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FIG. 355.

SOLUTION II.

Quelques foient les cinq directions ici dunnées en même plan, des cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, répandus en plus d'un demi-cercle, foit qu'il s'en trouve en lignes droites entr'eux, ou non ; il est visible que des cinq il y en aura toûjours quelqu'un qui ne fera en ligne droite avec aucun autre, & qui prolongé par de-là leur noud comme A, en aura toûjours deux de chaque côté de lui comme dans la Fig. 3 5 5. ou trois d'un côté, & un de l'autre comme dans la Fig. 356. Soit dans la Fig. 355. BA ce cordon qui prolongé vers Qait ainfi AC avec AD ďun côté, & AE avec AF de l'autre, foit que ceux d'un côté foient en lignes droites, ou non, avec ceux de l'autre. Sur cette droite BAQ foient prifes depuis A de part & d'autre, deux parties égales quelconques AG. AV: fur AV, & fur une partie quelconque AN de AG, comme diagonales, foient les parallelogrammes HL, MK, dont les côtez foient fur les cordons qui forment les angles que la droite BAQ divife en quelques rapports que ce foient.

Cela fait, je dis que fi aux cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, de directions ici données, l'on applique autant de puiffances (une à chacun) B, C, D, E, F, qui foient entr'elles comme les parties correfpondantes NG, AK, AL, AH, AM, de leurs directions; ces cinq puiffances demeureront ici en équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions.

DEMONSTRATION.

Puifque (Hyp.) D.E:: AL. AH. Et C.F:: AK. AM. Le Lem. 2. fait voir que du concours d'action des deux premieres puiffances D, E, fur le nœud A, il lui refultera une force ou impreffion (que j'appelle V ) de A vers Q fuivant AV ou AQ, laquelle force V fera à chacune de ces deux puiffances D, E, comme cette diagonale AV du parallelogramme HL fera à chacun de fes côtez correspondans AL, AH; & que du concours d'action des deux

F

autres puiffances C, F, fur le même noeud A, il lui refultera pareillement une autre force ou impreffion dire&ement contraire (que j'appelle N) de A vers B fuivant AB ou AN, laquelle force N fera auffi à chacune de ces deux autres puiffances C, F, comme cette diagonale AN du parallelogramme MK fera à chacun de fes côtez correfpondans AK, AM: de forte que l'on aura ici V.D :: ÂV. AL. Et C. N:: AK. AN. Donc ayant (Hyp.) D. C:: AL. AK. l'on aura auffi V. N:: AV. AN. Or venant de trouver N. C:: AN. AK. Et ayant (Hyp.) C. B:: AK. NG. l'on aura de même N. B:: AN. NG. Et confequemment N. NB:: AN. AN+NG. (AG) Donc V.N-B :: AV. AG. De forte qu'ayant ici (Hyp.) AV AG, l'on y aura auffi VN B. Donc N-B étant (ci-deffus) l'effort total de A vers B fuivant AB, refultant du concours d'action des trois puiffances C,F, B, fur le nœud A; & V un effort directement contraire de A vers Q fuivant AQ fur le même noeud A, refultant du concours d'action des deux autres puiffances D, E, contre ces trois-là ; ces cinq puiffances demeureront ici en équilibre entr'elles fuivant les directions qu'on y suppose données. Ce qu'il falloit auffi démontrer.

SOLUTION III.

Ce Problême de cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, F10. 356. de directions données toutes en même plan, & répandues en plus d'un demi-cercle, fe peut encore refoudre autrement, en menant au hazard fur le plan de ces cordons, & par leur noeud commun A, les droites RAP, AS, dont la premiere RP divife deux DAE, BAC, de leurs angles en quelques rapports que ce foient, & la feconde AS divife un EAF de leurs autres angles en quelque rapport que ce foit auffi. Autour de AS(comme diagonale) prife de grandeur auffi arbitraire que fa pofition l'eft dans l'angle EAF, foit le parallelogramme HM des côtez AH, AM, pris fur ceux AE, AF, de cet angle. Du point S parallelement à AD, foit menée SQ qui rencontre AR en Q;

duquel point Q foit auffi menée parallelement à AS, la droite QL, qui rencontre AD en L, & acheve ainfi le parallelogramme SL, dont AQ eft la diagonale. Enfuite de l'autre côté de A fur la droite RAP, foit prife AN AQ, & fur cette diagonale AN foit fait le parallelogramme GK de côtez AG, AK, pris fur AB, AC.

Cela fait, je dis que fi aux cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, de directions ici données toutes en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle décrit fur ce plan, de leur noeud commun A comme centre, l'on applique autant de puiffances (une à chacun) B, C, D, E, F, qui foient entr'elles commme les parties AG, AK, AL, AH, AM, de leurs cordons ainfi dirigez ; ces cinq puiffances. feront encore ici équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions données.

DEMONSTRATION.

