DEFINITION XXV IT.

Si du point A de concours des directions quelconques AM, AR, du poids EO & de la puiffance R qui le retiendroit en équilibre fur la furface quelconque SV, on imagine une perpendiculaire AD à cette furface, à laquelle on va voir (Th. 26. Corol. 1. 2.) que pour cet équilibre cette perpendiculaire doit paffer par quelqu'un des points O de la bafe du poids; & fi d'un point quelconque D de cette perpendiculaire AD, on mene une autre perpendiculaire DM à la direction AM de ce poids EO. La force qu'on a vu dans les Corol. 8. 9. du Lem. 3. & qu'on va voir encore dans les part. 1.2. du Th. 26. devoir réfulter du concours d'action de ce poids EO & de la puiffance R fur la furface SV fuivant AD, fera appellée la charge de cette furface; & la résistance diretement oppofée que (Lem. 3. Corol. 2. nomb. 2) cette furface y fera, s'appellera fa réfiftance totale, ou la résiStance directe, ou fimplement fa réfiftance; ce qu'elle en fera (Lem. 3. Corol. 6.7.) de M vers A fuivant la direction MA du poids EO, s'appellera la résistance verticale; & on appellera fa résistance horisontale ce qu'elle en fera de même (Lem. 3. Corol. 6.7.) de D vers M fuivant DM.

Les efforts fuivant AM, MD, directement opposez & égaux à ces réfiftances verticale & horifontale, s'appelleront auffi les charges des plans GK, HK, aufquels Ces efforts font (Hyp.) perpendiculaires.

AVERTISSEMENT.

Les furfaces, foit planes, foit courbes, s'appelleront SV dans la fuite, pour faire quadrer chaque demonftration à toutes à la fois avec moins de figures & de difcours: on prendra HG pour la longueur de la plane ou du plan touchant de la courbe au point O de fa charge; & par confequent (Déf. 25. & fon Corol. ) la verticale HK pour La hauteur, &l'horifontale KG pour La base.

On prend ici à l'ordinaire pour une furface inclinée

FIG. 205.

208.

quelconque, & pour fa bafe horifontale, les fections SV, GK, faites par un même plan vertical qui les coupe perpendiculairement toutes deux : il en fera de même de la hauteur HK de cette surface.

Enfin lorfqu'il s'agira de deux furfaces inclinées entreelles, on les fuppofera toûjours avoir de telles fections de leurs bafes en ligne droite.

Fondamental de la presente Section 6.

Quelques foient la furface inclinée SV, le poids mobile 206. 207. EON, la puiffance R qui lui cft appliquée, & les directions FC, ER, de ce poids & de cette puissance & confequemment auffi quelqu'angle RAC que ces deux directions fassent entreelles foit imaginé un parallelogramme BACD fait de côtez AB, AC, pris fur les directions ER, FC, de la puiffance R & du poids EON depuis le point A de concours de ces mêmes.

directions.

I. S'il y a équilibre entre cette puissance R& ce poids EON, foûtenu par elle fur la furface SV,& que· la diagonale AD de ce parallelogramme BACD foit perpendiculaire à cette furface, & la feule qu'on lui puiffe ainfi mener du point A ( la raifon de cette exception paroîtra dans le Scholie fuivant ) cette diagonale AD paffera toujours par quelque point 0 de la bafe du poids EON & l'impreffion ou la charge refultante du concours d'action de la puissance R & de la pefanteur du poids EON, fur la furface SV, fera toûjours à chacune de ces deux forces comme cette diagonale AD à chacun des côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions dans le parallelogramme BAC D.

II. En ce cas d'équilibre fur quelque furface SV que ce foit, fans en excepter prefentement aucune, fi les côtez AB, AC, du parallelogramme BACD font entr'eux comme la puissance R& la pefanteur du poids EON, fur les directions defquelles fuppofe ces cotez la diagonale AD de ce parallelogramme fera perpendiculaire à cette furface SV en quelqué point o de

on

(Hyp.) perpendiculaire à la furface SV par quelqu'un des points O-de la bafe du poids EON. Donc (Lem. 3. Corol. 8. 9:) ce poids doit être ici en équilibre avec la puiffance R fur cette furface SV. Ce qu'il falloit 3o. dé-

montrer.

AUTRE DEMONSTRATION.

PART. I. Au lieu de la furface SV imaginons pour un moment une puiffance T, qui avec une corde ZT dirigée fuivant DA prolongée de ce côté-là, foûtienne avec la puiffance R le poids EON prefentement foûtenu avec des cordes feulement. Il est manifefte que puifque (Hyp.) la droite TD eft perpendiculaire en O à la surface SV, & la feule (Hyp.) qu'on lui puiffe mener par le point A 3 non feulement cette furface SV ne peut fuppléer la puiffance T, & foûtenir en fa place avec la puiffance R le poids EON, à moins (Lem. 3. Corol. 8. 9.) que cette perpendiculaire AO ne paffe par quelque point de la bafe de ce poids; mais encore qu'alors la résistance ou (Déf. 27.) la charge de cette furface ou de fon point O feroit (princip. gener. Corol. 2.) égale à la puiffance T. Or cette puiffance T (à la place de la réfiftance de cette furface SV) soûtenant ainfi avec la puiffance R le poids EON, ou (ce qui revient au même) fe trouvant ainfi foûtenue par le concours d'action de la puiffance R & de la pefanteur du poids EON, comme fi elle étoit un poids dirigé fuivant AT, & foutenu avec des cordes AR, AC, par deux puiffances R, C, dont celle-ci (C) fût égale à la pefanteur du poids EON, & de même direction AC que-^ cette pefanteur : cette puiffance T (dis-je ) ainfi foutenue, feroit alors ( Th. 1.part. 3. 4.) à la puiffance R & à la pefanteur du poids EON, comme la diagonale AD du pa- ̈ rallelogramme BACD eft à chacun de fes côtez AB,ÁC, correfpondans fur leurs directions. Donc non feulement cette diagonale AD perpendiculaire (Hyp.) en Oà la furface SV reftituée au lieu de la puiflance T, doit paffer ici par la bafe du poids EON ; mais encore la charge de cette

