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. tuelle de la force F, en sorte que FxCp fait ce que j'appel- le Energie. Remarquez que Cpest ou affirmatif ou néga»tif par rapport aux autres : il est affirmatif, si le point P

est poussé par la force F, & que l'angle FPp soit obtus ; »'il eit négatif, li l'angle FPpelt aigu: mais au contraire si »le point Peit tiré, Cp sera négatif, lorfque l'angle FPp est

obtus; & affirmatif, lorsqu'il eit aigu. Tout cela étant .es bien entendu, je forme (dit M. Bernoulli) cette

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PROPOSITION GENERAL E.

THEO REME XL. En tout équilibre de forces quelconques', en quelque maniere --qu'elles soient appliquées , de suivant quelques directions

qu'elles agissent les unes sur les autres, ou mediatement, ou immédiatement , la somme des Energies affirmatives sera » égale à la somme des Energies négatives prises affirmative'n ment.

DEMONSTRATION. Telle est la proposition de M. Bernoulli, rapportée au cominencement de cette Section ; & voici comment la Théorie précedente en fournit la démonstration.

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PAR TIE 1.

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Pour l'équilibre d'un poids foûtenu avec des cordes seulement , par tant de puissances qu'on voudra , de directions quelconques ; & pour l'équilibre d'un corps choqué par plusieurs ar tres à la fois. 1. Toutes choses demeurant ici les mêmes

que

dans la Fig. 71. du Th. 6. Corol. 20. c'est-à-dire, le poids K étant soutenu en équilibre par tant de puillances P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra, appliquées (comme lui) à autant de branches de corde, sur lesquelles branches ou cordons soient AB, AC, AE, AF, AM, &c. proportionnelles à ces puissances P, Q, R, S, T, &c. des extrêmitez desquelles proportionnelles tombent autant de perpendiculaires Bb, Cc, Ee, Ff, Mm, &c. sur la direction AK du poids K prolongée de part & d'autre : cela , dis-je , étant

FfQ.25.3.

25.4.

laires

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3

K ainsi dans les Fig. 253.254.comme dans la Fig. 71. Th. 6.Corol. 2 O. soit prise de A.vers K sur la direction AK du poids K, une partie quelconque Aa dans la Fig. 253, oil les puissances P, Q, R,S, T, &c. tirent droit , sans s'appuyer sur rien, & infiniment perite dans la Fig: 25.4. az les cordons de ces puissances sont appuyez sur des poulies B.a, e, sikl, &c. Du point a, sur les directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. de ces puissances P, Q, R, S, T, &c. soient autant de perpendiculaires ap, aq, ar, af, at, &c.

, qui rencontrent ces directions en p,9,6,8,t, &c.

Cela fait , il est visible que les triangles ( constr. ) rectangles Apa, AbB; Aqu, ACC; Ara, AeE; Afa, AfF; Ata, AMM , &c. ayant deux à deux (distinguez comme on les voit ici par la marque ; ) leurs angles égaux A, font semblables entr'eux pris ainsi deux à deux. Par consequent, en appellant b, c,e,f,m, &c. les forces suivant la direction AK ou Ae du poids K, pour ou contre ce poids, résultantes ( Lem. 3. Corol, 6. ) des forces absolues des puissances P, Q, R, S, T, &c. suivant leurs directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. l'on aura suivant la part. I. du

. Lemi. 3. employée comme dans la démonstr. 2. du Th. 6.

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exag-trxar-+sxal-PXAP-Txat* &c. Donc

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Ertet-b-m+&c. ( Th. 6: démonstr. 2.) =K; CC qui en ce cas d'équilibre donne QxAg+RxAr-+SxAS -PxAp~TxA++ &c=KxAa, ou KxAa-+PxAp-+T xAr+&c=QxA9-+RxAr+SxA/+&c.

1°. Soit presentement tout le système de la Fig: 253; mû de maniere que son point A parcourant la partie quelconque Aa de la direction AK du poids K, tous les corduns ou directions AB, AC, AE, AF, AM , &c. des puifsances P, Q, R, S,T, &c. demeurent toujours paralleles chacune à soi-même ; & que lorsque le point A sera : en a, & le poids K descendu de la valeur de Aa suivant sa premiere direction AK , ces autres directions ou cordons AB, AC, AE, AF, AM, &c. soient encore perpendiculaires en a aux mêmes lignes fixes ep., aq, ar,af, at, &c. ausquelles elles l’étoient en p, q,r,l,t , &c. avant ce mouvement du point A,ou de tout le systême de la prefente Figure 2 5 3. Un tel mouvement faisant ainsi reculer ou avancer les puissances P,Q,R,S,T, &c. suivant ces directions, chacune suivant la sienne , des valeurs AP, Ag, Ar, AS, At, &c. pendant que le poids K descend de la valeur de Aa suivant la sienne: la Déf. 3 1. fait voir qu'en prenant ici Aa pour la vîtelle virtuelle de ce poids K , l'on y aura Ap, Aq, Ar, AS; At; &c. pour les vîteslis virtuelles de ces puissances P, Q, R, S, T, &c. & que KxAa, PxAp, Ox Aq, RxAr, SxAS, TxAt, : &c. seront les Energies de ce mème poids & de ces mêmes . puillances.

