GT Kk. Enfin après avoir auffi achevé le parallelogramme CMEN, foient fes côtez CN, CM, prolongez du côté de E vers H,K, & jufqu'à la rencontre en V, R, du Levier BQ auffi prolongé en ligne quelconque jufqu'à ces deux points V, R.

Cela fait, je dis que les deux puiffances données H, K, étant appliquées à ce Levier en deux points V,R, & dirigées fuivant ces lignes VH, RK, feront ensemble équilibre fur fon appui donné B, avec la troifiéme puissance donnée F de direction dounée QF.

DEMONSTRATION.

pa

Le parallelogramme CMEN rendant CN=EM (folut.) Hb, la folution donnant CM=Kk & ayant (Hyp.) Hb. Kk:: H. K. l'on aura pareillement ici CN. CM:: H.K. Donc (Lem. 3. Corol. 1. part. 1.) l'effort ou la force (que j'appelle E) refultante du concours d'action de ces deux puiffances H, K, fera de C vers E fuivant CE, & à la puiffance H comme cette diagonale CE eft au côté CN du rallelogramme CMEN, c'est-à-dire, E. H:: CE. ĈN. Mais (Hyp.) H.F:: Hb. Ff (folut.): : CN. CD. Donc { en raison ordonnée) E. F:: CD. CE. Donc auffi (Th. 21. part. 4.) l'effort ou la force refultante du concours de la premiere E, & de la puiffance F, c'est-à-dire, du concours des trois puiffances données K, H, F, fera ici de Cvers E fuivant la diagonale CA du parallelogramme CDAE, laquelle prolongée vers l'appui donné B, paffe (folut.) par cet appui. Donc enfin (Th. 21. part. 5.) il y aura ici équilibre entre ces trois puiffances données F, H,K, fur cet appui donné B. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Puifque le parallelogramme CDAE rend CE parallele à DA, qui l'eft (folut.) à GL, & que les triangles EMC, GTL, font (folut.) femblables entr'eux; & que la folution rendant auffi leurs autres côtez EM, ou (à cause de l'autre parallelogramme EMCN) CN parallele à GT,&

CM parallele à LT. D'où l'on voit que les directions demandées CH, GK, des puiffances H, K, étant ici (folut.) fuivant CN, CM, font auffi paralleles à GT, LT: fçavoir, CN à GT, & CM à LT. De forte qu'en les faifant telles par le point C dès que les deux triangles GTL, QGL, ont été faits, on les auroit eues fans le fecours d'aucun parallelogramme. Mais pour fçavoir de quels côtez du Levier BQ prolongé ces deux puiffances H, K, doivent être placées dans ces directions CH, CK, le parallelogramme CMEN étoit neceffaire, le point E de fa diagonale CE, étant (par rapport à C) du côté vers lequel ces deux puiffances ainfi dirigées doivent agir; & pour avoir la position de ce point E par rapport à C, c'està-dire, la pofition de cette diagonale CE, qui eft un des côtez de l'autre parallelogramme CDAE, cet autre parallelogramme étoit pareillement neceffaire.

COROLLAIRE II.

De ce que (folut.) les angles QGT, GTL, font tous deux arbitraires ou variables à la fois ; & de ce que (Corol. I. ) les directions CH, CK, des puiffances données H, K, font toûjours paralleles aux côtez GT, TL, de ces deux angles, & confequemment variables comme les pofitions de ces deux côtez le font pendant que la direction donnée CF de la troifiéme puiffance donnée F, demeure conftante & toujours la même : il refulte que le Problème dont il s'agit ici, eft fufceptible d'une infinité d'infinité de folutions, en prenant ici pour differentes folutions de ce Problême, celles qui, quoiqu'illues d'une même méthode & d'une même direction donnée d'une même puiffance donnée,différent dans les directions demandées des autres puillances pareillement données; laquelle infinité d'infinité de folutions eft le produit du nombre infini d'angles poflibles QGT, multiplié par le nombre pareillement infini d'angles poffibles GTL, c'est-à-dire, est le quarré d'un quelconque de ces deux nombres infinis, que ces

deux angles également variables rendent égaux. En effet la liberté que la folution précedente donne de faire à la fois les angles QGT, GTL, tels qu'on voudra, permettant de faire chacun d'eux conftant & toûjours le même pendant qu'on variera l'autre à volonté ;

