de la puiffance S, fupplée neceffairement tout l'effet de cette puiffance; & que par confequent la puiffance R pourroit fuivant fa même direction AC, foutenir feule le poids T avec ce levier ainfi placé, de même qu'elle le foûtient prefentement avec la puiffance S. Pour la même raifon, la puiffance S pourroit auffi le foûtenir feule aveč de levier CM, de même qu'elle le foûtient prefentement avec la puiffance R: le poids T eft donc foûtenu par le concours d'action des puiffances R & S, de même qu'il le feroit par la feule puiffance R appliquée avec lui au levier NC, ou bien par la feule puiffance S appliquée auffi avec lui au levier CM. Or dans le premier cas la puiffance R feroit ( Th. 21.Cor. 1 3. de la Ñouv. Mécan.) au poids T, comme NO à NK; c'eft-à-dire, comme le finus de l'angle NCO, ou de DCH à celui de l'angle NCK, ou de CHD. Et dans le fecond cas le poids T, pour la même raison, feroit à la puiffance S, comme MF à ML; c'est-à-dire encore, comme le finus de l'angle MCF, ou de CHD, à celui de l'angle MCL, ou de HDC. Donc la puiffance R, le poids T, & la puiffance S, font entr'eux, comme les finus des angles DCH, CHD, & HDC; c'est-à-dire, comme les lignes DH, CD, & CH. Le poids T eft donc à la puiffance R, comme CD à DH, ou à GC ; & à la puiffance S, comme la même CD à CH. Ce qu'il falloit démontrer.

4°. Si au lieu des puiffances R &S, les cordes AC & FIG 7. BC étoient attachées aux extrêmitez de quelque levier AB, dont l'appui D fût dans la ligne de direction DCE du poils T, il eft clair qu'en quelque fituation que ce levier fe trouvât alors, il y demeureroit, & que la charge de fon point d'appui feroit alors égale au poids T. 11 cft encore clair que les extrêmitez A & B de ce même levier feroient aufli tirées fuivant AC & BC, chacu→ ne avec une force égale à celle de la puiffance R ou S, qu'elle fupplée. Or les forces avec lefquelles les points A & B de ce levier feroient ainfi tirées fuivant AC & BC, feroient entr'elles (7h. 2 1. Cor. 13. Nouv. Mécan.)

Tome II.

Nan

comme DF & DK tirées du point D perpendiculaire ment fur BC & AC; c'est-à-dire, en faisant le parallelogramme GH, comme les finus des angles DCH & CDH, ou comme les côtez DH & HC de ce parallelogramme. Ces mêmes forces feroient aussi ( Th. 21. part. 2. 3. 4.) chacune à la charge du point d'appui D de ce levier, c'eft-à-dire, au poids T, comme chacun de ces mêmes côtez à la diagonale DC: les forces des puiffances R &S, c'est-à-dire, ces mêmes puiffances elles-mêmes, font donc entr'elles, comme DH, ou GC & HC; & au poids T, comme chacun de ces mêmes côtez du parallelogramine GH à fa diagonale DC. Ce qu'il falloit démontrer.

On pourroit encore démontrer cette même propofition en fe Servant des plans inclinez, pourvû qu'on en prît un qui fût perpendiculaire à la direction de quelqu'une des deux puiffances qui foûtiennent ce poids: car cette puissance, & la charge de ce plan alors égales, n'ayant qu'un même rapport avec ce poids, non plus qu'avec l'autre puiffance qu'on confidere en ce· cas comme le foutenant feule fur ce plans on trouveroit par le Cor. 9. du Th. 26. que ce poids est toujours à chacune de ces. puiffances, comme le finus de l'angle que leurs cordes font · entr'elles, à chacun des finus des angles que font avec la ligne de direction de ce poids chacune de ces cordes reciproquement prifes. Tout cela eft prefentement trop clair pour s'y arrêter davantage.

COROLLAIRE I

On peut conclure generalement de ces démonftrations, ce que nous n'avons conclu (chap. 1.) de la 68. prop. de M. Borelli, que pour les cas qu'elle comprend; fçavoir, qu'il n'y en a aucun de poffible, où l'on puiffe conferver l'équilibre du poids T avec les puiffances R & S, en changeant le rapport qu'elles ont entr'elles, ou avec lui, à moins qu'on ne change en même tems l'inclinaifon de ces cordes, fans changer auffi le rapport de ces mêmes puiffances, ou entr'elles, ou avec ce poids ; parce

que fans cela il n'eft pas poffible de faire que chacun des côtez CH & CG du parallelogramme GH, continue d'être à fa diagonale DC, comme chacune des puiflances R & S au poids T; ce qui doit cependant être, comme on le vient de voir, pour qu'elles faffent équilibre avec lui.

On peut comparer ce Corollaire aux Scholics des propofitions 68. & 69. de M. Borelli.

COROLLAIRE II.

