Imágenes de páginas
PDF
EPUB

fa direction au point d'appui trouvé du Levier, fur lequel toutes ces puiffances de directions données feroient feules équilibre entr'elles. Alors ( reftituant l'appui donné, & ôtant le fuppofé) le Problême ainfi réduit à cette nouvelle puiffance connue, feule de point d'application & de direction connues, & aux autres toutes de points d'application & de directions demandées, feroit dans les conditions du dernier qu'on vient de refoudre, & confequemment fe refoudroit alors comme lui.

FIG. 400.

MACHINES

SANS FROTTEMENT,

Démontrées fuivant les principes de la Nouvelle
Mécanique.

T

Out ce que l'on voit de Machines fans frottement, eft fait d'un rouleau ou cylindre, qui fert d'effieu à une roue en forme de poulie. Ce rouleau auquel pend un fardeau, est soùtenu par deux cables attachez au haut d'une efpece de grue, en forte que ces cordes & celle du fardeau s'entortillent neceffairement autour de ce rouleau dès que la puiffance appliquée à sa roue l'oblige de

tourner.

La feule vûe de ces Machines fait à la verité voir que tout cela s'y execute fans frottemens ; mais en échange le rapport de la puiffance au poids qu'elle doit enlever, y paroît fi confiderablement au-deffus de ce qu'il feroit, fi cette poulie ne tournoit que fur un centre fixe, qu'il y a grand lieu d'appréhender qu'on ne perde bien autant, & peut-être plus, de ce côté-là, qu'on ne gagne de l'autre. En effet, fans même avoir d'égard à la pefanteur de la poulie & de fon rouleau, fi l'on confidere, lorfque cette Machine MHN s'appuye en H fur les bras de gruau CD, que la puiffance E foutient le poids F, de meme qu'elle feroit avec un levier GL, dont l'appui feroit en H, & auquel cette puiffance & ce poids feroient appliquez en G & en L ; l'on trouvera que cette puiflance & ce poids doivent ici être entr'eux en raifon reciproque des perpendiculaires tirées du point H fur leurs directions EG & FL; c'est-à-dire, lorfque ces directions font paralleles, comme HLà HG, ou bien (en faifant HI parallele à ces direAtions, & par le centre A l'horifontale MN) comme IN à

IM;

IM; au lieu que dans l'ufage ordinaire où cette Machine tourneroit autour de fon centre A fur un pivot fixe ( faifant abstraction du frottement qu'il y auroit ) la puiffance E feroit toûjours au poids F, quelques directions qu'ils euffent, comme le rayon AN du rouleau HN au rayon AM de la poulie: ce qui demande un furcroît de forces dans la puiffance E d'autant plus confiderable que les bras de gruau CD font un plus grand angle avec l'horifon; parce qu'alors IA en devenant plus grande, le rapport de IN à IM en furpasse aufli d'autant plus celui de

AN à AM.

Par exemple, fuppofé que ces bras de gruau CD fassent un angle de 30. deg. avec l'horifon auquel les directions EG & FL foient perpendiculaires, l'angle IHA, étant auffi pour lors de 30. degrez, IA fera la moitié de AN: faifant donc AN de deux parties, dont le rayon AM en contienne, fi l'on veut, 10. AN fera en ce cas à MA, comme 2. à 10. & IN fera à MI, comme 3. à 9. Ainfi fi le poids F étoit, par exemple, de 100. liv. dans l'ufage ordinaire où le point fixe feroit en A, la puiffance Ene feroit que de 20. liv. & dans l'ufage prefent elle devroit être de 33. liv. . Si l'angle de ces bras de gruau avec l'horison étoit de 5o. deg. Tangle IHA étant aufsi pour lors de 50. deg. AI feroit de 1.1013. ce qui feroit IN de 3.130117. & IM de 8.73. ainfi la puiffance E feroit alors de 45. liv. 2869,41,45 ce qui eft plus du double de ce qu'elle feroit dans l'ufage ordinaire. Si l'angle de gruaux avec l'horifon étoit de 70. deg. par un femblable changement, la puissance E feroit de 15674061. & ainfi toûjours en augmentant à mesure que cet angle augmentera, jufqu'à ce qu'enfin ces bras de gruau foient perpendiculaires à l'horifon ; & alors l'appui du rouleau HA fe trouvant en B, comme dans la Machine ou ce rouleau ne feroit foutenu qu'avec des cordes perpendiculaires KB, la puiffance E feroit au poids F,

20301537

2509

Tome II.

2 0 6 6 9 8 7 3

47.

