Fia. 253.

Fie: 254.

=c++e+f-b—m + &c. ( Th. 6. démonftr. 2.) =K ; ∞ċ qui en ce cas d'équilibre donne QxAq➡+R×Ar++S×AS -PxAp-TxAt+&c=KxAa, ou KxAa-+PxAp+T xAt+&c=Qx Aq➡+R×Ar+S×Af+&c.

1o. Soit prefentement tout le fyftême de la Fig. 253. mû de maniere que fon point A parcourant la partie quelconque Aa de la direction AK du poids K, tous les cor-dons ou directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. des puif- fances P, Q, R, S, T, &c. demeurent toujours paralleles chacune à foi-même ; & que lorfque le point A fera en a, & le poids K defcendu de la valeur de Aa fuivant fa premiere direction AK, ces autres directions ou cordons AB, AC, AE, AF, AM, &c. foient encore perpendiculaires en a aux mêmes lignes fixes op, aq, ar, af, at, &c. aufquelles elles l'étoient en p, q,r, f,t, &c. avant ce mouvement du point A, ou de tout le systême de la prefente Figure 253. Un tel mouvement faisant ainfiˇreculer ou avancer les puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuivant ces directions, chacune fuivant la fienne, des valeurs Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pendant que le poids K defcend de la valeur de Aa fuivant la fienne: la Déf. 3 1. fait voir qu'en prenant ici Aa pour la vîteffe virtuelle de ce poids Ê, l'on y aura Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pour les vîteffes virtuelles de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. & que KxA4, PxAp, QxAq, RxAr, SxAs, T×At,· &c. feront les Energies de ce même poids & de ces mêmes · puiflances.

2o. Soit auffi mû tout le fyftême de la Fig. 254. mais de maniere que fon point A parcourant la partie infiniment petite Aa de la direction AK du poids K, les cordons AB, AC, AE, AF, AM, &c. des puiffances P, Q, R, S, T, &c. qui y font appuyez fur les poulis fixes B, a, •, o, u, &c. paffent de ABP, AλQ, AiR, ApS, AμT, &c. en aßP, anQ, aeR, aqS, aμT, &c. lefquelles fecon

des fituations de ces cordons font avec les premieres, chacune avec fa correfpondante, des angles Aßa, Aλa, Asa, Aus, &c. infiniment petits, à caufe de leur base commune Aa fuppofée infiniment petite par rapport à fes distances finies des fommets B,,,,, &c. de ces angles. Ce qui confondant les perpendiculaires infiniment petires ap, aq, ar, af, at, &c. fuppofées du point a fur les côtez Aß, Aλ, A, A, A, &c. de ces angles avec les arcs infiniment petits, qui décrits de leurs fommets &, a, e, ,, &c. comme centres, par ce point a, feroient compris entre leurs côtez, chacun entre les deux de chacun de ces angles, donne les differences infiniment petites Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pour les quantitez dont les puiffances P, Q, R, S, T, &c. reculeroient ou avanceroient ici fuivant leurs directions, chacune fuivant la fienne, pendant que le poids K y defcendroit fuivant la fienne AK de la valeur de la partie infiniment petite Aa de cette direction. D'où l'on voit, fuivant la Déf. 3 1. qu'en prenant ici cette ligne infiniment petite Aa pour la vîtelle virtuelle de ce poids K, l'on y aura les infiniment petites Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pour les vîteffes virtuelles de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. & que KxAa, P×Ap, QxAq, RxAr, SxAf, TxAt, &c. y feront les Energies de ce même poids & de ces mêmes puiffances.

L'on aura donc ici en general (nomb. 1. 2.) dans l'un Fre. 253. & dans l'autre fyftême des Fig. 253. 254. les produits 254 KxAa, P×Ap, Q×Aq, RxAr, sxAS, TxAr, &c. pour les Energies du poids K & des puillances P, Q, R, S, T, &c. fuppofées en équilibre avec lui avant la rupture qu'on y a fuppofée faite par une force étrangere ; defquels produits les lignes Aa, Ap, Aq, Ar, Af, Ar, &c. qui expriment les viteffes virtuelles de ce poids & de ces puillances, font (nomb. 1.) quelconques (finies ou infiniment petites à volonté) dans la Fig. 253. & infiniment petites (nomb.z.) dans la Fig. 254. Et defquelles Energies la Déf. 3 1. fait voir que les affirmatives font KxAa, PxAp, TxAt, &c. & les négatives font QxAg, RxAr, SxA, &c. dans le

Fic. 255.
B56.

mouvement fuppofé de l'un & de l'autre fyftême des Fig. 253.254. Or avant les nomb. 1. 2. l'on a trouvé pour P'un & pour l'autre de ces fyftêmes KxAa++PxAp+T. xAt +&c=QxAq+RxAr+SxA+&c. Donc en general dans l'un & dans l'autre fyftême du poids quelconque K, foutenu en équilibre par tant de puiffances quelconques P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra, avec, des cordes feulement, ou appuyées fur des poulies fixes; la fomme des Energies pofitives de ce poids & de ces puiffances, eft toûjours égale à la fomme de leurs Energies négatives prifes affirmativement. Ce qu'il falloit 1°. dé

montrer.

