sout ce qu'il falloit faire & démontrer dans cette part. I. dí

sas 2.

PART. II. Il s'agit prefentement de faire voir que ce Problême de quatre cordons de directions données en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle décrit fur ce plan, de leur noeud commun comme centre, est toûjours indéterminé. Pour cela il eft à confiderer que,

1. La liberté qu'on a eue dans l'art. 1. de la part. I.. Fig. 348. 349. de mener à volonté par le nœud A, fur le plan de ces quatre cordons AB, AC, AD, AE, la ligne droite RAP à travers de leurs angles BAE, CAD, pouvant diversifier à l'infini les rapports entr'elles des quatre droites AG, AK, AL, AH; & confequemment auffi ceux. des quatre puiffances B, C, D, E, qu'on vient de voir, (part. 1. art. 1.) devoir toûjours demeurer en équilibre entr'elles fuivant ces directions, tant que ces quatre puiffances font entr'elles en raifon de ces quatre lignes corref pondantes: il fuit de-là qu'une infinité de puiflances quatre à quatre, dans des rapports tout differens & variez à l'infini, pourront ici faire équilibre entr'elles fuivant les mêmes directions données : & confequemment que le cas 2. de la queftion propofée, eft ici un Problême indéterminé. Ce qu'il falloit 1°. démontrer..

les

2°. Quoique dans l'art. 2. de la part. 1. Fig. 350. le rapport de AG à AL foit déterminé par les pofitions données de AB, AD, & de la droite CAE en même plan; cependant la liberté qu'on a eue d'y prendre KH, & confe-quemment auffi AH à volonté, pouvant diverfifier à l'infini non feulement le rapport de AH à KH, mais encore. rapports de ces deux parties du cordon AC aux deux AG, AL, des cordons AB, AD; il fuit de-là que les rap-ports entr'elles des quatre parties AG, KH, AL, AH, de ces cordons font variables à l'infini : & confequemment auffi les rapports des quatre puiflances B, C, D,E, qu'on vient de voir (part. 1. art. 2.) devoir toujours ici demeurer en équilibre entr'elles, tant qu'elles y feront entr'elles comme ces quatre parties correspondantes des ·

Cordons AB, AC, AD. Donc une infinité de puiffances quatre à quatre, pourront encore ici faire équilibre entreelles fuivant les mêmes directions AB, AC, AD, AE, qui y font données en même plan, & de quatre cordons répandus en plus d'un demi-cercle. Par confequent le cas 2. de la queftion propofée, eft encore ici un Problême indéterminé. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

3. Dans l'art. 3. de la part. 1. Fig. 351. quoiqu'il y Fr. 5517 foit requis pour l'équilibre entr'elles des quatre puiffances B, C, D, E, fuivant les directions qui y font données (Hyp.) en lignes droites deux à deux, que les deux directement oppofées de ces puiffances, telles qui y font (Hyp.) Bà D, & Cà E, foient ainfi deux à deux égales entr'elles : fçavoir, BD, & CE cependant chacun de ces deux couples de puiffances égales y étant à volonté, le rapport de chacune du premier couple à chacune du fecond, y eft encore variable à l'infini. Par confequent une infinité de puiffances quatre à quatre, en des rapports differens à l'infini, pourront encore ici faire équilibre entr'elles fuivant les quatre directions qui y font données. Donc le cas 2. de la queftion propofée, eft encore ici un Problême indéterminé. Ce qu'il falloit 3°. démontrer.

Donc (art. 1.2.3.) quelques foient les directions données de quatre cordons AB, AC, AD, AE, en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle décrit fur ce plan, d'un centre qui feroit le noeud commun A de ces quatre cordons; le Problême propofé fera toûjours indé terminé. Ce qui est tout ce qu'il falloit démontrer dans cette part. 2. du cas 2.

PART. III. Cette partie 3. eft que lorfque les quatre cordons de directions données toutes en même plan, ne font pas répandus en plus d'un demi-cercle, le Problême eft impoffible. Cela fe trouve démontré dans le Corol. 2. du Lem. 4.

CONCLUSION DES CAS I. II.

Donc quelques foient les directions données de quatre

FIG. 352

cordons attachez enfemble par un feul & même noeud,, aufquels il s'agit d'appliquer quatre puiflances ( une à chacun (qui faffent équilibre entr'elles fuivant les direations données; le Problême peut être tantôt déterminé, tantôt indéterminé, & quelquefois impoffible : fçavoir,

1o. Déterminé (part. 1. z. du cas 1.) lorfque les quatre cordons de directions données font en des plans differens, & répandus en plus d'une demi-fphere.

2o. Indeterminé (part. 1. 2. dù cas 2.) lorfque ces quatre cordons font tous en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle..

3o. Enfin impoffible (part. 3. des cas 1. 2.) lorsque ces quatre cordons de directions données, font en des plans differens fans être répandus en plus d'une demi-sphere, ou tous en même plan, fans être répandus en plus d'un

demi-cercle..

C'est-là tout ce qu'il s'agiffoit de trouver & de démontrer dans le Probleme propofé..

PROBLEME XV.

Soient à volonté les directions données de cinq cordons · 353 354. AB, AC, AD, AE, AF, attachez tous ensemble par un feml & méme nœud A on demande cinq puissances, qui appliquées à ces cing cordons, une à chacun, fassent toutes en Jemble équilibre entr'elles..

SOLUTION.

Je dis que ce Problême eft toûjours indeterminé ou im poffible, foit que les directions données foient en plans differens, ou toutes en même plan.