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I. F.

APPLICATION

DE

L'ALGEBRE

A LA GEOMETRIE

SECTION PREMIERE. Où l'on donne les définitions & les principes generaux qui fervent pour refoudre les Problemes, & démontrer les Theorêmes de Geometrie.

I.

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L y a deux fortes de propofitions dans la
Geometrie, aufquelles on peut appliquer
l'Algebre, qui font les Theorêmes & les
Problêmes.

1. Les Theorêmes font des propofitions. qui contiennent des veritez Geometriques qui ne dépendent d'aucune operation, & qu'il faut feulement démontrer.

A

2. Les Problêmes font d'autres propofitions qui demandent que l'on faffe quelque operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite, fatisfait à la question. Ce qui s'appelle refoudre le Problême.

Il y a des Problêmes déterminez, & d'autres indéterminez.

3.

Les Problêmes déterminez font ceux qui n'ont qu'une feule folution, ou qu'un nombre déterminé de folutions. Si l'on propose, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce Problême ne peut avoir qu'une feule folution; mais fi l'on FIG. 1. propofe de couper une ligne donnée AB en un point C, en forte que le rectangle AC x CB foit égal au quarré d'une autre ligne donnée EF; il eft clair que ce Problême peut avoir deux folutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage: car fi après avoir trouvé le point C qui fatisfait à la queftion, on la coupe encore en un autre point D qui foit autant éloigné de A que C l'eft de B, le rectangle ADx DB fera égal au rectangle AC x CB puifque AD

FIG. 2.

CB, & AC=DB. Il eft aifé de voir qu'il n'y a point d'autre point qui puiffe fatisfaire au Problême.

4. Les Problêmes indéterminez font ceux qui ont une infinité de folutions : comme fi l'on propofe de divifer une ligne donnée en deux parties fans y admettre aucune autre condition, il eft évident que tous les points de cette ligne fatisfont au Problême. De même fi l'on propose de trouver deux lignes dont le raport foit égal à celui de deux autres lignes données; l'on voit évidemment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prifes d'une infinité de grandeurs differentes, & qui auront toujours entr'elles le même raport. Semblablement.

5. Si l'on demande de trouver un point B fur la circonference d'un demi cercle ABC, en forte que la perpendiculaire BH, menée du point cherché B fur le diametre AC foit moyenne proportionnelle entre les parties AH & HC du diametre AC. On fçait que tous les points de la circonference ont cette proprieté, c'est-à-dire que toutes

Mes perpendiculaires, comme BH font moyennes proportionnelles entre AH & HC en quelqu'endroit que l'on prenne le point B.

DEFINITION.

6 LES lignes droites ou courbes qui renferment, ou fur lefquelles font tous les points qui refolvent un Problême indéterminé, font appellez lieux Geometriques. Ainfi la demi circonference ABC eft le lieu qui contient tous les FIG. 2. points B, d'où l'on peut tirer des perpendiculaires BH moyennes proportionnelles entre AH, & HC.

AVERTISSEMENT.

t

7. Quoique l'on fe propofe ici de donner la maniere de démontrer les Theorèmes de Geometrie par le moyen de l'Algebre; il ne faut pas entendre cela fi generalement qu'il n'y en ait quelques-uns d'exceptez: car il y en a d'Elementaires où l' Algebre n'a point de prife. On ne peut, par exemple, démontrer par Algebre que les cotez homologues des triangles femblables font proportionnels. Il en eft de même de plufieurs autres ; & c'eft particulierement de ces deux Theorèmes que l'Algebre a befoin, &par le moyen defquels on vient à bout de tout, comme on verra dans toute l'étendue de cet Ouvrage. Soit qu'il s'agiffe de refoudre un Problème, ou de démontrer un Theorème de Geomearie par le moyen de l'Algebre, il est toujours neceffaire de trouver des équations & pour ce fujet il faut nommer toutes les lignes connues & inconnues qui y peuvent fervir, par des lettres de Alphabet, avec cette difference que l'on nommera les données ou connues, ou déterminées, ou conftantes par les premieres a, b, c, d, &c. & les inconnues ou indéterminées, ou variables par les dernieres, r, f, t, u, x, y, z.