Ce qu'on voit des Energies réfultantes de l'équilibre rompu dans le précedent art. I. par un mouvement de A vers a fuivant la direction AK du poids K, & en confequence de tout le fyftême de chacune des Fig. 253. 254. Je trouvera de même des Energies réfultantes de cet équilibre rompu par le mouvement de ce point A, fuivant toute autre direction, & de tout le fystéme mû en confequence comme dans cet art. 1. Voici com

ment.

II. Le poids K étant encore ici foûtenu en équilibre par tel nombre qu'on voudra de puiffances P, Q, R, S, T, &c. avec des cordes feulement dirigées à volonté : le tout comme dans le précedent art. 1. foit prefentement cet équilibre rompu dans chacune des Figures 255. 256. par le mouvement de A vers a fuivant une direction quelconque em, & de tout le fyftême mû en confequence comme dans l'art. 1. fçavoir, de maniere que pendant que ce point A parcourra une partie Aa quelconque dans la Fig. 255. & infiniment petite dans la Fig. 256. de cette direction em, les directions ou cordons AN, AB, AC, AE, AF, AM, &c. du poids K, & des puiflances P, Q, R, S, T, &c. emportées avec le fyftême, demeurent toujours paralleles chacun à foi-même, c'elt-à-dire, à fa miere fituation dans la Fig. 2 5 6. comme dans la Fig. 253. nomb. 1. de l'art. 1. où paffent toûjours par-deffus les mêmes poulies fixes J, B, λ, &, Q, μ, &c. dans la Fig. 256.

ر

pre

chacune par-deffus la fienne, comme dans la Fig. 254. nomb. 2. du même art. 1. de maniere, dis-je, que fi du point a on imagine fur ces cordons ou directions AN, AB, AC, AE, AF, AM, &c. autant de perpendiculaires ak. ap, aq, ar, af, at, &c. qui les rencontrent prolongées en k, p, q, r, s, t, &c. ces directions ou cordons foient encore perpendiculaires en a à chacune d'elles, lorfque le point A fera en a dans la Fig. 255. comme dans le nomb. 1.de l'art. 1. Fig. 253. où le trouvent en as, aß, ad, ap, au, &c. appuyez encore fur les poulies fixes ♪, B, λ; , μ, &c. de la Fig. 256. comme dans le nomb. 2. de l'art. 1. Fig. 254.

4&;

Cela polé, fi fuivant la Déf. 32. on prend'ici Aa pour la vîteffe virtuelle du point A, l'on y aura Ak, Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pour les vîteffes virtuelles du poids K, & des puiffances P, Q, R, S, T, &c. dans chacune des Fig. 255.256.comme dans les Fig. 253. 254. nomb. 1. 2. de l'art. 1. Ce qui, fuivant la même Déf. 32. donnera ici comme là K×Ak, P×Ap., Q×Aq, RxAr, S×Af, T×At, &c. pour les Energies de ce poids & de ces puissances.

Prefentement fi après avoir pris AN, AB, AC, AE, AF, AM, &c. proportionnelles au poids K, & aux puiffances P, Q, R, S, T, &c fur leurs directions, on mene des extrêmitez N, B, C, E, F, M, &c. de ces proportionnelles autant de perpendiculaires Nn, Bb, C, Ee, Ff, Mm, &c. en n,b,c,e,f,m, &c. fur la direction em du mouvement fuppofé du point A, comme ak, ap, aq, ar, af, at, &c. le font ( Hyp.) en k, p, q,r,f,t, &c. fur ces directions prolongées; les triangles rectangles Aka, AnN; Apa, AbB; Aqa, AcC; Ara, AcE; Aja, AfF; Ata, AmM, &c. feront ici femblables deux à deux, comme dans l'art. 1. & pour la même raison que dans cet art. 1. de forte que fi l'on prend icin, b, c, e, f,m, &c. pour les efforts fuivant Am ou Ae, réfultans des abfolus du poids K, & des puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuivant leurs di regions, l'on aura ici comme dans l'art. 1.

Or les efforts n,b,m,&c. de A vers m fuivant Am, étant ici directement contraires aux efforts c,e,f, &c. de A vers e fuivant Ae en ligne droite (Hyp.) avec Am ; & en équilibre avec ceux-ci : l'ax. 4. donnera ici n+b+m+ &c=c+e+f+&c. comme dans la démonftr. 2. du Th. 6. Donc on aura ici KxAk➡PxAp➡T×At➡&c.= QxAq +RxAr+SxA+&c. Mais on vient de voir que les produits dont cette égalité eft faite, font autant d'Energies du poids K, & des puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuppofées en équilibre avec lui. Donc fuivant la Déf. 32. le premier membre de la même égalité étant tout d'Energies affirmatives, & le fecond tout d'Energies négatives, ce cas d'équilibre donnera ici, comme dans l'art.

. la fomme des Energies affirmatives, égale à la fomme des Energies négatives prifes affirmativement, quelque mouvement qu'on donne au fyftême. Ce qu'il falloit encore 1. démontrer.

III. 1. Si l'on veut prefentement que la direction Aa du point A foit celle du poids K, comme dans l'art. 1. cette hypothefe, qui fait tomber a en k, rendant AkAa, changera l'équation du précedent art. 2. en celle de cet art. 1. dans le cas duquel on fera pour lors.