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353. 3540

.

ces deux forces Q, N, resultent. Ce qu'il falloit encore ici démontrer.

PART. II. 1o. Si l'on considere que dans la solut. I. de F10.352. la part. 1. Fig. 352. 353-354. La diagonale AS du

.

parallelogramme LM a été prise de grandeur & de pofition indéterminées, comme dans la part. 1. du cas 1. Cette raison, qui dans ce cas 1. a fait voir (part. 2. ) que le Probleme de cinq cordons de directions données en plans differens, & répandus en plus d'une demi-sphere, y étoit indéterminé, fera voir de même que celui-ci de cinq cordons de directions ici données toutes en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle, y est aussi indéterminé, & ce d'autant plus que la position de AP y est de plus indéterminée.

2°. Quant à la solut. 2. de la part. 1. Fig. 355. la liberté FIG. 355. qu'on y a eue aussi de diviser AG en N, en tel

rapport qu'on a voulu, rendant arbitraires non seulement les rapports de NG à AK, AL, AH, AM, mais aussi ceux de AK, AM à AH, AL, rend les rapports entr'elles de ces cinq lignes variables à l'infini , quoique ceux de AK à AM, & de AH à AL, soient constans, & qu'ils puissent quelquefois être les mêmes , comme lorsque CAE & DAF font deux lignes droites. Donc aussi les rapports entr'elles de cinq puillances B,C,D, E, F, proportionnelles ( part. 1. folut. 2.) à ces cinq lignes NG, AK, AL, AH, AM, seroient ici variables a l'infini. Cependant on vient de voir (part. 1. folut, 2.) que cinq telles puissances feroient toûjours équilibre entr'elles suivant les directions icidonnées, desquelles ces cinq lignes sont autant de parties. Donc une infinité de puillances, cinq à cinq, en des rapports differens à l'infini, feroient ici équilibre entr'elles luivant ces mêmes directions données de cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, tous en même plan , & répandus en plus d'un demi-cercle Par consequent ce Troblème est encore ici indéterminé. 3o. De ce que dans la solut. 3. part. 1. Fig. 356. les deux F16.396.

:

, droites RAP, AS, lont encore indéterminées de position,

F16.3521 353. 354 355.356.

3.

&

2

& AS de grandeur, le tout comme dans la solut. I. Fig. 352.353.354. de la même part. I. Cette raison, qui dans l'art. 1. de la presente part, 2. vient de faire voir que le Problême dont il s'agit ici, y étoie indéterminé, fait voir de même qu'il l'est pareillement ici.

4o. Mais ce qui prouve cela tout d'un coup & à la fois pour toutes les solut. 1. 2. 3. de la part. 1. Fig. 352.353: 354; 3:55.356. c'est que les deux puissances D, E, qui fe reduisene à une S dirigée suivant AS dans les Fig. 352. 353:354, part. 1. solur. 1. comme font les deux puissances E, F, dans la Fig. 356. de cette part. 1. folut. que les deux puissances D, E, qui se reduisent aussi à une V dirigée suivant AV dans la Fig: 355. de la mêine parr. 1. folut. 2. reduisant ainsi à quatre en même plan, & en plus d'un demi-cercle, les cinq cordons de certe part. 1. Le cas 2. du Problême 1. fait voir par cela seul que le Problême dont il s'agit ici, y est toûjours indéterminé. Cequ'il falloit zo. démontrer. PART. III. C'est ainsi ( part. I. 2. ) que le Probleme

. de cinq cordons de directions données toutes en même plan, eit toûjours indéterminé tant que ces cinq cordons le trouvent répandus en plus d'un demi-cercle, dont leur næud commuo soit le centre. Il s'agit presentement de faire voir que ce Problême est toûjours impossible, lorsque

, ces cinq cordons de directions données en même plan, ne sont

pas répandus en plus d'un demi-cercle: c'est ce qui fe trouve démontré dans le Corol. 2. du Lem. 4. & ce qu'il falloit ici 3o. faire voir..

CONCLUSION DES CAS I. II. Donc quelques soient les dire&ions données de cinq cordons attachez ensemble par un seul & même noud, ausquels il s'agit

d'appliquer autant de puissances ( une à chacun) qui fassent équilibre entr'elles suivant les directions données ; le Problême est toûjours indéterminé ou impossible:sçavoir,

1°. Toûjours indéterminé (part. I.. 2. des cas. 1. 2.) tanc

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que les cinq cordons de directions données, sont en plans
differens , & répandus en plus d'une demi-sphere, ou
lorsqu'ils sont tous en même plan, & répandus en plus
d'un demi-cercle.

2o. Et toûjours impossible (part. 3. des cas 1. 2.) tant
que ces cinq cordons de directions données, sont en plans
differens, sans être répandus en plus d'une demi-sphere,
ou tous en même plan, sans être répandus en plus d'un de-
mi-cercle.

C'est-tout ce qu'il s'agissoit de trouver & de démontrer dans le present Probl. 15.