1o. Si l'on fuppofe le fecond GTL conftant pendant que le premier QGT variera à l'infini, la feule varieté infinie de celui-ci changera à l'infini les pofitions de leurs côtez conftans GT, TL, & des variables GL, QL. Ainsi BC menée de l'appui donné B jufqu'à la direction donnée QF prolongée de la puiffance donnée F, étant toûjours (folut.) parallele à QL, & les directions CH, CK, des deux autres puiffances données H, K, étant toûjours aufsi (Corol. 1.) paralleles aux côtez (folut.) conftans GT, TL, de l'angle GTL ici fuppofé pareillement conftant: la feule variabilité à l'infini de l'angle QGT, rend auffi variables à l'infini les directions CB, CH, CK, de l'appui donné B, & des puiffances données H, K. Donc trois fimultanées quelconques de ces directions iffues d'un même angle quelconque QGT, fourniffant (folut.) une folution du Problême; la feule variabilité à l'infini de cet angle, qu'on voit les rendre aussi variables à l'infini, doit fournir ainfi autant de folutions differentes de ce Problême que d'angles QGT, c'eft-à-dire, une infinité ; & confequemment cette feule variabilité à l'infini de l'angle QGT, rend ce Problême fufceptible d'une infinité de folutions differentes.

20. Si prefentement on fuppofe cet angle QGT conftant pendant que GTL variable (folut.) comme lai, variera à l'infini, on démontrera ici, comme l'on a fait dans le nomb. I. par rapport à la feule variabilité à l'infini qu'on y fuppofoit de cet autre angle QGT: on démontrera, disje, ici (comme là pour la feule variabilité de l'angle QGT) que la feule variabilité qu'on y fuppofe à l'infini de l'angle GTL, doit y varier de même à l'infini les directions CB, CH, CK, de l'appui donné B, & des puiffances pareillement données H, K. Donc cette feule variabilité ici

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fuppofée de cet angle GTL, y fournira (comme la feule variabilité de l'angle QGT dans le nomb. 1.) autant de folutions differentes du Problême dont il s'agit ici, qu'elle peut fournir d'angles GTL differens ; & confequemment rendra pareillement ici feule ce Problême susceptible d'une infinité de folutions differentes.

3°. Puifque (nomb. 1.) pour chaque angle GTL la feule variabilité de l'angle QGT fournit autant de folutions differentes du Problême dont il s'agit ici, qu'elle peut fournir d'angles QGT differens; & que (nomb. 2.) pour chaque angle QGT la feule variabilité de l'angle GTL en fournit de même autant de folutions differentes qu'elle peut fournir d'angles GTL differens: ces deux variabilitez permises à la fois par la folution precedente, fourniront ensemble de ce Problême un nombre de folutions égal au produit entr'elles des deux infinitez d'angles QGT & GTL, fournies chacune par chacune de ces variabilitez des deux indéterminez ( folut.) de ces noms. Donc fuivant la folution precedente, le Problême dont il s'agit ici, y eft fufceptible d'une infinité d'infinité de folutions; laquelle infinité d'infinité est le produit du nombre infini d'angles poffibles QGT, multiplié par le nombre pareillement infini d'angles poffibles GTL, c'est-à-dire, eft le quarré d'un quelconque de ces deux nombres infinis, que ces deux angles également variables rendent égaux : le tout ainfi qu'on le vient d'avancer au commencement de ce Corollaire-ci.

COROLLAIRE III.

Un raisonnement semblable à celui qui vient de faire voir dans le precedent Cor. 2. que les variabilitez à l'infini des angles QGT,GTL,que la folution permet arbitraires à la fois entre des côtez dont l'un eft conftant QG, GT,TL, rendent ensemble le Problême fufceptible d'une infinité d'infinité de folutions, fera voir de même que ces deux variabilitez ensemble des angles QGT, GTL, doivent rendre auffi la charge de l'appui donné B (resultante du