2o. La puiffance E fera à la force qu'il faudroit pour retenir la corde BK, c'est-à-dire, la refiftance des crochets K, comme le produit des finus des angles KHO & QZH au produit des finus des angles ZHO, & QZE.

3°. La puiffance E fera à tout le poids de la poulie CG & de fon rouleau BA, comme le produit des finus des angles QZH &OPA, au produit des finus des angles EZH & ZPA.

4°. La puiffance E fera au poids F, comme le produit des finus des angles 2ZH & OPA, au produit des finus des angles EZH & OPZ.

DEMONSTRATION.

que

Pour avoir les angles des directions AP, OP, CE & KB, concevons-les toutes dans un même plan perpendiculaire à l'axe du rouleau BA, de même feroient les coupes faites fur ce plan par autant d'autres plans qui paflant par ces lignes, lui feroient perpendiculaires. De-là quelque angle APO que faflent entr'elles AP & OP directions du poids F,& de la Machine CA faite de la poulie CG & du rouleau BA; il eft clair par toutes les propofitions de la nouvelle Mécanique, que tout ce que cette Machine en reçoit d'impreffion, non feulement fe fait fuivant la diagonale PQ de quelque parallelogramme MN, cont les côtez PM & PN font pris fur les directions AP, OP, mais encore que cette impreffion compofée fur la Machine CA, eft la même ( Corol. 6. Lem. 3.) que fi au lieu de la pefanteur de certe Machine & du poids F, elle étoit feulement pouffée fuivant FQ par une force égale à colle que lui caufent ces deux enfemble. On peut donc regar

cette Machine ainfi tirée en même tems par fa pefanteur, par le poids F, & par la puifance E, comme fi elle ne l'étoit que par cette nouvelle force appliquée suivant PQ & par la puillance E appliquée fuivant CE: ainfi quelque angle QZE que ces directions faffent entr'elles, il faut encore pour la même raifon que ce que la Machine CA recevra d'impreflion de ces deux forces, c'est-à-dire, du concours d'action de fa pefanteur, de

celle du poids F, & de la puiffance E, fuivie de même la diagonale ZX de quelqu'autre parallelogramme VY, dont les côtez ZV & ZY foient pris fur PQ & CE prolongées; & de plus que cette commune impreffion foit la même fur cette Machine, que fi au lieu de ces trois forces, elle étoit feulement pouffée fuivant ZX par une autre force égale à celle que lui caufent ces trois enfemble. On peut donc encore regarder cette Machine comme n'ayant d'impreffion de toute fa charge, que ce que cette nouvelle force lui en pourroit donner fuivant ZX contre la refiftance du crochet K ; & alors ainfi chargée, elle fera comme un poids d'une direction fuivant ZX que le crochet K fuivant KB qui rencontre ZX prolongée en H, retiendra fur la furface IT; de forte qu'en cas d'équilibre, il faudra ( Th. 26.) que de l'impreflion fuivant HZ, que l'on peut encore regarder comme compofée de deux autres, dont l'une fuivroit KH prolongée vers B, & l'autre une ligne OH perpendiculaire au bras de gruau IT, (la refiftance du crochet K foutenant celle qui fuivroit HB) il n'en reste à cette Machine CA que fuivant ligne Ho.

Achevant donc le parallelogramme ß, dont la diago nale Ha fe trouve dans la direction HZ, l'on trouvera ( Corol. 1. Lem. 3.) qu'en cas d'équilibre la charge des bras de gruau reprefentez par IT, doit être à la refiftance des crochets K, & à l'impreflion fuivant HZ de la charge entiere de la Machine CA, comme le côté Ho au côté HB, & à la diagonale H du parallelogramme we; de forte que cette impreffion totale fuivant HZ, la refistance des crochets K, & la charge des bras de gruau IT, font alors entr'elles comme les lignes H, HB, & H∞; c'est-à-dire, comme les finus des angles wHß, wH&, & BH; ou comme les finus des angles KHO, ZHO, &

KHZ.

&

Or à caufe que cette impreffion fuivant HZ fuit (Hyp.) la diagonale ZX du parallelogramme VY, dont les côtez ZY & ZV ont été pris fur les directions des forces dont

cette impreffion eft compofée, c'eft-à-dire, fur les dire &tions prolongées CZ & PZ de la puiffance E & de la force qui fuit FQ; cette puiffance E, cette force fuivant QZ, & cette impreffion fuivant HZ font auffi entr'elles (Cor. 1. Lem. 3.) comme ZY, ZV, & ZX, comme les finus des angles VZX, YZX, & VZY, c'eft-à-dire, comme les finus des angles QZH, EZH, & QZE.

De plus la force qui fuit QZ, fuivant auffi (Hyp.) la diagonale PQ du parallelogramme MN, dont les côtez PM & PN ont été pris fur les directions AM & ON du poids F & de la pefanteur de la Machine CA; cette force, le poids F, & la pefanteur de cette Machine, pour la même raifon, font encore entr'eux comme les finus des angles NPM, NPQ, & MPQ, c'est-à-dire, comme les finus des angles OPA, OPZ, & APZ.

