

PN

pour ce que

la charge P de la Vis ou de fon Ecroue fait d'impreffion ou de résistance de P vers E fuivant PE parallele (art. 2.) à l'axe ßo de cette Vis ; & par le moyen de la feconde l'on

PXEF

aura L- pour ce que la même charge abfolue P

PN

fait d'impreffion de E vers F fuivant EF perpendiculaire (art. 2. au plan MD, ou de P vers L fuivant fa parallele PL perpendiculaire auff (art. 2.) à ce plan & à la droite DM en P dans le plan QM de ce Levier DM.

IV. Si prefentement de quelque point G de la direction prolongée RM de la puiffance R, on imagine GS perpendiculaire en S à ce plan QM du Levier DM, duquel point S foit fur ce plan là droite SMH rencontrée en quelque point T par DT perpendiculaire à DM fur ce même plan, fur lequel foit auffi MK perpendiculaire en M à la même DM; le Corol. 7: du Lem. 3. fera voir pareillement ici que l'effort abfolu de la puiffance R fuivant fa direction GMR, eft à ce qu'il en résulte fuivant SM longée vers H, comme GM à SM; & que ce qu'elle en fait ainfi fuivant SM, eft à ce qu'il en réfulte fuivant TD સે ou fuivant fa parallele MK, comme TM eft à TD. Done (en appellant H, K, ces efforts dérivez suivant SH, MK,) L'on auraici R. H:: GM. SM. Et H. K:: TM. TD. Ce qui

pro