REMAR QUE GENER A L E. I. La solution du present Probl. 15. de cinq cordons P16.351. attachez ensemble par un seul næud , & de directions 353• 354 données à volonté, fait assez voir comment on pourroit refoudre de même tout autre Problême de tant de cordons qu'on voudra, attachez ainsi ensemble, & de directions données à volonté. Mais il n'est pas besoin d'entrer sur cela dans un plus grand détail pour voir ce que j'ai dit d'abord, que lorsque le nombre des cordons de directions ainsi données, eft au-dessus de quatre, le Problême est toûjours indéterminé ou impossible ; puisque tel est lcas 1. 2. da Probl

. 15.) celui de cinq cordons , & que par la méthode
precedente qui le fait voir , on reduira toujours à ce nome

à
bre de cinq tel autre plus grand nombre de cordons qu'on
voudra, précisement de la mêine maniere que dans la
part. 1. des cas 1.2.de la folut. du Probl. 15. les cinq cor-
dons AB, AC, AD, AE, AF, ont été reduits à quatre
AB, AC, AD, AS , dans les Fig. 351. 353.354:

def-
quels AS pris ainsi pour un cordon tiré par une puissance
S, qui seroit à chacune des deux D, F, comme cette dia- .
gonale AS à chacun des côtez correspondans AL, AM,
du parallelogramme LM , équivaudroit ( Lem. 2.) aux
deux cordons AD, AF, tirez par ces deux puissances
D,F. Et comme ç'a été l'indétermination de polition de
ce nouveau cordon AS subititué au lieu des deux AD,

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AF, avec une telle puissance S, au lieu des deux D, F,
qui a causé l'indétermination de ce Probl. 15. dans les
part. 1. 2. de fon cas 1. & l'a augmentée dans les part. 1.
2. de son cas 2. On voit que plus il y aura de cordons de
directions données au-dessus de cinq, plus il y aura aussi
de nouvelles raisons d'indétermination dans tous les autres
Problèmes ; lesquels, co:nme les deux précedens , seront
toujours possibles tant que
tant que les cordons

у

seront répandus en plus d'une demi-sphere, ou en plus d'un demi-cercle, & toujours impoffibles ( Lem. 2. Corol. 2. ) dans tous les

autres cas.

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ز

Ce qu'on vient de dire des cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, reduits à quatre AB, AC, AE, AS, dans les

, Fig. 352.353.554. part. 1. des cas 1. 2. de la solut. du Probl. 15. se dira pareillement des cinq cordons qui y ont été reduits de même à quatre AB, AC, AD, AS, dans la Fig. 356. & ausli à quatre AB, AC, AF, AV,dans la Fig. 35 5. pour faire encore voir que tel nombre de cordons qu'on voudra au-dessus de cinq, pourra toujours se reduire de même à cinq ; & de cette maniere reduire au Probl. 15. chacun de tous ces autres Problêmes , qui par

. là seront ( comme lui) toûjours indéterminez ou impossibles.

II. Quant aux Problêmes de deux ou de trois cordons ainsi attachez ensemble par un seul næud, & de directions aussi données à volonté, on voit assez,

1°. Que lorsqu'il n'y a que deux cordons de directions données, le Problême est toûjours déterminé à deux puissances égales entr'elles , lorsque ces cordons sont en ligne droite ; & toûjours impossible, lorsqu'ils font quelqu'angle entr'eux: ce cas est celui d'une simple corde , aux extrêmitez de laquelle il faudroit appliquer deux puissances propres à faire équilibre entr'elles, lesquelles la rendroient toûjours en ligne droite.

20. Que lorsqu'il n'y a que trois cordons de directions données, le Problême est toûjours aussi déterminé ou impossible.

Il

a

Il est toûjours déterminé, lorsque les trois cordons AB, F16.357. AC,AD, en sont donnez'en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle. Car alors le prolongement de chacun d'eux; par exemple, le prolongement AQ du cordon AB divisant toûjours l'angle CAD des deux autres AC, AD, en raison déterminée, le parallelogramme KL d'une diagonale quelconque AG, prise à volonté sur AQ, & de côtez AK, AL, ainsi déterminez sur AC, AD, aura coûjours cette diagonale en raison déterminée à chacun de ces côtez ; & consequemment les trois puissances B, C, D, requises aux trois cordons AB, AC, AD, pour faire équilibre entr'elles suivant ces directions ici données , devant être entr'elles comme les parties correspondantes AG,AK, AL, de ces directions, chacune de ces trois puissances sera toujours ici en raison déterminée à chacune des deux alltres ; & consequemment aussi le Problême y sera toûjours déterminé.

Au contraire il sera impossible ( Lem. 4. Coroi. 2.) en tout autre cas; sçavoir , lorsque les trois cordons en inêre plan, n'y seront pas répandus en plus d'un demi-cercle; & aussi loriqu'ils seront en plans differens , n'y pouvant être répandus en plus d'une demi-sphere.

III. Joignons presentement ces deux articles avec les solucions des deux Problêmes précedens; & l'on verra pour tous les Problêmes imaginables où il s'agira d'alligner des puissances, qui appliquées chacune à chacun de tant de cordons qu'on voudra , attachez ensemble par un seul næud, & de directions données à volonté, feroient équilibre entr'elles suivant ces directions: on verra, dis-je ,

1°. Que ( art. 2:) le Problême de deux ou de trois cordons , sera toûjours déterminé ou impossible.

2°. Que (solut. du Probl. 14. ) le Probleme de quatre cordons sera tantôc déterminé, tantôt indéterminé,& quelquefois impossible.

3°. Qu'enfin ( solut, du Probl. 15.& art. 1. d'ici ) tous les autres Problèmes de plus de quatre cordons à l'infini , seront toûjours indéterminez ou impossibles. Tome II.

Y y

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