Fff

liv.

comme le diamétre BN du rouleau HN à BM moitiéide la difference qui eft entre ce diamétre & celui de la poulie; c'eft-à-dire ici, comme 4. à 8. ou comme 50. liv. contre 100. liv. & par confequent une fois & demi plus grande qu'il n'auroit fallu dans l'ufage ordinaire. Après cela je laiffe à juger s'il y a du gain ou de la perte à fauver ainfi les frottemens.

Il eft vrai que le poids F doit monter ici plus vite que dans les Machines ordinaires, puifqu'il monte ici, & parce que fa corde s'entortille au rouleau HN, & parce que ce rouleau lui-même monte encore ; au lieu que dans les Machines ordinaires ce poids ne monte que par l'entortillement de fa corde autour de ce rouleau: mais ce furcroît de vîteffe n'eft point du tout à comparer à cette augmentation de puiffance, vû qu'on eft bien plus maître du tems que des forces: outre qu'à toute rigueur, c'eft-à-dire, toute vîteffe bien comptée, cette augmentation de forces feroit encore affez confiderable pour faire douter s'il n'y a point plus de perte que de gain à fauver ainfi les frottemens. En effet à prendre même la plus grande vîteffe que ce poids puiffe avoir avec ce rouleau mobile ; c'eft-à-dire, à la prendre double de ce qu'elle feroit fi ce rouleau avoit fon axe fixe; la puiffance E ne devroit être alors tout au plus que double de ce qu'elle feroit dans ce dernier état; & par confequent n'étant ici que de 20. liv. pour l'axe fixe de ce rouleau, elle ne devroit être tout au plus que de 40. liv. fur cet axe mobile. On la vient cependant de trouver de 50. liv. c'eft done 10. liv. pour les frottemens que cauferoient à ce rouleau fixe une puiffance de 20. liv. contre un poids de 100. Ce qui non feulement ici, où l'on fuppofe AM à AN, comme 10. à 2. mais encore dans tout autre rapport de ces rayons, fait affez voir qu'une telle puiffance eft toûjours à ce qu'il en coûte pour fauver ainfi les frottemens, comme la difference du rayon de la roue à celui de fon rouleau, eft au diamétre entier de ce méme rouleau. Et cela, comme l'on voit, fans compter ce qu'il faut encore ici dépenfer de forces pour des vîteffes dont on fe pafferoit bien.

DEMONSTRATION.

La force de la puiffance E feroit au poids F fur le point A comme AM à MA, ou comme BN à 2MA: & ce poids F lui feroit fur l'appui B comme MB à BN: la force de la puiffance E fur ce point A feroit donc à celle qu'il lui faudroit fur B, comme BM à 2MA, retirant donc 2 BM de

2 MA, comme l'on vient de faire 40. de 50. pour fournir à la vîteffe qu'on trouve ici double de ce qu'elle feroit fur ce point A. Ce refte fera donc 2 BA ou BA pour la mefure de ce qu'il en faudroit encore, toute vîtelle bien comptée par ces frottemens. Ainfi la force de la puiffance E fur le point A devroit toûjours être à celle des frottemens qu'elle y cauferoit, comme BM à BN, c'est-àdire, comme la difference du rayon de la roue à celui de fon rouleau, eft au diametre entier de ce même rouleau. C. Q.F. D.

Je ne compte point non plus ce qu'il faudroit encore de forces pour enlever la poulie avec fon rouleau, qu'on a jufqu'ici regardez comme fans pefanteur. Voici le tout en general, & pour tous les cas poffibles..

PROPOSITION PREMIERE.

Soit la puissance E appliquée fuivant EC à la poulie CG, FIG 401. dont l'axe eft un rouleau BA tellement foûtenu avec les cordes 40. 403. BK fur les bras de gruau IT, que ces cordes, auffi-bien que AF, qui eft celle du poids F, s'entortillent neceffairement autour de ce rouleau dès que l'on fera tourner la roue CG conformément à l'effort de la puissance E. Quelque angle OPA que la direction OP du centre de gravité O commun à la roue C.G & à fon rouleau BA, faffe avec la direction AF du poids F: quelque angle auffi PZC que la direction P2 de l'impreffion commune qui refulte de leur concours d'action, faffe avec CE direction de la puissance E; je dis qu'en cas d'équilibre, 1o. La puiffance E fera à la charge des bras de gruau IT fur lefquels le rouleau B A eft appuyé, comme le produit des finus des angles KHO & 22H au produit des finus des angles KHZ&ZE.

« AnteriorContinuar »