C.A.S I

Lorfque les cinq directions données font en plans diffele Probleme est toujours indéterminé· ou impoffible.

rens,

Voici la démonstration de cette propofition en trois parties, dans lefquelles je vas faire voir,

I. Que lorfque les cinq cordons de directions données en plans differens, font répandus en plus d'une demi-fphe re, dont leur nœud commun foit le centre; le problème eft toûjours poffible.

II. Qu'alors il eft toûjours indéterminé.

III. Que lorfque ces cinq cordons de directions don nées en plans differens, ne font pas répandus en plus d'une demi-fphere, le Problême eft toûjours impoffible..

i

PART. Į. Puifque (Hyp. ) les cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, font ici en plans differens, & répandus en plus d'une demi-sphere, il n'y en peut avoir en même plan, d'un feul côté duquel tous les autres fe trouvent: autrement ils ne feroient tous répandus que dans une demifphere terminée par ce plan; ce quieft contre l'hypothese. Donc de ces cinq cordons il y en aura toûjours deux feuls en même plan, & les trois autres de part & d'autre de ce plan, qui prolongé paffera entr'eux. Soient AB, AE, leз deux fe trouvent feuls dans un plan BAE: la part. 3. du Lem. 5. fait voir que quelque foit ici la difpofition des trois autres cordons AC, AD, AF, ce plan BAE prolongé par de-là le noeud commun A de tous, paffera toujours à travers ces trois-ci, par exemple, fuivant AO; & que ce plan BEAO aura toujours d'un côté de lui (que j'ap pelle le deffus) deux AD, AF, de ces trois autres cordons, & de l'autre côté ( que j'appelle le deffous) le troifiéme AC: & foit que ce cordon AC foit, ou non, en ligne droite avec un des deux autres AD, AF; ils feront toujours en-tr'eux pour le moins deux angles DAF, CAF, ou DAF,, CAD. Cela pofé,

SOLUTION.

Sur le plan DAF dans l'angle de ce nom, foit la droite AS de grandeur & de pofition arbitraires, laquelle fasse un angle quelconque SAC avec le cordon AC; ce qui ne pourra être autrement, fi les trois AC, AD, AF, font en plans differens ; & ce qui fera toûjours poffible, s'ils font tous trois en même plan, puifque (Hyp.) AD ou AF fait un angle avec AC. Autour de cette diagonale AS foit le parallelogramme LM, de côtez AL, AM, pris fur les cordons AD, AF, fuppofez au-deffus du plan BEAO, au deffus duquel cette diagonale AS fera confequemment auffi. Ayant ainfi AS au-deffus de ce plan, & (Hyp.) AC au-deffous ; il eft vifible que le plan SAC coupera celui-là en quelque fection AP qui fera ainfi dans ces deux plans BEAO, SAC. Donc ST parallele à AC, rencontrera cette fection.commune AP en quelque point T, duquel fi l'on amene TK parallele à AS, elle rencontrera auffi le cordon AC en quelque point K, & achevera ainfi fur le plan SACP le parallelogramme SK, dont la diagonale AT fera auffi dans le plan BEAOP des deux cordons AB, AE: defquels le cordon BA prolongé vers Q, fera confequemment rencontré en quelque point G par TG parallele à AE: de forte que AE devant auffi être rencontrée en quelque point H par GH parallele à AP; l'on aura enfin dans ce plan BEAOP le parallelogramme HT, dont la diagonale AG fera (Hyp.) en ligne droite avec AB.

Cela fait, je dis que fi aux cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, de directions ici données en plans differens, l'on applique autant de puiffances (une à chacun) B, C, D, E, F, qui foient entr'elles comme les parties correfpondantes AG, AK, AL, AH, AM, de leurs directions: ces cinq puiffances demeureront ici toutes en équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions données.

DEMONSTRATION.

Puifque (Hyp.) F. D::AL. AM. le Lem. 1. fait voir

que du concours d'action de ces deux puiffances F, D, ilrefultera au nœud A une impreffion ou force ( que j'appelle S) fuivant AS, équivalente à l'effort commun de ces deux puiffances F, D, fur ce noeud A: laquelle force S fera à chacune d'elles comme cette diagonale AS du parallelogramme ML fera à chacun de fes côtez correfpondans AM, AL ; de forte que l'on aura ici S. C:: AS.AK. Par confequent (Lem. 2.) du concours d'action de ces deux forces S, C, fur ce noud A, il lui en resultera une (que j'appelle T) fuivant AT, équivalente à l'effort commun des trois F, D, C, fur ce noeud A: laquelle force T fera à la puiffance C, comme cette diagonale AT du parallelogramme SK fera à fon côté correfpondant AK; c'està-dire, T. C:: AT. AK. Or (Hyp.) C. E.:: AK. AH.Donc T. E:: AT. AH. Par confequent (Lem. 2. ) du concours d'action de ces deux forces T,E, fur le noeud. A, il lui en refultera une ( que j'appelle G, fuivant AG, équivalente à l'effort commun des quatre puiflances F, D, C, E, fur ce noeud A; laquelle force G fera à la puif-fance E, comme cette diagonale AG du parallelogramme TH fera à fon côté correfpondant AH; c'est-à-dire, G. E:: AG. AH. Or on a aufi (Hyp.) B. E:: AG. AH. Donc GB. Par confequent ces deux forces égales G, B, étant (Hyp.) directement oppofées, il y aura ici équilibre en-tr'elles. Or on vient de voir que la premiere G eft équivalente à tout l'effort que les quatre puiffances C, D, E, F, font-enfemble de A vers G fuivant AG ou AQ fur le noud A. Donc ces quatre puiffances feront ici équi-libre avec la cinquiéme B. Ce qu'il falloit 1. trouver & dé

