que les cinq cordons de directions données, font en plans differens, & répandus en plus d'une demi-fphere, ou lorfqu'ils font tous en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle.

2o. Et toûjours impoffible (part. 3. des cas 1. 2.) tant que ces cinq cordons de directions données, font en plans differens, fans être répandus en plus d'une demi-fphere, ou tous en même plan, fans être répandus en plus d'un de

mi-cercle.

C'est-là tout ce qu'il s'agissoit de trouver & de démontrer dans le prefent Probl. 1 5.

REMARQUE GENERALE.

I. La folution du prefent Probl. 15. de cinq cordons F16.351. attachez enfemble par un feul noud, & de directions 353 354 données à volonté, fait affez voir comment on pourroit refoudre de même tout autre Problême de tant de cordons qu'on voudra, attachez ainfi ensemble, & de directions données à volonté. Mais il n'eft pas befoin d'entrer fur cela dans un plus grand détail pour voir ce que j'ai dit d'abord, que lorfque le nombre des cordons de directions ainfi données, eft au-deffus de quatre, le Problême eft toûjours indéterminé ou impoffible; puifque tel eft (cas 1. 2. da Probl. 15.) celui de cinq cordons, & que par la méthode précedente qui le fait voir, on reduira toujours à ce nom→ bre de cinq tel autre plus grand nombre de cordons qu'on voudra, précisement de la même maniere que dans la part. 1. des cas 1.2.de la folut. du Probl. 15. les cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, ont été reduits à AB, AC, AD, AS, dans les Fig. 352. 353.354. defquels AS pris ainfi pour un cordon tiré par une puiffance S, qui feroit à chacune des deux D, F, comme cette dia→ gonale AS à chacun des côtez correfpondans AL, AM, du parallelogramme LM, équivaudroit ( Lem. 2.) aux deux cordons AD, AF, tirez par ces deux puiffances D,F. Et comme ç'a été l'indétermination de pofition de ce nouveau cordon AS fubititué au lieu des deux AD,

quatre

FIG. 355. 356.

AF, avec une telle puiffance S, au lieu des deux D, F, qui a caufé l'indétermination de ce Probl. 15. dans les part. 1. 2. de fon cas 1. & l'a augmentée dans les part. I. 2. de fon cas 2. On voit que plus il y aura de cordons de directions données au-deffus de cinq, plus il y aura aussi de nouvelles raisons d'indétermination dans tous les autres Problêmes; lefquels, comme les deux précedens, feront toujours poffibles tant que les cordons y feront répandus en plus d'une demi-sphere, ou en plus d'un demi-cercle, & toujours impoffibles ( Lem. 2. Corol. 2.) dans tous les

autres cas.

Ce qu'on vient de dire des cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, reduits à quatre AB, AC, AE, AS, dans les Fig. 352.353.554. part. 1. des cas 1. 2. de la folut. du Probl. 15. fe dira pareillement des cinq cordons qui y ont été reduits de même à quatre AB, AC, AD, AS, dans la Fig. 356. & auffi à quatre AB, AC, AF, AV,dans la Fig. 355. pour faire encore voir que tel nombre de cordons qu'on voudra au-deffus de cinq, pourra toûjours fe reduire de même à cinq ; & de cette maniere reduire au Probl. 1 5. chacun de tous ces autres Problêmes, qui parlà feront (comme lui) toûjours indéterminez ou impoffibles.

II. Quant aux Problêmes de deux ou de trois cordons ainfi attachez ensemble par un feul noeud, & de directions auffi données à volonté, on voit affez,

1°. Que lorsqu'il n'y a que deux cordons de directions données, le Problême eft toujours déterminé à deux puiffances égales entr'elles, lorfque ces cordons font en ligne droite ; & toûjours impoffible, lorfqu'ils font quelqu'angle entr'eux : ce cas eft celui d'une fimple corde, aux extrêmitez de laquelle il faudroit appliquer deux puiffances propres à faire équilibre entr'elles, lefquelles la rendroient toûjours en ligne droite.

2°. Que lorfqu'il n'y a que trois cordons de directions données, le Problême eft toûjours auffi déterminé ou impoffible.

