effectivement augmenter à l'infini dans le mouvement que la direction AR peut avoir depuis la fituation où-elle feroit un angle droit avec AO perpendiculaire à cet-te furface, jusqu'au concours de ces deux mêmes lignes. en une, & demeurer cependant toûjours en équilibre avec le même poids EON fur le même point O d'une furface inclinée quelconque SV.

On vient de fuppofer dans ce Corol. 15. & on le fuppofera toûjours dans la fuite, conformément au Corol. 4. qu'en cas d'équilibre entre la puissance quelconque R & le poids EON fur la furface auffi quelconque SV, la direction AB de cette puiffance R ne peut jamais être au dehors de l'angle DAN ; parce que fi cette direction AB paffoit dans quelqu'un des angles NAC, CAO, l'impreffion refultante du concours d'action de la puiffance quelconque R & de la pefanteur du poids EON fur ce poids, devant (Lem. 3. Corol. 2.) le porter fuivant une ligne qui du point A pafferoit auffi à travers de cet angle, fans pouvoir jamais être perpendiculaire à la furface SV fur laquelle AO l'est déja (Hyp.) & l'unique qui s'y puiffe mener du point A par la bafe du poids EON ; ce poids ne pourroit jamais alors (Lem. 3. Corol. 8. & Th. 26. Corol. 1.) faire équilibre fur cette furface avec la puissance R quelle qu'elle fût ce qui feroit contre la prefente hypothefe, dans la quelle on les y fuppofe en équilibre. C'eft, dis-je, pour qu'on vient de fuppofer dans le précedent Corol. 15.& qu'on Juppofera toujours dans la fuite, qu'en cas d'équilibre entre une puiffance R& un poids quelconque EON fur une furface auffi quelconque SV, la direction AB ou AR de cette puissance R ne peut jamais fortir de l'angle DAN compris entre la direction AC du poids EON prolongée vers N, & la perpendiculaire AO ou AD menée du point A fur la furface SV (par la bafe du poids EON) à laquelle, dans le prefent Th. 26. & dans tous fes Corollaires on fuppofe qu'on n'en peut mener qu'u ne feule du point A, pour la raison qu'on en dira dans le Scho lie fuivant, de peur de digreffion dans ce Théoreme-ci.

cela

COROLLAIRE XVI.

que

Tout le contenu du précedent Corol. 15. peut encore Fra. 210 être démontré fans le fecours des finus. Imaginons d'abord la direction AR de la puiffance R, perpendiculaireà la droite AX qu'on fuppofe l'être en O à la furface SV ou HG par la bafe du poids EON en équilibre fur ce point O avec la puiffance R; & confequemment que le côté CD du parallelogramme BACD foit perpendiculaire à la diagonale AD de ce parallelogramme. Îl eft manifefte que cette perpendiculaire CD eft la plus courte de toutes les droites CD, Cd, C, &c. qu'on peut mener du même point C fur cette diagonale prolongée, & les plus éloignées de CD font les plus grandes. Par confequent la puiffance R qui foûtiendroit le poids EON en O fur la furface quelconque SV, fuivant AR, devantêtre à ce poids (Corol. 6.) comme AB ou CD eft à AD, feroit ici la plus petite qui l'y pût foûtenir, & moindreque toute autre qui l'y foûtiendroit fuivant toute autre direction Arou Ap, &c. parallele à Cd ou C, &c. cette nouvelle puiffance en rou en p, &c. devant alors (Cor.6.) être à ce même poids EON en raifon de Cd ou C♪, &c. côté du parallelogramme bACd ou BACS, &c. à fon autre côté AC, le même pour tous ces parallelogrammes comme le poids EON eft ici ( Hyp,) toujours le même à foûtenir par chacune de ces puiffances placées en R, r,p, &c. fur le même point O de la furface SV. Donc,

1°. Le côté Cd du parallelogramme bACd augmentant à mesure que l'angle ACd ou fon égal NAr fe trouve plus aigu, & cela jufqu'à ce que ce côté Cd confondu avec CA, lui foit égal; la puiffance en r pour foûtenir le poids EON fur le même point O de la furface SV fuivant une direction Ar parallele à Cd, doit toujours augmenter jufqu'à ce que cette direction Ar foit confondue avec AN, ou fa parallele Cd avec CA; & à cet instant de confusion être égale au poids EON, fans pouvoir devenir plus grande de ce côté, Cd ne pouvant devenir plus

F10. 298. 1299.210.

grande que СА par l'approche de fa parallèle Ar vers AN, au-delà de laquelle elle ne peut ( Corol. 4. ) paffer en fortant de l'angle DAN fans rompre l'équilibre fuppofé. Donc depuis la fituation de fa direction AR perpendiculaire à AO, cette puillance R enr, doit toujours augmenter par l'approche de fa nouvelle direction Ar vers AN, jufqu'à ce que cette direction Ar fe trouve confondue avec AN ; & à cet inftant de confufion fe trouver égale au poids EON, fans pouvoir être plus grande de ce côté-là, ainsi qu'on l'a déja vû dans le nomb. 1. du précedent Corol. 15.