Il fuit encore de ces démonstrations que chacune des Fre.5. puiffances R & S eft au poids T, comme chacune des parties GC & HC de leurs cordes, qui leur font proportionnelles, à la fomme (fig. 5.) de leurs fublimitez, ou à la difference (fig. 6.) qui eft entre la fublimité de l'une & la profondeur de l'autre ; parce que dans le parallelogramme GH les angles GCD & CDH étant égaux, auffi-bien que les lignes GC & DH; de plus les angles qui fe font en P & en Q, étant auffi (avert.) égaux, les triangles GPC & HDQ font non feulement femblables, mais encore leurs côtez CP & DQ font égaux. Donc (fig. 5.) CP plus CQ eft égal à DQ plus CQ; & (fig. 6.) CP moins CQ fera aulli égal à DQ moins CQ. Or (fig. 5.) DQ plus CQ eft égal à CD, de même (fig. 6.) que DQ moins CQ. Donc (fig. 5.) CP plus CQ eft égal à CD, auffi-bien (fig. 6.) que CP moins CQ. Or felon les démonftrations précedentes, chacune des puiffances R & S eft au poids †, comme chacune de leurs proportionnelles CG & HC à CD. Donc chacune de ces mêmes puiffances eft à ce poids, comme chacune de ces mêmes proportionnelles à CP (fig. 5. ) plus CQ, ou (fig. 6.) à CP moins CQ; c'est à-dire, (Déf. 1. & 2.) à la fomme (fig. 5.) de leurs fublimitez, ou bien (fig. 6. ) à la difference qui eft entre la fublimité de l'une & la profondeur de l'autre.

COROLLAIRE III.

D'où l'on voit que la fomme des deux puiffances qui foûtiennent un poids avec des cordes, eft toûjours à ce poids, comme la fomme des longueurs de leurs cordes, qui leur font proportionnelles, à la fomme de leurs fublimitez, ou à la difference qui eft entre la fublimité de l'une & la profondeur de l'autre.

On peut comparer encore ces deux derniers Corollaires à la 69. prop. de M: Borelli, & au Corollaire qu'il en tire.

FIG. 9.1.

D

PROPOSITION II.

'

E quelque maniere qu'un poids T foit foûtenu avec des cordes par quelque nombre de puiffances A, B, D, E, F, &c. que ce foit, appliquées à un même nœud C, fi l'on prend fur leurs nauds autant de parties CG, CR, CM, CN, CP,&c. qui leur foient proportionnelles, & que fous deux de ces parties, par exemple, fous GC & RC, l'on fasse un parallelograme RG, dont la diagonale CH faffe encore avec une autre de ces parties CM le parallelogramme HM, dont la diagonale CL faffe encore avec une autre de ces parties CN le parallelogramme LN, dont la diagonale CQ fasse encore avec une autre de ces parties CP le parallelogramme PQ,& ainfi jufqu'à la derniere de ces proportionnelles. On verra, 1°. que la diagonale du dernier de ces parallelogrammes, qui eft ici CK, fera dans la ligne de direction du poids T. 2°. Et que chacune de ces puiffances fera à ce poids, comme chacune des proportionnelles, felon qu'elles leur répondent ... eft à cette même diagonale.

DEMONSTRATION...

1o. Puifque (hyp.) la puiffance A est à la puissance B comme CG à CR, il réfultera (Lem. 2.) de leur concours d'action fur le point C une impression composée : fuivant CH, d'une force qui fera (Cor. 1. du même

L'em.) à chacune de ces puiffances, comme CH à chacu ne des lignes CG & CR qui les reprefentent: l'impreffion que font ensemble ces deux puiffances fur le point C, eft donc la même que celle que feroit feule für ce même point quelque nouvelle puiffance, qui lui étant appliquée fuivant CH, au lieu d'elles, leur feroit à chacune, comme CH à chacune des lignes CG & CR ; & par confequent les trois puiffances A, B, D, doivent faire ensemble la même impreffion fur le point C que cette nouvelle puiffance ( je l'appele H) feroit alors avec: la puiffance D. Or (Lem. 2.) l'impreffion qui réfulteroit alors du concours d'action des puiffances D & H fur le point C, fe feroit fuivant CL, d'une force qui feroit (Cor. 1. du même Lemme) à celle de la puiffance D, com-me CL à CM. Donc l'impreffion compofée qui résulte du concours d'action des trois puiffances A, B, D, fur le point C, fe fait en effet fuivant CL, d'une force qui est à celle de la puiffance D, comme CL à CM: elles ne font donc toutes trois enfemble fur ce point que la même impreffion que feroit feule quelqu'autre puiffance (je l'appelle L ) qui appliquée fuivant CL, au lieu de ces trois, feroit à la puiffance D, comme CL à CM ; & : par confequent les quatre puiffances A, B, D, E, ne doivent faire fur le point C que la même impreffion que: feroit alors la puiffance L avec la puiffance E. Or (Lem 2.) l'impreffion qui réfulteroit alors du concours d'action de : ces deux dernieres puiffances fur le point C, fe feroit fuivant CQ, d'une force qui feroit ( Cor. z. du même Lem.) à celle de la puiffance E, comme CQ à CN. Donc I'mpreffion compofée qui réfulte du concours d'action des quatre puiflances A, B, D, E, fur le point C, fe fait en effet fuivant la ligne CQ, d'une force qui eft à celle de la puiflance E, comme CQ à CN. On prouve-ra de même que l'impreffion compofée qui réfulte du concours d'action des cinq puiffances A, B, D, E, F, fe fait auffi fuivant CK, d'une force qui eft à la puriffànce: F, comme CK à CP. Et ainfi toûjours de même jufqu'à

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