puiffances P, R, des directions EP, ER, paralleles & contraires à celle du poids Q, pour le mettre ( Th. 2 1. Corol. 13.) en équilibre avec ces deux puiffances. Ce qu'il falloit 1o. faire & démontrer.

III. Dans le même cas de la Fig. 3 3 8. lorfque des trois Fre. 338. puiffances P, R, Q, la fomme de deux quelconques eft 340‍34% plus grande que la troifiéme, foit dans les Fig. 340.3 41. une verticale MA, c'est-à-dire, parallele a la direction GQ du poids Q; fur une partie quelconque AD de cette verticale foit fait un triangle ABD, dont les côtez AB, BD, foient à AD, comme les puiffances données P, R, font au poids donné Q. Enfuite après avoir achevé le parallelogramme ABDC, & prolongé les côtez AB, AC, vers P, R, foit prife BH vers P fur AP, telle qu'on ait AB. BH:: FG. GE. Du point H par D foit menée la droi-te HDK, laquelle rencontre AR en K, & rende ainfi (à caufe des paralleles BD, AR,) KD. DH:: AB. BH (confr.):: FG. GE. Cela fait,

1o. Si la droite HK des Fig. 340. 341. eft égale à la longueur EF du Levier de la Fig. 33 8. placé en HK, il aura en D fon point G, d'où pendra le poids Q fuivant DA; & fes points E, F, en H, K, où les paiffances P, R, lui feront appliquées fuivant AP, AR. Donc puifque (constr.) ces puillances P, R, & ce poids Q, font entreeux comme AB, BD, AD, c'est à-dire ( à caufe da rallelogramme ABDC) comme AB, AC, AD; les deuxpuiffances P, R, appliquées fuivant HP, KR, aux extrêmitez du Levier EF de la Fig. 3 3 8. placé ici en HK, y` demeureront ( Th. 21. part. 6.) en équilibre avec ce Levier chargé du poids Qen fon point G. Ce qu'il falloit 2°. faire & demontrer.

pa

2o. Si la droite HK des Fig. 340. 341. eft plus longue ou plus courte que le Levier FE de la Fig. 3 3 8. foit prife KLFE, fur cette même KH prolongée, s'il eft eft necessaire, du côté de H; de fon point L foit faite Le parallele à AR, & qui rencontre AP en e; duquel point foit ef parallele à HK, & qui rencontre AM, AR, en G, f. ·

FIG. 339.

FIG. 339.

je dis que cette droite fe KL ( conftr.) au Levier FE de la Fig. 33 8. fera la pofition requife de ce Levier dans les Figures 340. 341. lequel y étant ainfi placé, aura fes points F, E, G, enf,e,G,& fon poids Qdirigé fuivant DA. Donc puifque (conftr. ) les puiffances P, R, & ce poids Q, font entr'eux comme AB, BD, AD, c'est-àdire (à caufe du parallelogramme ABDC) comme AB, AC, AD; les puillances P, R, appliquées fuivant eP,fR, aux extrêmitez e,f, ou E, F, du Levier EF placé en ef, le foûtiendront alors en équilibre avec fon poids Q. Ce qu'il falloit 3°. faire & démontrer.

Cas de Fentre E&G, comme dans la Fig. 339.

IV. Dans ce cas de la Fig. 339. lorfque R-PQ, la poffibilité du Problême exige de plus ( Th. 2 1. Corol. 1 3.) P.R:: GF. GE. Cela étant, il n'y aura qu'à donner aux puiffances P, R, des directions paralleles à celle GQ du poids Q, defquelles directions celle de R foit contraire aux deux autres: alors ce poids donné Q fe trouvera ( Th. 21. Cor. 13.) en équilibre avec les deux puissances P, R. Ce qu'il falloit 4°. faire & démontrer.