2o. Au contraire, lorfque la direction Ap de la puiffancc Ren p, s'éloigne de la fituation AR perpendiculaire à AO, en s'approchant de AO; cette puiffance en ee cas d'équilibre avec le poids EON fur le point O de la furface SV, devant être ( Corol. 6. à ce poids comme Aß ou Cà AC, il eft vifible que plus la direction AC de cette puiffance en p fera près de AO,fa parallele C♪ en devenant d'autant plus grande, quoiqu'en raifon differente; cette puiflance en, en devra être d'autant plus gran..de pour foûtenir le même poids EON fuivant cette direction Ap fur le même point O de la surface SV ; & être enfin infinie lorfque cette direction A, fe trouvera confondue avec AX, fa parallele C♪ le trouvant alors infinie. C'eft auffi ce qu'on a déja vu dans le nomb. 2. du précedent Corol. 15.

COROLLAIRE XVII.

Les nomb. 1. 2. du précedent Corol. 16. font voir non feulement que pour foutenir un même poids EON fur le même point Od'une furface quelconque SV toùjours également inclinée, fuivant differentes directions AR, Ar, Ap, &c. des puiffances capables de l'y foûtenir chacune fuivant la fienne, il leur faut d'autant plus de force que les angles rAO, AO, &c. de leurs directions avec AO, different davantage de l'angle droit RAQ, ainfi qu'on l'a déja vû dans le Corol. 15. mais encore

:

que lorfque les differences rAR, PAR, &c. en feront égales, ces forces (Corol. 6.) le feront auffi entr'elles, les › cotez Cd, C, des parallelogrammes bACd,BAC, alors également éloignez de CD perpendiculaire (Hyp.) fur AX, fe trouvant alors égaux entr'eux.

COROLLAIRE XVIII.

pro

Il fuit encore des Corol. 15. 16. que de toutes les directions AR, Ar, Ap, &c. fuivant lefquelles differentes puiffances peuvent chacune fuivant la fienne foûtenir un même poids EON fur un même point O d'une furface quelconque SV toujours également inclinée ; la direction AR perpendiculaire à AO; ou parallele au plan GH, qui foit auffi le plan touchant en O de la furface SV pofée fi cette furface eft courbe, eft celle qui exige la moindre de toutes ces puiffances pour l'y foûtenir, & que la perpendiculaire AO à ce plan, eft de toutes ces directions celle qui exige la plus grande de toutes ces puiffances: la premiere fuivant AR, doit être à ce poids EON (Corol. 1o.) comme la longueur GH de ce plan est à fa hauteur HK ; & la feconde fuivant AO, devroit (nomb. z. des Corol. 1 5. 16.) être infinie.

COROLLAIRE XIX.

208

Pour les furfaces planes HG paralleles à la direction Fis. 1097 AC du poids EON, & pour les points des furfaces courbes SV, d'où l'on peut mener des plans touchans qui foient auffi perpendiculaires à l'horifon : la ligne de direction AR de la puiffance R qui foûtient ce poids EON fur ou contre ces plans, ou ces points de furfaces cour- bes, ne pouvant (Corol: 4.) s'éloigner de la fituation où elle feroit perpendiculaire à AO, qu'en s'approchant de cette même AO perpendiculaire (Hyp.) en Oà la furface HG ou SV, puifque l'angle NAO en ce cas eft droit 5 cette puiffance R ne peut auffi augmenter (Cor. 15. 16.) que dans ce mouvement de fa direction, depuis ÁN, on: elle feroit égale au poids EON, jufqu'en AO, où elle de

24

vroit être infinie pour foutenir ce poids fini quelconque. EON contre le point O de la furface HG où SV verticale en ce point, fuivant AO perpendiculaire (Hyp.) à cette surface en ce même point O.

Il est à remarquer que fuivant l'avis qui précède le Corol. 13. lorfqu'on dit ici qu'un poids eft foûtenu fur ou contre le méme point d'une furface, l'on ne prétend pas dire qu'il ne -la rencontre jamais qu'en un feul point: l'on entend feulement que la droite AD, qui du concours A des directions de ce poids EON & de la puissance R en équilibre avec lui fur cette furface quelconque SV, tombe perpendiculairement fur cette même furface, la rencontre toujours dans le méme point o tant que ce poids eft foûtenu deffus, quoique ce foit fuivant differentes directions de puiffances. La raison de cette précaution eft évidente du côté des furfaces courbes, dont tous les points ont chacun un plan touchant d'une direction particuliere. Pour du côté des furfaces planes, on la reconnoîtra dans les Corol. 35.36. 37. où l'on verra que dans l'hypothefe du concours des lignes de direction des poids en quelque point de la Terre que ce foit, ils ne pefent pas toujours également fur ces plans, quoique la direction de la puiffance appliquée à chacun d'eux, demeure toûjours la même, & quand même ces poids feroient de pefanteur conftante, c'est-à-dire, chacun de pefanteur abfolue toujours la même, malgré le Corol. 37. du Th. 21. Au contraire ils peent toûjours également chacun fur le même point de quelque furface que ce foit, & la charge de cette Surface y est toujours la méme, à moins qu'on ne change la direction de la puissance, ou la fituation de cette furface. C'est pour cela que dans les fept précedens Corol. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. où l'on examine feparément le changement que peuvent caufer dans l'action du poids fur une furface, & dans la charge de cette furface, les differentes inclinaifons de la méme ou de differentes furfaces für lefquelles ce poids feroit foûtenu,& les differentes directions des puissances qui l'y foûtiendroient, on a regardé ce poids comme appliqué non feulement à une même furface de même inclinaison, mais auffi toûjours au méme point de cette furface.

COROL