Et parcequ'il y a fouvent plufieurs chemins pour trouver les équations neceffaires pour la démonftration d'un Theorème, ou pour la réfolution d'un Problème, on pourroit prendre celui qui fe prefenteroit le premier s'ils conduifoient tous à des équations également fimples, & d'où l'on pût tirer des conftructions également élegantes: mais comme l'on arrive quelquefois à des équa

l'on

tions très-compofées, en fuivant certaines routes, & que arriveroit à de très-fimples en en fuivant d'autres ; il s'enfuit que lorfqu'on ne trouve pas les premieres équations aufquelles on eft parvenu par les premieres fuppofitions, affez fimples, il en faut chercher d'autres par d'autres voyes, & ne fe point rebuter: car lorsqu'un Problème eft fimple de fa nature, on trouve ordinairement des équations fimples pour le refoudre: mais parceque pour trouver des équations fimples, cela dépend particulierement des lignes que l'on nomme par des lettres inconnues, c'est-à-dire, qu'en nommant certaines lignes par des lettres inconnues, on arrive à des équations très-compofées, au lieu qu'en en nommant d'autres par les mêmes lettres inconnues, on arrive fouvent à des équations très-fimples.

8. On ne peut donner de regles précifes pour déterminer parmi les lignes inconnues celles que l'on doit nommer par des lettres inconnues, pour parvenir aux équations les plus fimples,ni pour tirer certaines lignes qui font neceffaires tant pour la démonftration des Theoremes, que pour la refolution des Problèmes, mais l'on peut faire certaines remarques, & établir certains principes qui ne laiffent pas d'avoir un grand ufage dans l'un & l'autre cas.. On les trouvera ailleurs.

II.

PRINCIPES

GENERAUX

Pour appliquer l'Algebre à la Geometrie.

La

ORSQU'IL S'agit de refoudre un Problême, ou de démontrer un Theorême de Geometrie, on doit premierement bien entendre ce dont il s'agit, c'està-dire l'état de la question, & bien remarquer les qualitez des lignes qui doivent former la figure fur laquelle on doit operer: car il y a des lignes données de pofition feulement; d'autres données de grandeur, & de pofition tout enfemble; d'autres données de grandeur, & non de pofition; & d'autres enfin qui ne font données ni de grandeur, ni de pofition.

1. Les lignes données de position seulement, font celles dont la fituation est invariable & toujours la même, mais

dont la longueur n'eft point déterminée: comme la ligne EFG, qui étant une fois pofée dans une fituation perpen- FIG. 2. diculaire au prolongement du diametre AC d'un demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre pofition.

Les lignes données de grandeur & de pofition tout enfemble, font celles qui ne peuvent changer de fituation, & dont la longueur eft déterminée, de forte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir: comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois pofé dans une fituation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir aucune autre pofition.

Les lignes données de grandeur, & qui ne le font point de pofition, font celles dont la grandeur ne peut varier ; quoique leur fituation puiffe changer, comme le demi diametre DB, qui demeure toujours de même grandeur en Fic. 2. quelque endroit de la circonference ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur font auffi appellées lignes connues ou lignes conftantes, & on les nomme par des lettres connues, a, b, c, d, &c.

Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de pofition, font celles qui en changeant de places, changent auffi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point H s'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de position, font auffi appellées lignes inconnues, indéterminées, ou variables, & on les nomme par des lettres inconnues x, y, z, &c.

2. Lorsqu'on veut refoudré un Problême, on le doit confiderer comme déja refolu, & ayant mené les lignes que l'on juge neceffaires, l'on nommera celles qui font connues par des lettres connues, & celles qui font inconnues par des lettres inconnues, & fans faire de distinction entre les quantitez connues & inconnues, on examinera les litez de la question, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres differentes; & ces deux expreffions d'une même quantité étant égalées, l'une

qua

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