V. Dans le même cas de la Fig. 3 39. lorfque des trois 342 343. puiffances P, R, Q, la fomme de deux quelconques eft plus grande que la troifiéme, foit auffi dans les Fig. 342. 343. comme dans les Fig. 340. 341. de l'art. 3. une verticale ou parallele MA à la direction GQ du poids Q fur une partie quelconque AD de cette verticale, foit auffi fait un triangle ACD, dont les côtez CD, CA, foient à cette partie arbitraire AD, comme les puiffances données P,R, font au poids donné Q. Enfuite après avoir achevé le parallelogramme ABCD, & prolongé fes côtez AD, AB, vers Q, P, avec fa diagonale CA vers R, foit prife AH fur AP, telle qu'on ait AB. AH::GF. GE. Du point H par C foit la droite HCK, laquelle rencontre AQ en K ̊, & rend ainsi (à caufe des paralleles BC, AQ KC. KH : : AB. AH ( 6onftr.) :: GF. GE. Cela fait,

r. Si la droite HK des Fig. 342. 343. eft égale à la longueur EG du Levier de la Fig. 339. ce Levier GE placé en KFI, aura en C fon point F, ou la puiffance R lui fera appliquée fuivant CR; & les deux autres points E, G, en H, K, où la puiffance P, & le poids Q, lui feront appliquez fuivant AP, AQ. Donc puifque les puiffances P, R, & ce poids Q, font entr'eux comme CD, CA, AD, c'est-à-dire ( à caufe du parallelogramme ABCD) comme AB, AC, AD: les deux puiffances P, R, ainfi appliquez fuivant HP, CR, aux points E, F, du Levier GE de la Fig. 339. qui placé ici en KH, les aura en H, C, y demeureront en équilibre avec ce Levier chargé du poids Q fuivant la verticale MA prolongée vers K, dans laquelle fera fon point G de fufpenfion. Ce qu'il falloit 50. faire & démontrer.

2o. Si la droite KH des Fig. 342. 343. eft plus longueou plus courte que ce Levier GE de la Fig. 339. foit prife: KL GE, fur cette même KH prolongée, s'il eft neceffaire; de fon point L foit faite Le parallele à AQ, & qui rencontre AP en e, duquel point foit eG parallele à HK, & qui rencontre MA, RC, prolongées en G, f. Je dis que cette droite eG=LK (conftr.)au Levier EG de la Fig. 339. fera la pofition requife de ce Levier dans les Fig. 342.343. lequel y étant ainfi placé, aura fes points G, F, E, en G,f,e, des Fig. 342. 343. fon poids Qappliqué en G fuivant AD, & les puiffances R, P, appliquées fuivant CA, AB, en f, e, où feront les points F, E, de ce Levier GE placé en Ge. Donc puifque ces puiffances P,R,& ce poids Q, font entr'eux (conftr.) comme DC, CA, AD, c'est-à-dire ( à cause du parallelogram-me ABCD) comme AB, AC, AD, ces deux puiffances P, R, & ce poids Q, ainfi appliquez au Levier GE de la Fig. 339. placé en Ge dans les Fig. 342. 343. y demeu reront (Th. 21. part. 6.) en équilibre entr'eux. Ce qu'il. falloit 6°. faire & démontrer..

E10. 3441

PROBLEME X.

Quatre puiffances P, Q, R, K, étant données en raison des lignes AB, AC, AE, AD, les appliquer à autant de cordons réunis ensemble par un même noud, & les diriger de maniere qu'elles faffent équilibre entr'elles.

SOLUTION.

De deux quelconques AB, AC, des quatre lignes proportionnelles aux quatre puiffances données, foit fait le parallelogramme ABFC, dont la diagonale AF foit moindre que la fomme des deux autres proportionnelles AE, AD. Soient enfuite des centres A, F, & des rayons AD, AE, deux arcs de cercles qui fe coupent en D dans le plan du parallelogramme ABFC, ou hors de ce plan, il n'importe. Après cela menez AD, FD, avec AR parallele à FD, & prolongez DA vers K.

des

Cela fait, je dis que fi l'on met en A le noeud commun quatre cordons, & qu'on les dirige fuivant AB, AC, AR, AK, les quatre puiffances données P, Q, R, K, appliquées à ces quatre cordons AP, AQ, AR, AK, ainfi dirigez, demeureront en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit faire.

DEMONSTRATION.

Soit menée DE parallele à AF, & qui rencontre en E la droite AR déja (Hyp.) parallele à FD ; ce qui forme le parallelogramme AEDF. La conftruction precedente rendant les lignes AB, AC, AE, AD, en raifon des puiffances données P, Q, R, K, & appliquées fuivant ces lignes; le parallelogramme AEDF fait de la proportionnelle AE, & de la diagonale AF du parallelogramme ABFC fait des deux proportionnelles AB, AC, fera ici le dernier des parallelogrammes faits comme dans le Corol. 10. dų Lem. 2. ou comme dans la démonstration de la partie 2. du Theoreme 4. & la puiffance K fera ici aux trois autres