Donc en multipliant deux à deux felon l'ordre de leurs termes toutes ces rangées de proportionnelles :

Impref. fuiv. HZ. ch. des bras de gr.IT:: KHO. (KHZ. Puiffance E. impreffion suiv. HZ :: SQZH. SQZE.

Impref. fuiv. HZ.
Puiffance E.

Puiffance E.

refift. des crochets K :: SKHO. SZHO. impreffion suiv. HZ :: SQZH. SQZE.

impreffion fuiv. QZ:: SQZH. SEZH. { Impref. fuiv.QZ. peł. de la Mach. CA:: SOPA. SAPZ.

Puiffance E. impreffion fuiv. QZ:: SQZH. SEZH { Impref. fuiv. QZ. poids F :: SOPA. SOPZ

L'on aura,

1o. la puiffance E à la charge des bras de gruau IT, comme le produit des finus des angles KHO & QZH au produit des finus des angles KHZ & QZE. 2o. La puiffance E à la refifiance des crochets K, comme le produit des finus des angles KHO & QZH au produit des finus des angles ZHO & QZE. 3°. La puiflance Eau poids de la Machine CA, comme le produit des finus des angles QZH & OPA au produit des finus des angles EZH & APZ. 4°. La puiffance E au poids F, comme le produit

des finus des angles QZH & OPA au produit des finus des angles EZH & OPZ. Ce qu'il falloit démontrer.

De-la fuppléant les figures de tous les autres cas, il seroit aifé de tirer une infinité de Corollaires, qui découvriroient encore non feulement en general les rapports qui font entre la charge des bras de gruau IT, la refiftance des crochets K, la pefanteur de la Machine CA, & le poids F dans toutes les combinaisons poffibles; mais auffi le détail tant de ces rapports que des précedens pour toutes les inclinaifons poffibles des bras de gruau IT, & pour toutes les directions imaginables des cordes BK, de la puiffance E, du poids F, & de la Machine CA. Je paffe tout cela, parce qu'il eft plus long que difficile à conclure; outre que le feul cas des directions paralleles que j'ai d'abord examiné, fuffit avec quelques experiences fur les frottemens, pour juger s'il y a du gain ou de la perte à les fauver ainfi.

Outre cette maniere de fauver les frottemens de la Ma- Fie. 404 chine CA, l'on pourroit encore en imaginer une autre, où les crochets K feroient vers le bas, & où cette machine devroit defcendre pour enlever le poids F ; & cette manie、 re feroit d'autant au-deffus de l'autre, que, 1°. l'on n'auroit plus cette machine à enlever; 2°. au contraire elle aideroit elle-même par fa pefanteur à enlever le poids F; 3°. regardant la puiffance E & le poids F appliquez en G & en Là un Levier HG, dont l'appui fût en H, l'on trouveroit auffi que le bras de la puiffance E feroit à celui du poids F en plus grande raifon que dans la maniere de M. Perault: mais auffi d'un autre côté on ne fauveroit pas tous les frottemens de la machine entiere ; puifque la poulie 1, fur laquelle la corde du poids F doit paffer, y feroit roûjours fujette.

PROPOSITION IJ.

En ce cas le rapport general de la puissance E feroit, 1°.à la charge des bras de gruau IT, comme le produit des finus:

des angles KHO & QZH au produit des finus des angles KHZ & QZE: 2°. à la refiftance des crochets K, comme le produit des finus des angles KHO & Q7H au produit des finus des angles ZHO & QZE: 3°. à tout le poids de la machine faite de la poulie CG & de fon rouleau BA, comme le produit des finus des angles QZH & OPA au produit des jinus des angles EZH & APZ:4 au poids F, comme le produit des finus des angles 2ZH & OPA au produit des finus des angles EZH & OPZ: 5°. à la charge de la poulie 1, comme le produit des finus des angles QZH, OPA,& ADI au produit des finus des angles EZH, OP Z, & ADF.

par

a

DEMONSTRATION.

Tout cela fe démontrera encore dans toute fon étendue la démonstration précedente, excepté l'art. 5. pour lequel il faut de plus ajouter fuivant la part. 2. du Th. 14. que le poids F eft à la charge de la poulie I, comme le finus de l'angle ADI, au finus de l'angle A DF; afin que multipliant cette rangée de proportionnelles par celle de l'art. 4. où la puiffance E eft au poids F, comme le produit des finus des angles QZH & OPA au produit des finus des angles EZH & OPZ; la puiffance E fe trouve à la charge de la poulie I, comme le produit des finus des angles QZH, OPA, & ADI, au produit des finus EZH, OPZ, & ADF; c'est-à-dire ( dans l'hypothefe ordinaire, où les directions PO & DF de la pefanteur de la machine CA & du poids F, paffent pour paralleles) comme le produit des finus des angles QZH & ADI au produit des finus des angles EZH & OPZ.

La combinaison & le détail de tous ces rapports font encore plus longs que difficiles ; outre qu'il n'eft pas ici tout-à-fait queition de cette derniere maniere de fauver les frottemens. Je paffe donc à l'autre.

PROP.