Puifque (Hyp.) E. F:: AH. AM. le Lem. z. fait encore voir ici qu'en appellant S la force refultante du concours d'action de ces deux puiffances E, F, au noeud A fuivant AS; l'on aura ici S. É :: AS. AH. Ainfi ayant (Hyp.) E. D:: AH. AL. l'on aura pareillement ici S. D:: AS. AL. Par confequent (Lem. 2.) du concours de ces deux forces S, D, c'est-à-dire, des trois puiffances F, E, D, il refultera au nœud A une impreffion ou force de A vers R fuivant AR, laquelle étant appellée Q, l'on aura ici Q ́D:: AQ. AL. Il resultera de même ( Lem. 2.) du concours des deux autres puiffances B, C, à ce noeud A une force de A vers P fuivant AP en fens directement contraire, laquelle force étant appellée N, l'on aura auffi C. N :: AK. AN. Donc ayant (Hyp.) D. C:: AL. AK. l'on aura enfin Q. N:: AQ. AN. De forte qu'ayant (Hyp.) AQ=AN, l'on aura pareillement ici Q-N. Ainfi ces deux forces égales Q, N, fuivant AQ, AN, étant (comme l'on voit) directement contraires, feront ici équilibre entr'elles ; & par confequent auffi les cinq puiffances B, C, D, E, F, du concours defquelles on voit que

ces deux forces Q, N, refultent. Ce qu'il falloit encore ici démontrer.

la

I

353 354

PART. II. 1°. Si l'on confidere que dans la folut. 1. de P10.352. part. 1. Fig. 352. 353. 354. La diagonale AS du parallelogramme LM a été prife de grandeur & de pofition indéterminées, comme dans la part. I. du cas 1. Cette raifon, qui dans ce cas 1. a fait voir (part. 2.) que le Problême de cinq cordons de directions données en plans differens, & répandus en plus d'une demi-sphere, y étoit indéterminé, fera voir de même que celui-ci de cinq cordons de directions ici. données toutes en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle, y eft auffi indéterminé, & ce d'autant plus que la pofition de AP y eft de plus indéterminée.

2°. Quant à la folut. 2. de la part. 1. Fig. 355. la liberté FIG. 355qu'on y a eue auffi de divifer AG en N, en tel rapport qu'on a voulu, rendant arbitraires non feulement les rapports de NG à AK, AL, AH, AM, mais auffi ceux de AK, AM à AH, AL, rend les rapports entr'elles de ces cinq lignes variables à l'infini, quoique ceux de AK à AM, & de AH à AL, foient conftans, & qu'ils puiffent quelquefois être les mêmes, comme lorfque CAE & DAF font deux lignes droites. Donc auffi les rapports entr'elles de cinq puiflances B, C, D, E, F, proportionnelles (part. 1. folut. 2.) à ces cinq lignes NG, AK, AL, AH, ÂM, feroient ici variables à l'infini. Cependant on vient de voir (part. 1. folut. 2.) que cinq telles puiffances feroient toûjours équilibre entr'elles fuivant les directions icidonnées, defquelles ces cinq lignes font autant de parties. Donc une infinité de puillances, cinq à cinq, en des rapports differens à l'infini, feroient ici équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions données de cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, tous en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle Par confequent ce Froblême eft encore ici indéterminé.

3. De ce que dans la folut. 3. part. 1. Fig. 356. les deux F16.356. droites RAP, AS, font encore indéterminées de pofition,

FIG. 352 353. 354. 355.356.

& AS de grandeur, le tout comme dans la folut. 1. Fig. 352.3 53.354. de la même part. 1. Cette raifon, qui dans l'art. 1. de la prefente part. 2. vient de faire voir que le Problême dont il s'agit ici, y étoit indéterminé, fait voir de même qu'il l'eft pareillement ici.

4°. Mais ce qui prouve cela tout d'un coup & à la fois pour toutes les folut. 1. 2. 3. de la part. 1. Fig. 352.353: 354.355.356. c'eft que les deux puiffances D, F, qui fe reduifent à une S dirigée fuivant AS dans les Fig. 352. 3 53.354. part. I. folut. 1. comme font les deux puiffances E, F, dans la Fig. 356. de cette part. 1. folut.

3. & que les deux puiffances D, E, qui fe reduisent auffi à une V dirigée fuivant AV dans la Fig. 35 5. de la mêine part. 1. folut. 2. reduisant ainfi à quatre en même plan, & en plus d'un demi-cercle, les cinq cordons de cette part. 1. Le cas 2. du Problême 1. fait voir par cela feul que le Problême dont il s'agit ici, y eft toûjours indéterminé. Ce qu'il falloit 20. démontrer.

PART. III. C'est ainfi (part. 1. 2.) que le Problême de cinq cordons de directions données toutes en même plan, elt toûjours indéterminé tant que ces cinq cordons fe trouvent répandus en plus d'un demi-cercle, dont leur nœud commun foit le centre. Il s'agit prefentement de faire voir que ce Problême eft toûjours impoffible, lorfque ces cinq cordons de directions données en même plan, ne font pas répandus en plus d'un demi-cercle: c'eft ce qui fe trouve démontré dans le Corol. 2. du Lem. 4. & ce qu'il falloit ici 3°. faire voir..

CONCLUSION DES CAS I. II.

Donc quelques foient les directions données de cinq cordons attachez ensemble par un feul & même noeud aufquels il s'agit d'appliquer autant de puiffances (une à chacun) qui faffent équilibre entr'elles fuivant les directions données ; le Problême eft toûjours indéterminé ou impoffible: fçavoir,

1o. Toûjours indéterminé ( part. 1. 2. des cas, 1. 2.-) tant

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