2°. Soit aussi mù tout le système de la Fig. 254. mais de maniere que son point A

parcourant la partie infiniment perite' Aa de la direction AK du poids K, les cordons AB, AC, AE, AF, AM, &c. des puissances P, Q, R,S,T, &c.qui y font appuyez sur les pouli s fixes B, 4, 6,®, M, &c. patient c!e ARP, AQ, AR , ApS, AMI, &c. en «BP, anQ, aer , ars, au T, &c. lesquelles 1ccou

Fja. 254.

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des situations de ces cordons font avec les premieres, chaeune avec sa correspondante, des angles Aba, Ana, Asa, Ajs, &c. infiniment petits , à cause de leur base commune Aa supposée infiniment petite par rapport à les distances finies des sommets B,1,, 0,4, &c. de ces angles. Ce qui confondant les perpendiculaires infiniment petites ap, aq ,a1, af, at, &c. supposées du point a sur les côtez AB, A1, A6, AP, A4, &c. de ces angles avec les arcs infiniment petits, qui décrits de leurs sommets ß, , e, 0,\, &c. comme centres , par ce point a , seroient compris entre leurs côtez, chacun entre les deux de chacun de ces angles , donne les differences infiniment petites Ap, Aq, Ar, AS; At, &c. pour les quantitez dont les puiscances P, Q, R, S, T,&c. reculeroient ou avanceroient ici suivant leurs directions, chacune suivant la sienne, pendant que le poids K y descendroit suivant la lienne AK de la valeur de la partie infiniment petite Aa de cette direction. D'ou l'on voit, suivant la Déf. 3'1. qu'en pre-nant ici cette ligne infiniment pecite Aa pour la vîrelle virtuelle de ce poids K, l'on y aura les infiniment petites Ap, A9, Ar, A), At, &c. pour les vîtesses virtuelles de ces puissances P, Q, R, S, T, &c. & que KxAa, PxAP, QxAq,RxAr, SxA, TxAt, &c. y seront les Energies de ce même poids & de ces inêmes puissances.

L'on aura donc ici en general ( nomb. 1. 2.) dans l'un Pre. 253: & dans l'autre fyltême des Fig. 253.254. les produits 254. KxAa , PxAp, QxAg, RxAr, JxA/, Tx At,&c. pour

les Energies du poids K & des puillances P, Q, R, S, T,&c. Luppolées en équilibre avec lui avant la rupture qu'on y a lupposée faite par une force étrangere ; desquels produits les lignes Aa, Ay, Ag, Ar, Al, At, &c.qui expriment les vîteffes virtuelles de ce poids & de ces puiilances, font ( nomb. 1.) quelconques ( finies ou infiniment petites à volonté) dansla Fig. 253. & infiniment petites (nom5.2.) dans la Fig. 254. Et desquelles Energies la Déf. 3 1. fait voir que les affirmatives Tont KxAa, PxAp, TxAt, &c. & les négatives font QxAg , RxAr, SxA!, &c. dans le

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montrer.

mouvement supposé de l'un & de l'autre système des Fig. 253.254. Or avant les nomb. 1. 2. l'on a trouvé pour l'un & pour l'autre de ces systèmes KxAa +PxAp+T xArt&c=QxAg+RxAr+SxA/-+&c. Donc en general dans l'un & dans l'autre syitême du poids quelconque K , soutenu en équilibre par tant de puissances quelconques P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra , avec, des cordes seulement, ou appuyées sur des poulies fixes ; la somme des Energies positives de ce poids & de ces puisfances, est toûjours égale à la somme de leurs Energies, négatives prises affirmativement. Ce qu'il falloit 1o.

Ce qu'on voit des Energies résultantes de l'équilibre rompu dans le précedent art. I. par un mouvement de A vers a suivant la direction AK du poids K , & en consequence de tout le Système de chacune des Fig. 253. 254. Je trouvera de me des Energies résultantes de cet équilibre rompu par le mouvement de ce point A, suivant toute autre direction, & de tous le systéme en consequence comme dans cet art. 1. Voici com

I I. Le poids K étant encore ici soûtenu en équilibre par tel nombre qu'on voudra de puissances P,Q,R,S, T, &c. avec des cordes seulement dirigées à volonté: le tout comme dans le précedent art. 1. fuit presentement cet équilibre rompu dans chacune des Figures 255.256. par le mouvement de A vers a suivant une direction quelconque em, & de tout le systême mà en consequence comme dans l'art. 1. sçavoir , de maniere

sçavoir , de maniere que pendant que ce point A parcourra une partie Aa quelconque dans la Fig. 255. & infiniment petite dans la Fig. 256. de cette direction em, les directions ou cordons AN, AB, AC, AE, AF, AM , &c. du poids K , & des puiilances P, Q, R,S,,T, &c. emportées avec le systême, demeurent toujours paralleles chacun à soi-même, c’elt-à-dire, à sa

premiere lituation dans la Fig. 256.comme dans la Fig. 253. nomb. 1. de l'art. 1. ou paffent toûjours par-dessus les mêmes poulies fixes d, 3, 8, 6., 0, 4, &c. dans la Fig. 256.

ment.

Fic. 355.

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