Il

Il eft toûjours déterminé, lorfque les trois cordons AB, AC, AD, en font donnez en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle. Car alors le prolongement de chacun d'eux ; par exemple, le prolongement AQ du cordon AB divifant toûjours l'angle CAD des deux autres AC, AD, en raison déterminée, le parallelogramme KL d'une diagonale quelconque AG, prife à volonté fur AQ, & de côtez AK, AL, ainfi déterminez fur AC, AD, aura toûjours cette diagonale en raifon déterminée à chacun de ces côtez ; & confequemment les trois puiffances B, C, D, requifes aux trois cordons AB, AC, AD, pour faire équilibre entr'elles fuivant ces directions ici données, devant être entr'elles comme les parties correfpondantes AG, AK, AL, de ces directions, chacune de ces trois puiffances fera toûjours ici en raison déterminée à chacune des deux autres ; & confequemment auffi le Problême y fera toûjours déterminé.

Au contraire il fera impoffible (Lem. 4. Corol. 2.) en tout autre cas; fçavoir, lorfque les trois cordons en même plan, n'y feront pas répandus en plus d'un demi-cercle; & auffi lorfqu'ils feront en plans differens, n'y pouvant répandus en plus d'une demi-sphere.

être

III. Joignons prefentement ces deux articles avec les folutions des deux Problêmes précedens ; & l'on verra pour tous les Problêmes imaginables où il s'agira d'affigner des puiffances, qui appliquées chacune à chacun de tant de cordons qu'on voudra, attachez enfemble par un feul noeud, & de directions données à volonté, feroient équilibre entr'elles fuivant ces directions: on verra, dis-je,

1o. Que (art. 2.) le Problême de deux ou de trois cordons, fera toûjours déterminé ou impoffible.

2°. Que (folut. du Probl. 14.) le Problême de quatre cordons fera tantôt déterminé, tantôt indéterminé,& quelquefois impoffible.

3°. Qu'enfin (folut. du Probl. 15. & art. 1. d'ici) tous les autres Problêmes de plus de quatre cordons à l'infini, feront toujours indéterminez ou impoffibles.

Tome II.

Y y

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FIG. 357.

IV. Cela étant de tous les Problêmes de directions données de tel nombre de cordons qu'on voudra, attachez tous ensemble par un feul & même noeud, & aufquels on demanderoit d'appliquer autant de puiffances (une à chacun) propres à faire équilibre entr'elles fuivant ces directions données : Cela, dis-je, étant ainfi (art. 3.) de tous ces Problêmes, il eft aifé de voir que ceux de directions données de differentes branches de corde, iffues de differens nœuds, ferapportant à quelqu'un de ceux-là en chaque nœud, font auffi tous déterminez, ou indéterminez, ou impoffibles, felon le nombre des branches ou cordons de chaque nœud ; fçavoir,

1° Déterminez ou impoffibles (art. 3. nomb. 1.) s'il ne part que trois cordons de chaque nœud; ce qui eft le moins qu'il en puiffe partir: deux cordons feuls ne faifant qu'une fimple corde; outre qu'ils ne rendroient encore (art. 3. nomb. 1.) le Problême que déterminé ou impof fible.

2o. Il fera (art. 3. nomb. 2.) déterminé, ou indéterminé, ou impoffible, s'il y a des noeuds de quatre cordons, & aucun de davantage.

3o. Enfin le Problême fera (art. 3. nomb. 3.) indéterminé, ou impoffible, s'il y a des noeuds de plus de quatre

cordons.

C'eft-là tout ce que j'avois avancé sur ce sujet, & ce qui comprend tous les Problêmes qu'on peut faire à l'infini par rapport à tel nombre de cordons qu'on voudra attachez enfemble par un feul ou plusieurs nœuds, & aufquels il faudroit appliquer autant de puissances (une à chacun) propres à faire équilibre entr'elles fuivant les directions données de ces cordons: les folutions de tous ces Problêmes fe trouveront précisement comme les précedentes des Probl. 14. 15. & du nomb. 2. de l'art. 2. de la Remarque qui les fuit ; il n'y aura de difficulté nouvelle que pour l'imagination à fe déméler de l'embarras des lignes & des plans que la multiplicité des cordons & de leurs directions données à volonté, y exigera pour tous les parallelogrammes qui y feront neceffaires, fur