montrer:

PART. II. Si l'on confidere que dans la precedente fo lut. part. 1. la diagonale AS du parallelogramme LM, a été prife de grandeur & de position indéterminées, on verra que les côtez AL, AM, de ce parallelogramme font auffi indéterminez de grandeur & de rapport non feulement entr'eux, mais encore avec AK, AH, AG.. Donc les rapports entr'elles de ces cinq lignes AG, AK,,

AL, AH, AM, font variables à l'infini. Cependant on vient de démontrer (part. 1.) que cinq puiffances B, C, D, E, F, en raison de ces cinq lignes, & appliquées chacune à chacun des cinq cordons correfpondans AB, AC, AD, AE, AF, ainfi dirigez, feroient toujours équilibre entr'elles fuivant ces directions données. Donc une infinité de puiffances, cinq à cinq, en des rapports differens à l'infini, feroient ainfi équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions. Par confequent le Problême eft ici indéterminé. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

,

Si un des deux cordons AF, AD, fuppofe au-dessus du plan BAE, eft dans ce plan, on fe fervira encore d'eux comme Pon vient de faire dans la part. 1. pour prouver comme là le Probleme eft ici poffible; & un raisonnement femblable à celui de la part. 2. prouvera auffi comme la qu'il eft encore ici

que

indéterminé.

PART. III. C'eft ainsi (part. 1. 2.) que le Problême de cinq cordons de directions données en plans differens, est toûjours indéterminé tant que ces cinq cordons fe trouvent répandus en plus d'une demi-fphere dont leur noud commun foit le centre. Il s'agit prefentement de faire voir que ce Problême.eft toûjours impoffible, lorfque ces cinq cordons de directions données en plans differens, ne font pas répandus en plus d'une demi-fphere. C'est ce qui fe trouve démontré dans le Corol. 2. du Lem. 4. & ce qu'il falloit ici 3°. faire voir.

CAS II.

Lorfque les cinq directions données font toutes en mesme plan, le Probleme eft encore toujours indéterminé ou impoffible.

Voici auffi la démonftration de cette propofition en trois parties, dans lefquelles je vas faire voir,

I. Que lorfque les cinq cordons de directions données toutes en même plan, font répandus en plus d'un demicercle, le Problême eft toûjours poflible.

IL

II. Qu'alors il eft toûjours indéterminé.

III. Que lorfque les cinq cordons de directions données en même plan, ne font pas répandus en plus d'un demicercle, le Problême eft toûjours impoffible.

PART. I. Suppofons prefentement que les cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, des Fig. 35 2. 3 53.354. regar dez ci-dessus (cas 1.) comme en plans differens, font ici tous de directions données en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle, dont leur noeud commun A foit le centre; foit que ces cinq cordons ayent autant de directions differentes fur le plan commun, ou qu'il s'y en trouve en lignes droites les uns avec les autres. Dans cette hypothefe, où il n'y a plus de fections AO, AP, de plans differens, comme dans la part. 1. du cas 1. foient feulement les fimples droites AS, AP, qui en faisant entr'elles un angle quelconque SAP fur le plan de ces cordons, en divifent les angles FAD, DAC, dans les Fig. 35 2. 3 5 3. ou FAD, FAC, dans la Fig. 354. en tels rapports qu'on voudra, & dont AS foit auffi prise de grandeur arbitraire.

SOLUTION I.

Si dans la prefente hypothese l'on fait en même plan les parallelogrammes LM, SK, TH, de la maniere qu'on les a faits en plans differens dans la part. 1. du cas 1. &qu'on applique ici comme là aux cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, de directions encore ici données, autant de puiffances (une à chacun ) B, C, D, E, F, qui foient entr'elles comme les parties correfpondantes AG, AK, AL, AH, AM, de leurs directions: on démontrera ici que ces cinq puiffances y demeureront en équilibre entr'elles fuivant ces directions ici données en même plan, & de cordons répandus en plus d'un demi-cercle; comme on a démontré là que les cinq puiffances qu'on y a affignées, y devoient demeurer en équilibre fuivant les directions qui y étoient données en plans differens, & de cordons répandus en plus d'une demi-fphere. Donc le Problême eft toûjours poffible ici comme là. Ce qu'il falloit 1°. démonter.

Tome II.

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