I

furface y doit être auffi à la puiffance R & à ce poids EON, comme cette diagonale AD du parallelogramme BACD eft à chacun de fes côtez AB, AC, correfpondans fur les directions de cette puiffance R & de ce poids EON. Ce qu'il falloit encore 1°. démontrer.

PART. II. En fuppofant encore ici la puiffance T au lieu de la furface SV, dont elle fupplée la réfistance en équilibre (Hyp.) avec la puiffance R & le poids EON, comme fi cette puiflance T étoit un poids foûtenu feulement avec des cordes AR, AC, par deux puiffances R, C, dont la feconde (C) fùt égale à la pefanteur du poids EON, & de même direction AC que cette pefanteur ; la part. 4. du Th. 1. fait voir que puifque Hyp.) les côtez AB, AC, du parallelogramme BACD font ici entr'eux comine la puiflance R & la pefanteur du poids EON, la direction TA de la puiffance T doit être en ligne droite avec la diagonale AD de ce parallelogramme. Or les Corol. 8. 9. du Lem. 3. font voir auffi qu'afin que la furface SV fupplée cette puiffance T par fa résistance, la direction TA prolongée de cette même puiffance T doit être perpendiculaire en quelque point O de la bafe du poids EON. Donc en ce cas d'équilibre entre la puiffance R & le poids EON fur la furface SV remise en fa place au lieu de la puiffance T, la diagonale AD du parallelogramme BACD doit être perpendiculaire à cette furface SV en quelque point O de la bafe du poids EON, & la réfiftance de cette furface alors égale (princ.gen. Cor. 2.) à la puissance T, être auffi pour lors (Th. 1. part. 4.) à la puiflance R & au poids EON, comme cette diagonale AD du parallelogramme BACD eft à chacun de fes côtez AB, AC, correfpondans fur leurs directions. Ce qu'il falloit encore 2. démontrer.

PART. III. Puifqu'on fuppofe encore ici les côtez AB, AC, du parallelogramme BACD fur les directions de la puiffance R & de la pefanteur du poids EON, & en raifon de ces deux forces; la part. 6. du Th. 1. fais voir qu'une puiflance Tappliquée au poids EON par le moyen

d'une

d'une corde ZT dirigée fuivant la diagonale DA prolongée de ce parallelogramme, & qui feroit à la puiffance R & à ce poids EON, comme cette diagonale AD eft à chacun des côtez correfpondans AB, AC, de ce parallelogramme, demeureroit en équilibre avec cette puiffance R & ce poids EON ainfi foûtenu avec des cordes ZT,ER, par ces deux puiffances T, R. Donc fi au lieu de la puiffance T, de qui la direction TD paffe (Hyp.) par le point O de la furface du poids EON, une autre furface immobile SV fe prefente pour foûtenir ce poids par une bafe dans laquelle foit ce point O, & perpendiculairement à cette direction TD ou AD; cette furface SV Lem. 3. Corol. 8.9.) foûtiendra effectivement le poids EON en équilibre avec la puiffance R. Ce qu'il falloit encore 3°. démontrer.

Ce qu'on voit ici des furfaces convexes SV, s'entendra fans peine des concaves: tout ce qui précède fe démontrera précifément de méme. Les cas où le point A de concours des directions de la puiffance R & du poids ON fe trouveroit hors l'étendue de ce poids, fe réfoudront auffi comme les précedens: le Lem. 3. & fes Corollaires font voir que la diverfité quelconque des fituations de ce point A, ne doit rien changer aux raifonnemens précedens, non plus qu'aux confequences qu'on en va déduire : c'est-à-dire, que tout cela doit également convenir à toutes les fituations poffibles du point A de concours des directions du poids EON & de la puissance R. C'est pourquoi on n'en exprime point ici les figures, de peur d'en multiplier inutilement le nombre.

On n'exprime point non plus la figure d'aucune furface korifontale, parce que la ligne de direction de quelque poids que ce foit, lui étant toûjours perpendiculaire, il fe foûtient deffus de lui méme, & fans le fecours d'aucune puissance, par la même raifon qu'il en a befoin (comme on vient de le voir ) pour demeurer en repos fur quelqu'autre furface que ce foit. Le prefent Th. 26. ne laiffe pourtant pas de s'étendre encore jufques la, ainfi qu'on le verrà dans les Corollaires.

Tome II.

B